И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Написать принцип Мопертюи для свободного заряда, движущегося в заданном стационарном электромагнитном поле; найти дифференциальное уравнение траектории заряда. 9.43. Найти действие для свободной частицы, движущейся в отсутствие полей с энергией Е, (траектория частицы проходит через точки г~ и га). 9.44. Найти форму плоской траектории у(х), для которой время движения т между двумя заданными точками в однородном поле тяжести минимально. [Гл 1 Кивер!отняв и уравнения движения точки получим (оо роо 5)!!2 р = (( — Ьо); Отсюда найдем = Ь вЂ” (р („2 ро 5)!/2 или Следовательно, Р = овсово! (( — (о) и = оосозсо(( то) пр+ поз[по!(( (о) по. 1.4. Так как угловая скорость постоянна, а у(0) =О, то х=рсозво 5; у=рз[псо й Подставляя эти функции в уравнение эллипса, найдем ро ар Ь5 ао 5! по ро! + Ьр со55 о)! Следовательно, аЬ ор (Ьо — ао) 5!и 2о!2 т =-(р, роо)— 2 (а' Ми' со! -'- Ьр совр ррп~!~ аЬ о! (а! ыпр он — Ь'со!' он[' 2 [.о.
Согласно условию зздачи — р'5р = о; р' + р'5ро =- оо. 2 Исключая <р, найдем ° /2ао !2 2 р=- у [' — ) +оо( оо Подставляя эту функцию в условие постоянства секторной скорости, получим в9 Кинематика тички Следовательно, !.6. Используя выражение г=рпр радиуса-вектора точки, движу~щейся в плоскости, запишем секторную скорость в виде и = --Р(п„ч), ! 2 Следовательно, ! о =- — розйтя=-ою, 2 где а — угол между скоростью и ортом пр.
Далее, из треугольника, вершинами которого являются точка О', центр окружности и движу- щаяся точка, находим а' = рю+ Йю —, 2Й р з!и а. Из (1) и (2) получим (2) ! Р'Р4 аю. 2 Записывая уравнение окружности в полярных координатах р =- 2!тсоа юр, из (1), (2) находим (2) 2!сю Интегрируя (3), получим р+ — з!и 2р = — К ! бю 2 Лю (3) Это соотношение в неявном виде определяет зависимость юр(!).
1.8. Запишем скорость в виде ч = (р, р юр) — (айе т юр, аеют юр). Из условия постоянства секторной скорости следчет уравнение — ае юр=-о,. ! и тиф' 2 4ею м рю ! !юю аю 1.7. Из постоянства секторной скорости относительно системы координат с началом в точке А следует 71 Кнненатнка точка В данном случае ускорение имеет только составляющую по орту пр, которая определяется формулой Бине: Следовательно, ре 1ар =— ,з 1.10.
Выберем в качестве оси Ох прямую, проходящую через центры Р~ и Рк (рис. 1.10). За начало координат возьмем середину отрезка Р~Рр. Тогда по условию задачи Рнс. !ЛО 1/'(к+ а)*+у' 3/(х — а)'+ у' =а', илн (хе + у')' = 2а' (хн — у'). Следовательно, траектория точки представляет собой лемнискату Бернулли. В полярных координатах ее уравнение имеет вид р' = 2а'сезар. (1) Из условия постоянства проекции секторной скорости о,=ор имеем ~Р = 2ор/Ре. (2) Для проекции ускорения на радиальное направление согласно формуле Бине и уравнению траектории (1) имеем 48 оорФ Ыр =— 1.11. Согласно условию — р %= — р' 1 е Ь 2 2 ЬПр 1тр1 = соз 45'.
(2) р — 2йр — й'р = О. Решение этого уравнения ищем в виде р =- Се"'. Получим Из (1) следует, что ~р =- А, а из (2) находим жр = га . Следовательно, (гл. ! 72 Кинематика н уранненнн двнженнн точки Л' — 2ЛЙ вЂ” йа == О; Л~ е = /г(1!- (/2); р = "" ней 1/2 <р. !г Р'2 !.!2. ла -'- (у — '— ") = ( — "') 1,13.
Выберем начало координат в точке А, а полярную ось направим по прямой, соединяюьпей пентр неподвижной окружности 0 и точку А. Как нетрудно видеть нз рис. 1.13, <р=ы1. Определяя расстояние между материальной точкой А' и точкой А, получим уравнение траектории материальной точки: р = 2а(! — созгр). Эта кривая называется кардиоидой. Приведенные формулы позволяют вычислить компоненты ускорения материальной точки; ррр — — 2ота (а — р). г г г ! ! ! т ° ' Рнс.
!.!3 ! та ), О ~( гр ~ л, гее —— — ! тае !„л < ~р < 2л, )Р'е — 4а ета - (1 Р ) 2 Р о 4а !.14, Траекторией точки является гипоциклоида г! — м х = Й(1 — т)соз ~р+т)тсоз ( — гр); т у = )т(1 — т)з1пгр — тЯв1п ( — ~р), р == еа' (А й /г г/2 г + В сЫг )/ 2 !). Используя начальные условия, найдем ре Л ~/2 Таким образом, получаем закон движения — емзйй~/'2 ! ~р=й! к ~/2 и уравнение траектории Кииаиатика точки где т =- а!Р, Точка будет двигаться по отрезку прямой, если т« = 2а.
1.1б. Очевидно, что оа 0 с1на =- о 51п0 ф Интегрируя (!), находим ! й9 5!и 0 аф 1п1й — = !рс(да+1пС, 0 2 т. е. (о Сеючтяа 0 2 (2) Кривая (2) называется локсодромией. 1.16. По определению имеем 52 ч = 5 от, ту =зп,+ — и, Р ч .= 2!т от и,; и., =- О; оил — — 41« от'. 1.17. Учитывая, что х =- О, получим у= 2йх'=а и, следовательно, х =- р —; у =- 2лхх = а1; и 2« 5 = о .= (хч-с уа)п' = ч1/ и (1-1- 2ьа15)тта, 2й Затем находим радиус кривизны йт = «у — «у — (1 1 2ца!5)ам 2« Итак, 2йаа ' !Га те«=а=! ( ! 2Уата где 5 — длина дуги траектории; п„п — соответственно касательный и нормальный к траектории орты; 14 — радиус кривизны. Поскольку з = = 21«от!, то (Гл ! 74 Кинеиатика и уравнения движения точки 1.18.
Согласно условию в естественных координатах имеем я=а; яв!я= Ь, (1) (2) Из (!) найдем или я' = яо+ 2а (я — яа). Подставляя эту функцию в уравнение (2) и учитывая определение радиуса кривизны оа й =-— аа — = — [ею+ 2а (я — яа)[. а5 ! '2 аа Ь Интегрируя это уравнение, получим 2а — а 2а (я — я„) + яо = Ае Ь вЂ” аа где постоянная интегрирования А = явое и . Так как 2а 4 — а т(х = сова.тЬ = — е ь сова да; ь 2а — а ау =- я!и а с(я = — е ь я!и ат(а, Ь то 2а — сова+ ива ) ь 2а а — а х= — е' Ь ( — )'- (— 2о — Мпа — сов а)) ь 22 л — а р= — еь ь (4) ( — ")'ч' (здесь св — угол между касательной к траектории и положительным направлением оси х), находим 75 Кинематика тоики В обеих квадратурах постоянные интегрирования приравнены нул)о (тем самым в плоскости движения выбрана опредсченпая система декартовых координат).
Теперь положим м р= — —. 2а ь ' Тогда (3) и (4) можно записать в виде 2а — (а — а,) а — -- — — в)п (с(+ )Р); 'р (')т" (5) 2а — (а — аа) '2 Ь 0 соз (а + тр). (8) Из (5), (6) следует, что '2 2а ао — ('".— аа) — е" (7) 1я)р = =) .=- — с(я(а+ )р). х (8) Таким образом, в выбранной системе координат полярный угол (р отличается от и на постоянный угол, т. е.
(9) Итак, переобозначая постоянный множитель в (7) и используя (9), найдем, что точка движется по логарифмической спирали 2а ь (т — а.) Р = Рае 1.19. Пусть точка 1 движется от — ое до +ее вдоль оси Ох. При этом скорость точки 2 меняет свое направление на противоположное, так что в некоторый момент времени (1=0) скорость т2 оказывается перпендикулярной оси Ох. Координаты точки 2 в этот момент можно положить равными х=О; у=уа. (гн 1 ?6 Кинематика и уравнения движения точки Координата х точки 2 и координата х~ точки 1 связаны условиеи их вх х = хт -,— у — = о,г+ у —. оу ну Дифференцируя обе части этого равенства по времени, получим х=о,+у~ — +у — ).
Так как скорость о, постоянна, то производные х и у можно исклю- чить из предыдущего выражения с помощью формул (здесь перед радикалом взят знак минус, поскольку с возрастанием длины дуги ордината у убывает). В результате найдем, что Умножая обе части этого уравнения на Иу и интегрируя по у в пределах от уе до у, а по дх/Ыу в пределах от нуля до г(х/оу, получим — (1пу — 1пу,) =1п~ — + 1г 1+ 1 — ~ ~, о1 Рч оу иу Отсюда находим Интегрируя это уравнение с учетом начального положения точки 2, найдем ее траекторию при о,Фоя. Кииенатика точки 77 о, Ур ор от) (Ур) г ! 1 —— г и при о„г пг: х =- — ' — — 2 1п — — ! ур г у 4 ~ уг Ур о, Ур ор „г 1 1 —— г ог 1.20.
Выберем ось Ох декартовых координат вдоль траектории точки 5 Если «р — угол наклона скорости точки К к оси Ох, а х, у — се координаты, то у = а з1п «р; — — =- 1и «р, р!у где а — постоянное расстояние между К и Я. Интегрируя диф~ферснциальцое уравнение «)х =- а «!«р, мп ~р находим параметрическое уравнение траектории точки К: х =- а(1п 1й-~-+созрр); 2 у = аз!прр (постоянная интегрирования, определяющая положение траектории относительно оси координат, ныбрана равной нулю). Полученная кривая называется трактрисой. Поскольку от нуля отлична лишь нормальная составляющая ускорения точки К, находим, что г зог агфг с1ог <р. Точка 2 «догонит» дочку 1, если ее скорость о, ) о,.
Это произойдет в точке осп Ох (Гл 1 78 Интегрируя это уравнение, получим з!П р = ехр ( — во (! — 1,) ~, а (3) Отсюда ехр ~ — (! — !о)( а (4) 2 оо 1 — ехр ~ — — (! — !о)~ а Формулы (1), (2), (3) определяют закон движения точки Л. Закон движения точки 3 также определяется этими формулами, поскольку между координатами обеих точек имеется связь. х, = х+ а сов ор; у, — О.
Отличная от нуля нормальная составляю!пан ускорения точки К равна те = —" = зо — =з !р. аа а йр а ! о Подставляя сюда Ч из (4), находим ускорение, как функцию времени $2. Уравнения двииоения мвтеривпьной темни 1 2В. Представляя уравнение движения в виде х' — йз!и —" = а, а умножнм обе его части на х и проинтегрируем полученное выра- жение Тогда с учетом начальных условий пол)чим хо Х вЂ” + йасоа — = йа, 2 а т. е х = 2 р' йа з1п— 2а ту а = 2 (/йа1+ С; 1о — = е" 4а Отсюда находим и Кинематика и уравнения движении точки Урввненин движения тачки !.27. Решением уравнения движения лтх=а6(т — те) является функция х= — ' ~ 6(1 — т,)(т = — 'Е(1 — 1,), ЮФ где разрывная функция Хевисайда 8() О, х<о; 1, х>0. Эту функцито можно записать в виде 0(х) =- — (1+ — ). I , ~я| т 2(, х) 128 Выберем ось г перпендикулярно проводящей плоскости На заряд деиствует сила электростатического притяжения, равная -нн/(2г)н Поэтому Умножая обе части (1) на г и интегрируя, пол)чим 2 4г 4а Отсюда найдем время падения Т: 1 1)ПЯ е 2 1.2В.
Сначала найдем закон движения снаряда: х(г) = он(сова; у(Г) = й+ о(в1пи — 4 2 Он позволяет определить время полета Г1 н дальность 1., так как в момент падения у(т~) =0; 1.=х(1~), т е. 0 й+ оеттн1п а 2 1 А = — ~ ) и а1п а -1- (не з1пе а -; ай) К (Гл во Кинематика и уравнения движения точка Вычисляя производную д!./дса н приравнивая ее пулю, получим 1 е!па, = у' 2 ( 1 -~ ~) !.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
