И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 20
Текст из файла (страница 20)
вор Зависимость р(1) можно представить в виде Р(1) — Ре сг 1+ (р'+ ~+ р')н' 4(р'+ ~!')пг 3.6. Изменение импульса и-точки определяется уравнением ал «гч = — — г, вев где ч = г; г =- г, — г,. В первом приближении (см. задачу 3.6) изменение относительной скорости равно ав г (Р+ те!) !и ч+ — ч- = —— Н !+— 3 г~ )г( + ) Г ~1+ — ) где Г (х) — гамма-функпня.
Полагая ч+ = о, пе, где о, = )1 и+ 1 = ) ч- ~, из (1) получим г(-,') г ~-,' +-",) ~ ч+ — ч-1 = 2 оевйг — о,й —— Г ~1+ — ") Основной вклад в изменение импульса !7 за все время пролета дает составляющая силы, перпендикулярная скорости чо; действительно, 14в 1гл. 3 Задача двух тел и рассеяние частиц В частности, для кулоновского поля и = 1 и позтому 8=— 2О и "юр (Г~ — ') =~я; Г~ — ') = ' ~/а), 3.7. В первом приближении переданный импульс Ч =- — ~(/(р+ т,() б( = д др оо д Р -Р/Р'+" гн в о //о г е Ы с(/. др ~ (ро ( ю,/о)!/в Учтем, что рСоо (.оор/2 с(х = 2К, (ар), (хо + ао)~/а где К„ (х) — функция Макдональда и-го порядка [8, 27) .
Эта функ- ция обладает свойством "/(о (") дх = — К, (х). Тогда получим ц= — К (рр) —. 2д р р ро р При х(~1 К,(х) = —; 41=— 2л р х сор р При х)) 1 2 ', 7/ р Р 3.8. Напряженность магнитного поля, создаваемого диполем, равна Н = го1 А; А = ~1/ —, р], 1 т где (а — момент днполя. Движение двух взаимодействующих точек 149 В первом приближен~ни передача импульса п=р(оо) — рв, т.
е. и = — —" ~]теН(р+ те1)]е(1= с = — — ( ]те р] — — ]тв р] (рр)) . 2ее / 2 рз соа ре 3.9. В системе отсчета, связанной со стенкой, скорость шарика до соударения равна (и — «). После соударения его скорость равна — 2(пт — п«)п+ (т — «), где и — нормаль к плоскости. В лабораторной системе скорость шарика после соударения ра~вна и' = и — 2 (пи — п«) и. 3.18.
Максимальная скорость, приобретаемая ядром Н в результате соударения с нсйтроном, равна 2гнн ои оп = сзн Ч 'ип Из этой формулы определить лгв нельзя, так как неизвестна о„, Чтобы определить лг„, Чэдвик рассмотрел соударения нейтронов с ядрами азота, максимальная скорость которых 2гнв ги гни+ В результате щп оп — изп "п лз, = ' = 1,16 а.
е. м. "и — сп (установленное более точное значение массы нейтрона, равно 1,0089 а. е. м.) . 3.11. В системе координат, связанной с частицей, для угла рассеяния 8 имеем ге' сов8 = —, оз где т, и' — векторы относительной скорости до и после рассеяния. С другой стороны, для угла рассеяния 8 в системе центра масс имеем (г — гм) (г' — г ) соа 8 )г — гм) )г' — г,„( где г и г„, — радиусы-векторы р-точки и центра масс соответственно. Отсюда заключаем, что 8=8. 3адаеа двух тел н рассеннне еастнд 1Гл.
3 3 12. Считая, что после рассеяния относительная скорость ч+ = = — опе, найдем скорости частиц после рассеяния: ч~е — ч~+ — о пе, /Ва 1а че =ч„— — опе, + лч м здесь о — скорость центра масс; т = и,+ те. Отсюда = гп1 ч + р опе~ (1) р2 = ше чщ р опе.
(2) Направим ось г параллельно скорости центра масс. Тогда из (1) получим (О, ер — полярный и азимутальный углы вектора пе) Рм = глхо,а + (х о соз О; + р1х = р о з1п 0 сов ф; рце — р о81п 8 Я1п ф. + (3) Из (3) находим (р+м — т,о )'+ (у4)е+ (рф' = (ро)*. (р+ — й )'+ (р+)'+ 04)' = (по )'. 1) При й<1 сфера охватывает начало координат; возможны все углы рассеяния Оь 2) При 1=1 сфера проходит через начало координат. Предельный угол рассеяния О~=я/2. 3) При й>1 начало координат лежит вне сферы.
Предельный угол рассеяния О~„ах — — агсз)п(оеа/т1). Кроме того, одному углу рассеяния 8~ соответствуют два угла рассеяния в системе центра масс: сов8 = — Ааспвейх~совОа3Г1 — йаз1пе О, Следовательно, уравнением поверхности является сфера радиуса ро с центрам в «точке» т~о на оси р,. Лналогично нз (2) найдем (р+ — дно )'+ (ра+)'+ (рФ' = (р о)'.
Рассмотрим частный случай рассеяния на неподвижной мишени. Тогда о = — 'о~, о '= о~ и (4) переходит в уравнение (й = т,!те) м $21 Сечения рассеяния и захвата частиц $2. Сечения рассеяния и захвата частиц 3.13. Ответ: 1+/5'00520, й 5иа ф' 1 — я~ 5!П Оа и/5 !+аас052О5 й) 1. 'ф/ 1 — яа 5!па Оя ! а О05 ! — 4 сов 8 0 005 05 3.14. Максимальное значение прицельного параметра, при котором столкновения еще возможны, найдем из условия 1/ея (,, +5 = Е,г „= 2а.
Отсюда получим и, следовательно, о = 455 па + —. 0505 3.13. Вводя безразмерный прицельный параметр ь= р( — ") (т„= — '"" ). найдем / 20, та/» 5/и=2/хрс!р =2/5 ( — ~ 0 — '/" Ы//. о//о = 255 ( — /! 01"-'!/в ЫЬ / 20 та/0 является важным множителем, входящим в кинетическое уравнение Больцмана. Молекулы, взаимодействие которых определяется потенциалом с я=4, называются максвелловскими молекулами.
Для таких молекул вес рассеяния 05/о не зависит от относительной скорости. Угол рассеяния в системе центра масс для случая а=4 может быть представлен в виде эллиптического интеграла и, 2рв 00 О=ив 20 00 У[иΠ— ии]!и*+0,) 152 Задача дв х тел я рассеяние частиц (гл. 3 где и =- 1/г; по= — ро+ р" + в)т в а в 4а и и', = —" р'о+ р'о'+— 3.16. Согласно задаче 3.6 где В в бета-функция 18).
Следовательно, до 1 ~дрв дй,в 2а 1 да = — 'Яв(+ "+')1"" т( = — ~ — е(т (г = р + тг(); Г дтг'(г) д, т)в = 4птаое з)п' — — (глоб)в. 2 (2) Учитывая, что гдг д0 дУ Р . др дг г из (1) и (2) находим 2 ГдсГ 6(р) = — — "— тее,) дг Р в У~~ — ве рдг (3) рге ре Из (3) следует, что прицельный параметр зависит не от угла 0 и кинетической энергии Т порознь, а только от их комбинации т= 6Т. В частности, для кулоновского поля (о=1) 3.17. При рассеянии частиц большой энергии угол рассеяния определяется переданным импульсам Сечения рассеяния и захвата частиц Из определения сечения о(0) = — р~ — ~ вытекает, что — 'р (0) =~ о(0)з)п0(0.
(4) 2 Поэтому функцию Р(0) или 0(р) будем считать заданной (если есть данные о зависимости о(0) в достаточно широкой области углов). 1 Умножая (3) на и интегрируя по р в пределах )Г рв — хя (х, ео), получим т(р)др ( ( дУ дг — ! !г' р~ — яв,),! дг г" (гв — ре) (рв — хе) к е ° Э г Юк = — ~ — (г~ Р дУ г рдр — — с(г = — (,((х). н гдУ и дг 3 т" (г' — ре) (ре — яе) 2,) дг 2 к к к Следовательно, потенциальная энергия У(г) = — ~ У(рх Ря) н)(е, р) 1 „ з дрз ~ ДЯ с(Я вЂ” з(п Щйс(ср д сов О «и= (Рк(ря=~ дрк дрн -! д сев З дср дрк В общем случае дифференциальное сечение зависит от полярного и азимутального углов.
Если ввести азимутальный угол !Ре вектора 0 (р =рсоа!Ре~ ря —- р з(п !Ре), то Ыо может быть представлено в виде 3.18. Сначала вычислим относительную скорость после рассеяния как функцию прицельного параметра в: тг+'=тг+'(т-,п) (ч- — относительная скорость до рассеяния). Если ввести декартову систему координат с осью г, направленной параллельно относительной скорости до рассеяния, то из этого соотношения можно найти р„(0,ср), рн(О,~Р) (О, ср — соответственно полярный и азимутальный углы вектора н'+).
Тогда дифференциальное сечение рассеяния (Гл. 3 Задача двух тел н рассеяние частик е =лают,= ' ~ ее-Ы-~ха- е1нО 1 Лэ(О, ф) 3.19. Сила, действующая на электрон в поле днполя, равна йт Г = — фЦ У еф=е —. уе ' Поэтому д д тт = — е — —, дг те Отсюда найдем изменение импульса в процессе рассеяния д 1' (др) дт д др «1 = — е — де = — е — —. де е )ее+ее(е)3/а де рео Затем получим = — — (е) — ) — ', = — —, ~е) — 2р д„= то з(п О соз ф = — соз 2фе; ед ере е = то з(п О з)п ф — з(п 2фе. ее а ера (2) Из (1), (2) находим, что 1К 2фе = — (Я ф' )пй=тоО= — —.
е д о ре Следовательно, др 1 др* 1 др' 1 ед Р асеев 2 дсоев 2О дв 2 лиРУ где, дре 1. др = 0; — = — — ' — = О. дсоав дф 2 дф Таким образом, с(о= —. е с(а) = 4И, = е * „,лУ = вт„У т. е. сечение не обладает азимутальной ассиметрией. Пусть ось г параллельна т, а вектор с) параллелен оси х. Тогда Сечения ассеяяия и захвата частви 3.20, Используя уравнение движения заряда тй = — 1иН); Н=а— с (д — «заряд» монополя), найдем изменение импульса при рассея- нии ед (' ае 2еЯир) е(= — [ир) Г Р (р'+ '1')"' ф'о Следовательно, то з1п 8 сов Ф вЂ” — в1п Фе', 2е» ф тп з1п 6 врл Ф = — соз Ф ° 2ея ср Отсюда находим , (2Фе — — (2Ф 2еи вио 8 1 др 2ея, дре созе Фе 1.
дР О д8 асс ез дФ Ми Ч' дФ др дсозд Следовательно, с(о= ( — ) —,с1Й. Следовательно, 2еР . 1 дРз еР дра 1 (2 2Фр = — с(ц Ф; р' = —; — . — = —;— еви 8 2 д сов 8 есо 8а дФ 2 Окончательно получим ер 1 2еа~ 8' 3,21. Передача импульса определяется соотношением (см. задачу 3.8) Если Рз((и, то рассеяния на малые углы не происходит.
Если рЛ и„ то, выбярая осн координат так, чтобы р= (р, О, О), найдем тоз1п 8 сов Ф = — — в1н 2Ф,; 2ер сра то в1п 8 в1п Ф = — соз 2Фе. 2ер срз 156 Задача ца х тел и рассеяние частиц 3.22. Уравнение относительного движения заряда е массой т~ и монополя заряда л массой лта в системе их центра масс сводится к уравнению рг = — — [г — ~ — р[гг) = — —, [г ( —,, ) — —,1 ° (2) Правую часть этого уравнения можно представить в виде (3) поэтому интегралом движения является также вектор 1 == М+ Ь=р[гг) —— ея т с г (4) Возводя (4) в квадрат, получим Р =М'+от. Отсюда видно, что абсолютная величина кинетического момента (5) а4 = [р[гг1 [ является интегралом движения.
Поскольку имеют место интегралы л4=Л4е н а=ос, траекторией и-точки в плоскости, нормальной вектору М, является прямая, Расстояние этой прямой от начала координат есть прицельный параметр р. Следовательно, ге (о1)е + ра Чтобы определить движение вращающейся плоскости, нормальной к М, направим ось г декартовых координат вдоль вектора 1. В этом случае для азимутального угла сферической системы координат имеем г ея ! % (6) ита и сесар (Р~) +Р где 1т — приведенная масса, Из этого уравнения следует, что абсолютная величина относительной скорости является интегралом движения, После умножения обеих частей (1) слева векторно на г и простых преобразований находим 157 Сечения рассеяния и захвата частиц 2) где угол ф определяется соотношением с(н1р = — =— з ед 1!т' )5ОРс и является половиной угла раствора конуса с осью, параллельной 3,— на этом конусе расположена траектория )е-точки.
Интегрируя (б) по времени, находим полное изменение азимутального угла за время рассеяния: ея и 1Р О РР С С05 1Р 5!П 1(1 Угол рассеяния О, как показывает геометрическое построение, связан с углом 1р соотношением сов О„,= — соаоф+в!из!рсоа ! — ' 5!ПЧ1 / которое вместе с выражением Йт (ен)р Ос) 51П1!11с055 1) с(г), Г и 251п 1) ) ! + соя(п15!п1))+ 5!п(п1$!п1р)] ~ 2 определяет дифференциальное сечение рассеяния (для малых уг- лов сечение аналогично сечению для кулонового взаимодействия с зарядами е и е'=3о/с), 3.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
