И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ге гв 4с Поскольку движение частицы плоское, в полярных координатах получим т(р р~р ) (й утМ), тр <р М откуда Ле (' 1 1 1 (ттМ вЂ” й)т '~Ф 1 Р / Р Мге Интегрируя зто уравнение, находим траекторию в ниде — = Асана+ е т 1 (тлгМ вЂ” й) Р Мее Законы изменения импульса, момента и энергии (Гл 2 р 1+ е соя гр где м' Р лме е= 1 утМ вЂ” й А — постоянная интегрирования. т 1утМ вЂ” а) 5 4. Законы изменения и сохранения импукьса, кинетического момента и вкергии системы 2.62. Центр масс стержня перемещается только по вертикали.
Если вдоль этой вертикали направить ось у, траекторию верхнего конца можно записать в виде уо 1о х'+ — = —. 4 4 Таким образом, траекторией является эллипс. 2.63, Из уравнений движения т,г, = гп,н; итого = лзой где тзгзо+ тогоо, тзтзо+ омтао Гто Что то+ то ™ т, + гио г = г, +то( (го —— гоо — г„; то =тоо — мао). 2.64, Используя уравнения движения зарядов т,г, = — (г, — г,) + е,Е; е,е, га лтяг,= — — (г,— го)+еаЕ; г=1га — г,) Геаео Го и определение лзогз + лозго т= то+ т, (2) следует, что радиус-вектор центра масс и радиус-вектор г = г, — г, соответственно подчинены уравнениям г„ = д; г = О.
Поэтому ео гт = гто+ттот+ ф —, Законы изменения импульса, момента и зне гии (Гл. и Момент импульса обрааовавп!егося тела М = (л + 1') тоого — — (2л — 1) лто УИЙ'го, где лто — масса спутника, а полная энергия о = (и + 1) лто 1 1 ° оп~ ! 2 го Далее получим параметр орбиты нового тела Мо Р= о о ~п - !)отсо атт' 2п — 1 )о и ее эксцентриситет в виде 8' — 1= — = ( " ) ~( " ) — 2~.
(~2 или 0(п( ! а+1 2 — Гг2 3 Если Е ) О или и > 2+ — )г 2, то тело будет двигаться по гипербо- 2 лической траектории. 2.67. Уравнением движения !'-той точки является уравнение лоог = — '~~~йт,т!(г! — г) (1,'= 1, 2,..., то). (1) l Просуммируем (1) по всем точкам (т = ~~'и,) и получим о тгм = — ~ м(лт,тл,г, — т,т,г!). !./ (2) Заменяя во второй сумме в (2) индексы 1'-' т, найдем г,„= 0; г,„= гмо+им,!. (3) Введем далее радиусы-векторы г! точек в системе центра масс: г, = г + г! (1 = 1, 2...,, Л), (4) Тогда нэ (1) и (4) получим Ф лт,г; = — Ьп,г! ~ т!+ Йт, ~~~тптг; = / / Итак, тело будет двигаться по эллиптической орбите при условии Е(0, т.
е. 139 Ц Сох аиеиие ими льса, момеита и аие гии системы — Ьп,га т+ Ит,Хт,г; — Ьп,глгг, так как ~) т,г~ = О. Следовательно, 1 г, + Ьпха = О (1 = 1, 2,..., Л1). этих уравнений имеет вид А,соав1+В,з1пв1; в=1(Ьи, ..., Ф) — постоянные интегрирования, удовлет- Решение каждого из где А,, В, (а=1,2, воряющие условиям ~"гл,г, =О; ~) игр, =О. Наконец, находим закон движения системы г, (1) = г„а+ т„,а(+ А, соа вГ+ В, з1п в1 (а =- 1, 2,..., Ф). 2.66. По условию задачи т = лг е — а'.
а Поэтому уравнение Мещерского принимает вид га (Ьа — д) —, О к;1~~т; 2 где т — время работы двигателя. Отсюда находим (аи — и)а Алаи = т 2и 2.69. Согласно условию уравнение Мещерского имеет внд лаг тМа г т — = — у —. — + Ьпн, Ыаа га г где гп=гп(1); Мз — масса Земли. Уравнение (1) приводит к ин- тегралу движения г' — — — ' — Ьга С; 2 г г= — 6+Ам, где и — скорость истечения газов. После интегрирования этого уравнения закон движения ракеты может быть представлен в форме Законы изменения импульса, момента и эне гни (Гл. 2 т и = — — ) лкй. л и о Зависимость лт (1) найдем из уравнения и = ссг.
4н з=4пгг, а и= — рг', то 4но / 3 уз/з ж=З))п з; и= 3 (4лр~ где р — плотность воды. Интегрируя, находим лг =-(р1+ ого )'. Поскольку Теперь подставим (2) в (1) и получим — ~ (з)1 + гл~оуа)а '11 (гя1 + 11з)а .1 здесь начало координат совмещено с центром Земли, а ось в направлена вдоль радиуса-вектора). Так как тМз 14 Л вЂ” радиус Земли), то к концу активного участка траектории аа-— -2 ~УМа~ ) ь" Я аа)~ (аа — координата положения ракеты, в котором двигатель прекра- щает работу). Закон сохранения энергии на пассивном участке траектории приводит к выражению 'г ! 1 1 аг = га + 2УМа ~ — — — 1, аа / Из двух последних равенств находим тМа11 тМа ан'з (га Л) г 2.70. А= " — "'+Ее).
2с 1 Зс 2.71. Направим ось а по вертикали вверх и допустим, что скорость кондепсирующихся частиц относительно капли равна иа= — и, где и — координата центра масс капли. Тогда уравнение а Мещерского дает те= — ти — ти или — ти = — тд. Следовааг тельно, % 41 Сохранение импульса, момента и онергии системы 141 в частности, если лдо = О, то н1 3 = —— 4 2.72. Максимальная высота подъема снаряда 2.74. Направляя ось х по прямой, соединяющей центр диска и шарйк, для потенциальной энергии взаимодействия шарика и элемента с(т массы диска найдем ау(х) = — у = — у тд дан тд аРд1РдйР то о= —,.
)~р~+, и + Следовательно, дн — Ут'т' ф )ад+ хо — х). У(х) = — у д д 1рс1р1 д(др додда 3 о о Теперь используем закон сохранения полной энергии в системе центра масс диска и шарика 2У™дтд (у у + 1д 1) е 2уоддтд пд 2 дд шдоо + О = (пдд + лдо) о где о — скорость тела 1 в момент остановки, получим тд 0= "о. тд+ тд здесь ! — расстояние между шариком и центром диска в начальный момент времени, о — относительная скорость шарика и диска в момент соударения. Отсюда получим о' = —" (и + и ) (Л + 1 — (/ йд — ' 1д) о в частности, при 1)р)с 12 11 оо ж 2У (ид + т,) ( — — ) . '1 Н 1)' 2.75.
Из закона сохранения горизонтальной составляющей им- пульса Гл. 2 !42 Законм на~манекен импульса, момента н знергнн Из закона изменения полной энергии системы 1 1 з — (т, + тз) и — — тдоо = — йаддяз 2 2 с учетом (1) находим искомое расстояние изоо 2аа(из+ и,) 2.76.
В силу симметрии начальных условий и центральности гравитационного взаимодействия движение каждой из частиц описывается функциями г~=гз гз=г; Од=О; Оз=О+2п~З; Оз— - О+4п/3. Учитывая это н используя закон сохранения энергии системы — (г +гО) — Зу — = — оо —— Зт з зз из Зод з 3ут' 2 гзгЗ 2 а и ее кинетического момента Зтг'О = Зт= о,аид ЗО', т 3 находим з 2ут а'4 2Р 3 ут гз = оо — — — — + а 12гз 3 г Отсюда, полагая г =- О, найдем границы движения: 1 ут 1 (ут)з Г з 2ут 1 азоо гдл— — — + ~оо — — ~ — ~ ~ —.-) ' Каждая из частиц движется по эллиптической орбите вокруг центра масс системы, 2.77.
Введем цилиндрические координаты с началом в отверстии и осью л, направленной по вертикали вверх, Тогда закон сохранения энергии системы имеет вид — '(р'+ р'р') + — "' р'+ тз2(р — 1) = 2 2 = — роодо + тзед(ро 1). тд з з 2 Подставляя сюда ~р яз закона сохранения кинетического момента ро 'Р = — озо рз % 4) Сохранение импульса, момента и энергии системы 143 где 1 ( а~1Ре 21 Ромеп1х е 4 2 а= — Р,+ — сео ' Ь= —. 2 ~ 2а,а / 2иэк Так как в начальный момент времени Р=О, кубическое уран.
пение имеет корень Р=Ре, в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Остальные два корня р1 и рх определяются любой парой нз следующих трех уравнений (согласно теореме Виетта): Рх+ Ра+ Ре = 2И1 1 1 1 — + — + — = 01 Рх Ра Ре Рерхра = — ". Любое из двух последних уравнений показывает, что кроме корня Ре сУществУет только один положительный коРень, напРимеР Рь Комбинируя первое н третье уравнения, легко найдем ь Г ь, ь Р = — + — +— 2ро 4ро Траектория точки 1 будет лежать между окружностями радиусов ро и рь 2.78. Совместим начало О неподвижной системы координат с центром диска до соударения и направим ось г вертикально вверх. Учитывая, что на высоте Ь начальная скорость шарика массы т равна нулю, из закона сохранения энергии получаем скорость точки перед ударом (1= — О): Закон сохранения энергии при упругом соударении приводит к ра- венству пмо аме М 2 Ла 2 2 2 (2) где г и о — соответствеш|о скорости шарика и диска после удара (М вЂ” масса диска).
и полаган Р = О Дли Р =1)пчп и Р =1оам„, ИРиходим к кубическому уравнению Р' — 2аре+ ь = О, (Гл 2 (44 Законы намененка импульса, момента и энергии Пренебрегая воздеиствием силы тяжести и упругой силы пружины за время соударения, можно записать закон сохранения импульса: тяге = гпг+ М~. (3) Из (1), (2), (3) получим, что материальная точка после упругого удара полетит вверх по закону г = — а -(- ф'2ф~ 2 М+а (это возможно прн М ) т), а затем будет падать на диск по закону Диск при этом будет совершать гармонические колебания 2 = — ~г Г 2Мга 2т зйз 1Я/М Г, и М+и где й — жесткость пружины.
Максимальная частота соударений в начале координат равна 2 к' й/М . Такие соударения будут иметь место, если М вЂ” лт -а 2аа М+и К Мд В случае неупругого удара из закона сохранения импульса получим тга = (т+ М) г =- (т+ М) Я. Таким образом, диск вместе с материальной точкой совершают сннусоидальные колебания с частотой начальной фазой <р = агсФд — ( + и амплитудой "'~ 2 / ) ( 2аь (а+ м)г около положения равновесия г, = — гна!А. ГЛАВА 3 Задача двух тел и рассеяние частиц $ т.
Движение двух взаимодействующих материальных точек 3.1. В системе центра масс нз законов сохранения энергии и кинетического момента имеем + РР' где 2 Из 0,н — — — --'- — (р — а)'. 21ЧЯ 2 Для круговой орбиты ди,н Мо = — — + н(р — а) =О, др ир" поэтому М~ з= ри (! — а) Р = (р1 о) и, следовательно, относительная скорость о равна о .= — 1(1 — а). Таким образом, От = ~в р 1 о = — о„„= — 1 нр 1(1 — а); ~з1+ м, т, щ1 от = т„К 1 и = — з„„=- ~Г'хр1(! — а). ~з1 + зч т, рд~ 3.2, Так как Т = —" = — (1 + е'+ 2е сов ср), 2 2р (Т) о Г 1+ е'+ 2з соз <р Ч' 4ЛР .) (1-! есм$)~ Задача дв тел и рассеяние частиц (Гл.
З Учитывая, что л дх (а+ Ь соа х)а о Га сов х дх "' „(а>Ь); (ав — Ьа) ~~ (а+ Ь сов х)а дЬ О а+ Ь сов х дь Уа — Ь (ав Ьа)В/и найдем (Т) = —" 2р Р! — в' З.З. Согласно закону сохранения энергии Р" ~ ро'а — = — +Ле, 2 2 где и' — относительная скорость после соударения. Полагая о' = О, находим ~/ ив о~оно = ~~ )х 3.4. По условию задачи — р = ~$о' . атаев 2 он+а Из (1) и (2) находим Та=ее — ~= ~-"~~ ее=1,45МэВ.
р ив 3.5. Указанное в условии приближенное рассмотрение воз можно только в том случае, когда кинетическая энергия тпаа/2 электрона много больше его потенциальной энергии еЯ(г. В уравнении движения электрона р= — г (а= — еЯ) а тв где ть тя — массы а-частицы и ядра азота соответственно„относительная скорость а=аь Искомая энергия Т 1= 2 147 Движение двух взвимоаействугощих точек положим г =- г, + г, + ...; г, = р+ ч,1. Тогда из (1) найдем а а (Р+ че(1 р! ге (р +ого(г)в!г рФ) = —,. р «ре+ „г гг)!/г ате ар .(-— ог(рг-«- огр1!!г ерг ч = р( ) р = р ( ) = , р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
