И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2с а4 2с ас так как Следовательно, (аЬ)э = аэЬэ — (аЬ)а. МН + — '(гН)е = С. 2с Законы изменения имиульса, момеита и зиергии (гл 2 1аЬ1а = иаы ао 1>„ где по повторяющимся в произведении индексам ведется рованне, а еок — символы Леви — Чивнта, по определению 1) ибо=О, если среди индексов 1, 1, й имеются хотя одинаковых; 2) еоо= 1, если упорядоченная система индексов 1, /, чается четным числом транспозиций от 1, 2, 3; 3) е„о= — 1, если упорядоченная система индексов т, лнчается от 1, 2, 3 нечетным числом транспозицнй.
Используя (1), получим ЫМ~ е с — = — (г (иНЦ, = — етат ха втм поН,. ат с с Далее учтем, что суммиравные бы два й отли- 1, Ф от- ему емт = бм бзт — бм Ьао. Следовательно, — = — (о, (хз На) — Н, (ха оа)); АИт с с — М,Н, = и ((Р,Н,) (ха На) — Нз(хвое)) = — — 1(Нг)о — Ного1 = — — . — 1Нг)о. 2с НО 2с М 2.19. Запишем законы сохранения в цилиндрических координатах: лтро ~р = — ' р'Н = М,; 2с — (Р +Р Ф 1 х) — Ео> 2 (2) поз = Рзо Далее из (1) — (3) найдем Р' = — ~Е~ — — (М,о+ — НР Ц, 2 Г та ~ ар о (, 2с где ро ЕЗ =Ее 2а б) Повторим этот вывод в тензорных обозначениях.
С этой целью заметим, что компоненты векторного произведения можно записать в виде ! Сохранение импульса. момента и энергии точки Затем из (1), (4) получим (Мхе+ Р О) нр гир' ( — (Е~ — (Мхе+ ' Ре) ) ~ Вводя обозначения Р~о д еегг ' р1 = 2тН~ ,' г 2Мее г. е,О Я вЂ” — =го, со = —, ты гп~. перепишем (5) в виде Ф вЂ” Фе Следовательно, т Р' Ф + — р' = М,„; 2о тое еΠ— — =Ее (2) 2 г Исключая из (1) и (2) Ф, найдем Е, = — (Р' + а') + У„г (р, а, М„), И = Р'+ го — 2р ге соз Ф.
(б) Это уравнение окружности радиуса 1с', ее центр находится на расстоянии го от начала координат. Если М,о>0, то ес>ге — окружность охватывает начало координат; если М,<0, то ес <ге — окружность не охватывает начало координат, Наконец, из (4) находим зависимость р(1): е ра Э в ~ ай' ге-1Р' — (Я*+41' Ф Р (1) = Р'+ ге т 21ггесоаот(1 — 1е). 2.20. Напишем интегралы момента импульса и энергии в цилиндрических координатах: Законы изменения импульса, момента и знаргии (Гл 2 где СЗен (Р аз Мою) = — ~Мое — — Р ~ + 2тре 2с Нетрудно видеть, что еНМт (Уеп(Р з — )Иео) = (Уеп(Р з М о) + тс поэтому ограничимся случаем М,о) О.
Уравнение, определяющее резрешенную область изменения координат р и г, запишем в виде ('еп(Р~ зз зздео) еь Ео Вычислим далее дН,п Мео т ( еН )е 2 еее р + — ( 1р— др тре 4 1 тс / (о*+ ае)~т дНеп евах дс (ре+ се)злз ' Из (4), (5) следует, что орбита — окружность — должна лежать в плоскости и=О. Радиус ро этой окружности определяется урав- нением (4) (5) Поскольку г'= г*, то гг = гч и, следовательно, дМ еК ~г гг1 ед д г дс с (г ге/ с Й т тесе 4 Мео еН вЂ” Ро — еЯРо = —; оз = —. 4 т тс В случае еЯ = — еД(0 Ре = — при Ро(С)' Мое, тееб / 2Мт~ зтз Р,= ~ — ~ при ро)>1, ~тм~ пзсе ~ Нз где 1= ~- —.— ~ — размер области, в которой энергия магнит!, н) ного поля порядка тсе.
В случае еЯ ) 0 Ро) ( — е) 2.21. а) Преобразуем закон изменении момента импульса к виду — = 1гГ1 = ~ *1г'1чгз)(= ~ (чг' — г(гч)). от сге %!1 Сохранение ими льса, момента и энергии точки Таким образом, М вЂ” —.— = С. ед г с г б) В тензорных обозначениях имеем АЧ~ есиха еьаахмх = с — (Х Г вЂ” Х, Хщхщ) = — — — (Хмхм)) сд ., еа /хг х, са 4 с 1 г хг с Й г . Следовательно, М,— — — С.
сс х, с г 2.22. Запишем векторное уравнение движения тг = еВ+ — [нН) с в тензорных обозначениях е тх, = сЕ, + — ем, х, Н,. Умножая обе части (1) ни х, и суммируя по 1, получим е тхгх, =- еЕгхг + — е аг хиНгх ° Теперь заметим, что еаих х, = е цх,х = — е,ь,хах и, следовательно, е,ьгха х, = О. Кроме того, и хэ хх = — — '. ,ц Таким образом, гн хе — — '= еЕ,х, йг 2 по Законы изменения ими льса, момента и ане гии [Гл 2 или в векторном виде о аил — =е%л. ат 2 2.23.
Пусть р — плотность шара; г, О, ~р — сферические координаты элементарного объема шара. Энергия взаимодействии шара радиуса г<а и элементарной массы Ыт=рйо, расположенной на поверхности этого шара, равна Г 4и„а = — у ~ — р) ргй а~пййййр. з Следовательно, собственная гравитационная энергия шара радиуса а равна У = — — ур* ( гоог ) ейр ( а1а ОЖ = — — у(4нр)а о о о о Поскольку масса шара М = — раа, 4п 3 то з тм У= — —.—. 5 а 2.24.
Потенциальная энергия равна Р'к где г' — расстояние от элемента шара массы йт до точки массы т,. Введем сферические коордннаты с началом в центре шара. Тогда г' =г — $; г'и= га+ $а — 2г$соаО; а и ои У= — у~$'оф ~аида ОЫО ~ йр (га + $а — 2г $ еоа 8) 1аа о о о Сох аненне импульса, момента н анергнн точки а >, Д вЂ” о'= — ь о 4мурльа ~' а !я тета г,) г о Если же г< а, то т а ц= емтст' ~Ц22»сц+~2г$с!$~ = о Г 2.25. 1) Потенциальная энергия равна 0= — у~ т здесь г' = !г — $1, а г и 5 — радиусы-векторы точки с массой ат и элемента с1гл соответственно. Имея в виду г)> и, получим приближенно 1 ! 1 1 д* 1 еь т + еьЛ» г' г 2 дхг да» г Следовательно, тт !ч ",г У= — т ') с1лт+ "ггп ') — с1лт+ г а тгд т да 1 Роа б дхт дх» где М вЂ” масса Земли, б = ') $ с!т; 0 р = ~ (3 $„$р — еяа бор) с!гп, Помещая начало координат в центр Земли, найдем что с)=О.
Теперь предположим, что Земля представляет собой симметричный эллипсоид с полуосями а, а, с. Направим ось г по оси симметрии эллипсоида, Тогда интегрирование по объему эллипсоида может быть сведено к интегрированию по объему сферы заменой переменных $!=ах; $а=ау; $а=сз. Выполняя это интегрирование, получим 1 0„= 0„= — М (а' — с'); 5 2 Оаа — — — М(а' — с'); Рта — — 0„= 0„= Рат = О.
5 112 Законы наменення нмнульеа, момента н анергнн (Гл. 2 Затем учтем, что де 1 Зх~ хх дхг дхе г га и найдем У= — у —— мМ утМ(аа †) (1 — з е), е г 1Ога где Е полярный угол вектора г. ое — се Измерения дают значение = 0,000546 а', 1О 2) Используя соотношение — = 1,, =,>;,;., Р~(сгжХ). Х=~;$ с=о где Р, (х) — полиномы Лежандра, найдем (1 = — ~~ т ~$'Р1 (СОЗ у) 4т.
с=о Учитывая, что 1,(сову) = сову., Р,(соз)() = — (соз'у — 1)=- — — — — 1), 2 2 йг получим =- — у — — — "' — 13(аез1пеЕ+ с'соа'Е) — (2а'+ с'))+ ... = г ЗО гх = — у —" — у "М (а'- )(1-З 'Е). г 10га 2.26. Запишем тео)~ему о вириале сил для любого числа частик,. удерживаемых внутри некоторого ограниченного объема силами притяжения.
Полная потенциальная энергия такой системы равна С 1 1гМГ1 (ип = ут,т1', (ги — — г,— г1), (1) Сохранение импульса, момента и энергии точки уравнение движений (-той частицы имеет вид т,г, — у — (г,— г~). %'ч ам и йаап Умножим обе части (2) скзлярно на г, и результат умножения просуммируем по всем частицам: (2) ~ ~т.
(г ъ ) = '~Ь ~ '~~ "' (г, — г;) г,. г н-ао После преобразования левая часть (3) становится равной % 6 ™~ос и — 2 ~' — + — тгн. 2 аг ! (4у Преобразуем теперь правуго часть: —" (г, — г,) г, =- — ~ ~ — ' — ' ((г, — г,) г, + (г — г,) г,) Х;" о ~ г н <гмл им)) ьл нч'л Поскольку У является собственной гравитационпоизнергней Солнца' з тм Ф) = — —.—, 5 где М, гг' — масса и радиус Солнца.
Далее, согласно закону разнораспределения кинетической энергии по степеням свободы получим Подставим (4) и (5) в (3) и усредним (3) по большому промежутку времени. Тогда, учитывая ограниченность всех г, и о„ Законы изменения импульса, момента и зие гни [гл. 2 114 здесь Лг — число частиц Солнца, в основном атомов водорода и гелия. Следовательно, Т= ™ 5К1уа оай где т=М/~Ч вЂ” средняя масса одного атома, Для оценок примем М = 2 10з' г; гс = Т 10'е см; т = 3 10-14 г. Тогда Т = 1ОгКе. 2.27.
Умножая обе части уравнения движения заряда тг =- Р + — [чН1 е скалярно на г н учитывая, что — гг=гг+г, з ее найдем, что лг еегз е —, — — то' = гР+ — Н(гч1. (1) 2 «1з с Если движение заряда происходит в ограниченной области пространства, то, усредняя (1) по большому интервалу времени, по- лучим ( — ) = — — (ГР) — — — (НМ), гиок 1 ! е 2 2 2 лс 2.28. (Р) = 2Е/а.
2.29. Пренебрегая силой торможения 2ее 1= — ч, зр из уравнения движения находим о точностью до величин порядка и/с ч = — Е + — 1чН1. е В том же приближении ч = — Е, следовательно, гл ч = — Е+ — [ЕН). е е' лг гиее (2) где й[ =т[гч1 — момент импульса. В частности, для потенциальной силы Р из (2) следует ( ее)= — '( и) — — '.— '(Нй[). 2 2 2 1ле Сохранение импульса, момента и»персии точки Соответственно этому приближению имеем 1= — "' Е+ — "' [ЕН), Загс» Злг»с« (3) Поэтому для нерелятивистскнх скоростей условиями малости силы 1 являются условия — 1 Е ~ (< еЕ 1 — ' гн (( 1); Зглс» ~ пгса З ° ° 11ЕНИ С еЕ Условие (4) можно записать в виде с ее — Ъ вЂ” = ге го гасе е (чЕ) + (ч1).
Подставляя сюда найденные в предыдущей задаче выражения 1 = — Е+ — (ЕН1 2«» 2«« Загса Зигесе ч = — Е,з1пго1, е юго получим Лг = — Ее е) О. ЗиРса (2) С другой стороны, среднее значение производной импульса (р) =- Еоп. с«2 Злг»с« (3) Таким образом, из (2) и (3) следует, что (р) = — (Я и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
