И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Полагая г'=)т+г, (11 — ра- диус-вектор начала 5, проведенный из центра масс Земли), по- лучим лтг = п>и — и [м [мгЦ вЂ” 2т [в>н[, где д = — т й+ [м [14в>11 (М вЂ” масса Земли). >7з Отношений максимальных величин основной части центробежной силы, силы то>т» и силы Корнолиса к силе притяжения (о>=0,73 10 е с ') соответственно равны — 3,2 10->; - 0,5 10 — в»; Р>т Рот — = — о 1,5 10-во Ро тв> (здесь г и а — численные значения в системе СИ).
Следовательно, при»е"3,0 10'о частью центробежной силы л>о>т» в (1) можно пренебречь. 4.17, Исходным уравнением движения является тг = та — 2т [мг[, (1) где и = — — 11 — п>[е>[е>к[]; Є— радиус-вектор, проведенный из тм центра Земли в ту точку ее поверхности, в окрестности которой рассматривается движение тела (см. задачу 4.16).
Ищем реше. ние (1) в виде г=г>о>+ о>+ .. (2) где >г<п)- 1г>е>~. Подставляя (2) в (1) н приравнивая члены и одного-порядка малости, получим чо> (3) (4) г>'> = — 2 [а>г>о>1. Так как г>о> = г (О) + г (О) 1+ и —, >в 2 г>» = 2 [г(0) м[+ 2 [йв>) Г. то (4) имеет вид Отсюда г>1> = 2 [г (О) в>) Г + [й>в) Р; >а >в г>1> = [г (О) о>) — + [йо>[ — ° 2 3 ' (Гл е Движение относительно неинерциальнмя систем Следовательно, г (1) = г (0) + г (0) 1+ и — + [г (0) в[ — + [яв[ —.
2 2 з' 4.18. Уравнение движения маятника Фуко имеет внд тг = тя — 2т[аг)+ й, где 1т — реакция нити подвеса. Выберем ось г по вертикали вверх, ось х направим по каса- тельной к меридиану в направлении север — юг, ось у направим по касательной к параллели в направлении запад в восток. Тогда в = — а соз Л и + в з!и Л и,.
Запишем уравнение ( ! ) в компонентах, х 2 ! Л ) х. йх . у = — 2а сов Л.г — 2а1п Л ах+ — "; ил в г = 2а соз Л у + — ' — К. Рт Ограничимся далее случаем малых колебаний г с(; 1(г, = 1 — координата точки поднесл); г (( х, у. В этом случае (с„— — и х; Ял — — — у; (т', = ту. Следовательно, уравнения движения можно л(л записать в виде х + ао ях — 2а з1п Л у =- 0; у + ао у+ 2а з1п Л х = О, где отв = у/1. Вводя переменную $=х+(у, сведем эту систему к уравнению $+21вв1пЛ 5+ ае$=0 Его решение ищем в виде $ = Ал'"'.
Подстановка дает й(л = — ва1пЛ.+. [ во+а'зйт*Л вЂ” ввйтЛ~ве; с ь— и — ~оь(п7. ((о л~о,(+аи, ! ляг — ~еи+аа,) (1 Отделяя здесь реальную и мнимую части, находим х = а, сов [(а, — а в1п Л) ! + ат! -~- ов соа [(ае + а з1п Л) 1 — а [; У = а, з!п [(а, — в з1п Л) 1-1- а([ — ав в1п [(ве + в з1п Л) 1 — ав[. Отсюда видно, что при произвольных начальных условиях в отсутствие вращения Земли маятник очерчивает эллипс, а учет вра- $2! Уравнения движения относительно неинерниальнмх систем 169 щения Земли приводит к прецессии этого эллипса с угловой скоростью ав!и Л.
4Л9. В сферических координатах (с началом координат в точке подвеса и осью в, направленной по вертикали вверх) угловая скорость имеет составляющие в, = — в сов Л в!п О сов ~+ в в!п Л сов О; ве = — асов Леонар — вв!и Лв!п0; — (!2В!П20р) = — 2!В! Ов,!О. и' и'! (2) Для малых колебаний О» и — и; и((!. Тогда (1), (2) имеют внд (в,ж — вв!и Л) й = итре+ 2в,иср — вои; 2 (3) 4 — и у = — 2иа„и, 2 и! (4) где вт = а в!п Л; во = —. 2 и 1 Ив (4) находим интеграл трие + вти' = С» Учитывая (5), из (3) получим и + в2 и — (в 2 = в о + в в!и Л). 2 С 2 2 2 2 и» (0) Следовательно, в +вяи = — — +С,; 22 С' ия Се Ст — — — а ия ия 2 т.
е. и' = —, (Ст+ С1 — 4С'вев1п (2в,! — Се)~. 1 Г 2 оти в сов Л в1п ср, Два уравнения движения в координатах, не содержащие реакции подвеса, получаются проектированием обеих частей уравнения движения на орты пе и по: — !'9 — 1' в1п О соа О ~ре = 21 (в,1 вШ Оср) + 1д 21п О; (1) а Движение относительно неннериивльных систем (Гл 4 откуда ~р = — агс1д юз1п У. 1 2,С1я ь1 С, + ~/ С[ — 4юеС' 4.20.
В системе отсчета, жсстно связанной с Землей, движение точки подчинено ураннению движения тг =- — — г — 2т [юг[ — т [ю [югЦ (1) се (начало координат помещено в центр Земли). Имея в виду выражение для силы, нз уравнения изменения момента импульса получим — = [гЦ =-. — 2т(ю(гт) — ч(юг)) — т[гю)(гю). (2) щ Умножая обе части (2) скалярно на ю, получим — Мю =- — 2т(юв (гн) — (юг) (ют)) о' о1 и, следовательно, Мш+ т [юг[в = сопз1. (3) Другой интеграл вытекает из закона сохранения полной знергии; юо о ш — — — — — [юг[ = Е,.
2 г 2 (4) В сферических координатах интегралы (3) и (4) имеют вид тг'з1п'8(~р+ ю) = М„; (5) — (г' + г'8' + г' а)п' Ьр') — — — — ю'г' з1п' О = Е,. (6) 2 2 Проектируя обе части уравнения (1) на орт пе, получим — тг'0 =тг'з1пйсозО(р+ ю)'. о1 Таким образом, точка в общем случае колеблется в области — (Сх — 1 С1 — 4юл С') ~ х' + Ув.я, — и (С, + [/ С[ — 4ю~еС*), в общем случае не проходя через начало координат.
Угловую скорость вращения плоскости колебаний найдем из (5): с 2',С ~р = —,— юв1пА— юз1п Х, С, + ~С~1 — 4Свюер з1п (2ю,1 — С,) ф 2) Уравнения линження относительно неииеоннальныл систем !т! Затем, учитывая (5), из (7) найдем Д,. Млвоот 8 — т'0 а! "в!па 0 Мло о ! 2тгв о0 в!п' 8 Отсюда, умножая обе части (8) на г'8, получим Мсо Мо т (г'0)в + т в~не 8 л1 Наконец, исключая ~р и 8 из (б), (5), найдем в квадратурах Мт тп' 0 4.21, Поскольку Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс, в системе отсчета, связанной с Землей, получим уран.
пение движения тела (при этом пренебрегаем центробежной силой, силой инерции и силой Кориолиса) тг = тя+ à — ттго, здесь à — сила притяжения тела Луной; ьи, — ускорение центра Земли относительно центра масс системы Земля — Луна; г — ра- диус-вектор тела, проведенный из центра Земли, Очевидно, тл жо = — у — г л 1 где г, — радиус-вектор, соединяющий центры Луны и Земли. Ясно также, что ттл ' Г= — у, (г+г) !Г1Фгр 2 0 Мпез — го Ео — +Мты+— ч 2! Ма а! тгь ~' ( Ев — +Мтт-!- — / т (, 2Мсв с/ !72 Движение относительно неннернивльных систем 1!л 4 Таким образом, л!г = пщ+ !таей» где Теперь учтем, что ~г~ ((1гт!, и, следовательно, Тогда получим В точке, наиболее удаленной от Луны, вектор (1) имеет вели- 2'ул!л чину — Й н направлен от центра Земли, в точке, наиболее ! 2тл!л близкой к Луне, вектор (!) имеет величину )т! и также на! правлен от центра Земли В точках земной поверхности, которые лежат посредине между наиболее близкой и наиболее далекой точками, вектор (1) направлен к центру Земли и по ветл!л личине равен — 1т'.
в ! Итак, под влиянием Луны в наиболее близкой и далекой от Луны точках ускорение д уменьшается, а на средней линии возрастает на величину — 1,1 10 е м/св. Этот «малый» эффект приводит к ежесуточному перемещению воды Мирового океана, т. е к возникновению приливов н отливов, при этом кинетическая энергия переиещающихся масс воды равна -10'е кГм ГЛАВА 5 Уравнения Лагранжа в 4. Уравнения Лагранжа с реакцнямн связей н законы сохранения зиергнн н момента нмиуньса нрн иапнчнн связей (4) Из (1) получим х 1я а+ г =- О.
(б) Отсюда, учитывая (2) — (4), найдем Л = тдсов'а. Это дает возможность найти закон движения х = х, + х,1 + — д в1п 2а Р; 1 4 (7) у = ую+ уог' 1 г = — х 1д а = — (х, + хо1) 1на — — Ув1пт а Р 2 (8) (9) н реакцию плоскости Р„= тув1пасова; Я„= 0; Р, = ту сов' а. б) В случае стационарных идеальных связей более удобным приемом решения системы (1) — (4) является следующий прием. Используем закон сохранения полной энергии — (х'+ у'+ г') + туг = Е, 2 (10) 5.1. а) Направим ось г вверх по вертикали, а ось у в плоскости движения по горизонтали.
Тогда уравнение связи и уравнения движения примут вид ~ = х1йа+г = 0; (1) тх = Л1на; (2) У авнення Лагранжа /24 [Гл, 5 и исключим отсюда х, у с помощью (1), (3). Тогда получим ~ [га (1 + с[йе а)] + туг = Е, — — % = Ее. (11) 2 2 Затем из (11) найдем 2 Мпла (Š— лгяг) Проще, однако, найти г(1), взяв от обеих частей (11) производную по времени + туг = О; г = — уз[и' а. (12) а!на а Интегрируя (12), получим (9), т. е. г =г, +г,1 — — уз[пега.Р. 1 2 5.2.
Д~виже1аИЕ тачки До СОСкальзывания подчиНЕно свяэи Г = у' — ах = О. Поэтому уравнения Лагранжа перного рода можно записать в виде ту =- — ту + 2йу; лгх = — аХ. Если в начальный момент времени точка была на высоте уе, то нз закона сохранения энергии для квадрата скорости точки получим х'-[- у' = 2у(у — у). Учитывая уравнение связи, отсюда находим у' = 2аеу (уе — у)/'(4у' + аа). Так как, кроме того, 2у' + 2уу = ах, уравнения Лагранжа сводятся к уравнению l 2Х 1 леХ уа лг / 2лг Подставляя еюда у' как функцию у, полу"им Уравнения Ла аниса с реаициямн связей В точке соскальзывания реакция связи обращается в нуль. Поэтому высота у, такой точки является действительным положительным корнем уравнения 4ув+ За'у — 2с~жуе = О.
2 При а = — 1/2; у, = 15/4 значение этого корня у,=1. 3 5.3. Выберем систему координат так, чтобы уравнение связи приняло вид Отсюда найдем вв „'а вв + т ав Ьа св аа Х вЂ” —— яв (2) — + — +— иа Ьа св реакция эллипсоида 11=2А( — ",, ~,, — ', ). 5.4. Из закона сохранения полной энергии — (х' + у') + туу = тду (а) 2 с учетом того, что у= — х= у'х, иф аЬ найдем х'(1+ у' ) = 2д(у(а) — у). Следовательно, ь )/') 1 „.2л„ М2а(р(е)-р) а Теперь с помощью уравнения движения, записанного в декартовых координатах, исключим из (1) компоненты ускорения. Тогда получим, что 176 Гл. з Урвннення Лвг внжв 5.5. Согласно законам сохранения энергии и момента количества движения Здесь 26 — угол раствора конуса, а ось г направлена вверх по вертикали.
Из этих двух уравнений находим уравнение траекто- рии в квадратуре , М„Лр Проектируя обе части уравнения Лагранжа первого рода на нормаль к поверхности конуса, получим откуда 5.6. 1) В цилиндрических координатах, направляя ось г по оси цилиндра, а ось х по горизонтали, получим уравнения связи н движения г = р — )с = О; Учитывая, что находим Тогда ав (2) и (1) следует, что Х = — (тЖ ~рв + ту з1п а н1п ~р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
