И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Реакцию вызовут те протоны, которые, по крайней мере, касаются сферической поверхности ядра. Наименьшее расстояние между протоном н центром ядра определяется уравнением Ео = — 1-1еп Полагая это расстояние равным радиусу )т ядра, получим Лео 'Ио Ео= ) Я 2лЖо Движение па такой траектории (г,я,„=Л) характеризуется моментом импульса протона М =р 72МЕ,. Следовательно, яео!с 1ВВХ о а сечение реакции Лео ! Яее о =п)ся ! ! — — ) при Ео) —; еео о =О при Ее < —, й (Гл.
3 Задача двух тел и ассеяиие частиц Сечение реакции для нейтронов ОЛ лл П !та, 3.24. Потенциальная эффективная энергия Тра а ('еп (и) обладает максимумом при а ее экстремальное значение равно а У Лц тл-2 У„е(г!) = — (и — 2) ~ — ) ° (,ат„р ) Для точечного тела захват реализуется при р~р„для которого (уе!!(и! Ро) л~ Т,; аначение ра = ппа(п — 2) и а !и» В этом случае У,н достигает максимума прн зт„, — !!» (р ) (и 2)!тл Если Й( г,(ро), то сечение захвата 2-л л / ц !2/л о = яре = и л (и — 2) о '( 2т„) Если же Я>г!(ро), то будут захвачены все частицы, для которых р<р!, где р! определяется из уравнения т р, да ял поэтому 3.25. Рассмотрим рассеяние частиц, прицельные расстояния которых лежат в интервале (р, р+Ьр), при этом согласно условию задачя Ьр~р, Разброс Ьр прицельных расстояний связан Сечения рассеяния и захвата частиц % 21 соотношением неопределенностей Ьрйржй с неточностью Лр, составляющей импульса, перпендикулярной скорости пучка до рассеяния.
Эта неточность соответствует ошибке в измерении угла рассеяния на величину ар а 8„,— — — — » —. Ре Рсар Рср Для применимости классической механики в теории рассеяния необходимо, чтобы угол рассеяния 8 „, вычисленный по классической теории, удовлетворял неравенству 8„>) 8ея))— Рер Для кулоиовского потенциала 8, а/розр, и, следовательно, классическая теория рассеяния справедлива для любых углов, если — » 1, ас т.
е. классическая теория справедлива для достаточно медленных частиц. Для потенциалов, убывающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский потенциал, 8„„- — ' (л>Ц. Рсерн Поэтому всегда найдется прицельный параметр 1 для которого 8,я-8„,. Таким обрнзом, при р.=яр~ классическая теория неприменима. ГЛАВА 4 Движение относительно неинерциальных систем отсчета $1. Положение, скорость и ускорение материальной точки относительно равных систем отсчета 4.1. Применяя преобразование Галилея, находим, что в дви.
жушейся системе отсчета х' =Ясов а1 — о»1, у' = Ю1ка1. 4.2. В системе Я выберем оси так, чтобы 4.3. Координаты относительно систем 8 и 3' связаны преобразо- ванием х' = хсова1+ увтпат, у' = — хв1п ат+ усов а1. Следовательно, х' = асов»а1 = — (1+ сов 2а1); у' = — — в)п2а1. 2 2 Отсюда получим уравнение траектории относительно 5' 4.4. Переход от одной декартовой системы к другой может быть выполнен посредством трех последовательных поворотов, совершаемых в определенном порядке.
Прежде всего перейдем к осям 5»(х",у", г»), повернув исходную систему на угол тр вокруг осп х против хода часовой стрелки. Тогда(х' =х,', у =х*, г'= х,') сов~р втп тр Π— з1птр совтр О О О 1 х,' =В,»х»„0,» = У = Ра Тогда в системе В' (если в начальный момент оси х и х' совпадают) х' =о»1 ват+ р»вйта1; у' = — о,1в1 1+р»сонат. Скорость и ускореиие точки в азиых системах !61 з 1! Затем перейдем к осям 5**(х'е,уе*, г"), совершив поворот 5* на угол О вокруг оси х* против хода часовой стрелки, В резуль- тате получим ! 0 0 О СОВЕ в!и 0 Π— и!п8 совО х," = Спх,'.; Са = Перейдя, наконец, к осям 5'(х', у', г') с помощью поворота системы 5ее на угол ф вокруг осн и*" против хода часовой стрелки, найдем М х„'=В,х,, где сов'ф в!п Ф 0 — в!пф, совф 0 0 0 ! Вки = Следовательно, суммарное преобразование х„' = ВеиСа!),,ха = Аахе определяется матрнцей А с элементами а„= соз ф сов ф — сов 8 в1п ф в1п ф1 а„= — з!п ф соз ф — сов О впт ф сов ф; аат — — в1п О з!и ф; а„= сов фв1п ф+совйсов фа!и ф; а„= — вптфа!пф+ сов Осовфсов ф; аав = — Б!и Осозф; а,а=з!пфв!пО; а„= сов ф з1п О; а = О.
Преобразование координат ча,=ч„;+ч,„ 6 Зак е ю — 1 х; = Ата ха, обратное рассмотренному, определяется матрицей, транспонированной относительно матрицы А. 4.0, Для двух наблюдателей, находящихся в поступательно движущихся относительно друг друга системах 5 и 5', скорость точки р может быть записана в виде !Б2 Движение относительно иеинернивльнын систем [Гл 4 где ч„,— скорость р-того тела относительно з-того, Отсюда, обозначая буквами О, К, В, С соответственно океан, корабль, воздух и самолет, получим чек = чсз+чвк чае =чик+ чко. Следовательно, чсв = чек — чвк = чек — чво+ чко Направляя оси х и у соответственно иа восток и север, найдем (осв) = от: (осв)р = — ов' (осв), = — ов. Следовательно„величина искомой скорости ~ - т ч лч те. 4.6.
Выберем неннерциальную систему с началом в центре окружности. Так как ч = чо + [с» г'[+ ч', то ое = а оР -+ т»еае + ив + 2чо [с» г'1+ 2чо ч' + 2 [м г'1 ч'. Учитывая, что чо [с»г'1 = ы[г'чо[=оРавз!п —" 1; чоч' = »таина — "т; а а [м г') ч' = в [г'ч'1 = с» аи, получим о' = аоР + (с» а + и)в + 2с» а (т» а+ и) знт и ~. а 4.7. а) Цилиндрические координаты. Разложение радиуса-вектора по ортам й„, пч, п, цилиндрических координат имеет вид г= р й +гпе. Следовательно, ч = г = Р йр + р йр + зй + ей~.
Здесь пр=[мйр); йч — — [с»й„); й,=О, где от=~рй,— угловая скорость триэдра пр, пч, п, относительно системы отсчета п„, пн, п,. Таким образом, получим ч =- рпр+ ру п + гй,; 2 Уравнения движения относительно неянерниальнмх систем 163 % = г' = р и, + р по+ (р р + рф) пе + рфпе + гп, = 1 и' = (р — р р') пи+ — — (реф) пи + гп,. р ог б) Сферические координаты. Разложение радиуса-вектора по ортам и„пе, ие сферических координат имеет вид г = ги„, а угловая скорость от трнэдра п„пе, ие относителыю системы отсчета и„, и„, и, равна се=бпф+фп,, Отсюда, учитывая, что и, п,сов Π— пав1п О, е =фсовбп,— срв1пбпе+ Они. и,= [нп„] =Она+фа)пбпе; ие = [мпе] = — Ои, + ф сов Опт; получим Поэтому п, = [,] = — фв1пби,— 'рсозби,.
Следовательно, т = г = гп, + гп, = гп, + гбпе+ г в1п Офпе; ье = г = (г — гб' — гфа в1п' 8) п, + (гО+ 2гб — г р' в1п 8 соз 8) пе+ + (гфв1и 8+ 2гфе1п 8+ 2г8фсов 8) ие. и 2. Уравнения движения и законы сохранения относитеиьно неинерциаиьных систем отсчета 4.8. Запишем уравнение движения в системе отсчета с началом в точке подвеса тг = та+ К вЂ” та, где К вЂ” натяжение нити. Проектируя обе части (1) на касательную к окружности траектории маятника, получим тЬр = — тцвптф — тасозф. (2) Полагая здесь а = [~ах+ де соз ф„; а = — ]г ае+ Ое в1п ф„, получим ф+ ~ в!па(ф — фц) = О.
Движение относительно неииерциальных систем !Гл 4 164 Очевидно, положение равновесия определяется углом у, . Производя в (2) замену ~р = <р, + х, находим уравнение /дл 2( ее х+ ав з1п х = О; ав = Решение этого уравнения см. в задаче 7.1. 4.9. Условие равновесия маятника в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью а и движущейся с ускорением ин„ имеет вид К+ тд = ттио — та'Р. Проектируя обе части этого уравнения на горизонталь и вертикаль и исключая реакцию подвеса К, найдем величину ускорения аь — — — К+ а'!созя~, где ! — длина подвеса маятника.
4.10. В системе отсчета, жестко связанной с треугольником, выберем декартовы координаты с осью у, направленной вдоль основания треугольника, н началом координат в точке равновесия шарика. В этой системе имеем уравнение ту-(- (2н — тав) у = О, решение которого запишем в виде у = а соз (Я! + «ре), где а, ~ро — постоянные, определяемые начальными условиями, а й=- 2 — — ав есть частота колебаний (она не зависит от параметров треугольника).
В инерциальиой системе отсчета найдем закон движения шарика: х = й сов а! — асов (ел!+ ~ре) з3п а1; д = йз!па!+ асов(Ы -)-~ре)сова!, 4.!1. Из закона сохранения энергии во вращающейся системе отсчета следует, что — + тйз соз а — — а э з!и а = Ео, аов Ш 2 2 4 21 У авнения движения относительно иеинерниальных систеи 165 где з — расстояние, отсчитываемое вдоль прямой. Следовательно, тР = — ! Ее — тйз сов а + — аяза з1пе сс). ж 2 4.!2. В системе отсчета, вращающейся вместе с кривой, имеет место закон сохранения энергии шарика шов 61 т — + тру — — (аг] = Еа.
2 2 оР, До у = — х'+ —. 2я тя 4.!3. Пусть ось х' вращающейся с угловой скоростью а системы координат направлена вдоль трубки. Тогда уравнение движения шарика относительно трубки имеет вид где и — жесткость пружины, а 1о — ее длина в ненапряженном со- стоянии, Решением этого уравнения является где ь)в = — — оР.
Подставляя полученное решение в формулы прея образования х = х'соза1; у = х'в!яа1, у = — 2ах+ аву; Полагая здесь о = О и раскрывая [аг]т, найдем тх' + и (х' — 1,) — та'х' = — т!1 а!и а1, х'= я, 1з!паг — — з!па!)+ !', ( —" — ' И), найдем закон движения шарика в неподвижных координатах. 4Л4. Записывая уравнение движения тг = тя — 2т [ат] — т 1а ]аг]] в координатах х = 2ау+ а'х; х= я и вводя перемещенную $ = х+ !у, из (1) — (2) получим й — аа$ -1- 21ав = О. Решением этого уравнения является функция 5 = е — '"(А+В1). (1) (2) (Э) Движение относительно неннерцнвльних систем [Гл. 4 Полагая здесь А = ае"', В = Ьь4', найдем х = асов(оз1 — а) + Ы сов(Ы вЂ” б); у = — а зйт (от) — а) — о1 з)п(отг — ])); кроме того, из (3) имеем: г = — уР~2+ го1+ го. При движении точки сохраняются обобщенная энергия и проекция момента вектора обобщенного импульса на ось ж — +тйт — — сов(хв+ ух) = Ео' 2 2 т (ху — «у) + лно (хо+ рв) = М„.
4.15. Во вращающейся вместе с окружностью системе отсчета имеет место закон сохранения энергии оюл /И вЂ” — тйг — — (ыг] =Во 2 2 Выберем начало координат в верхней точке окружности и направим ось х вдоль хорды, а ось у перпендикулярно хорде в плоскости окружности. Тогда, учитывая, что в рассматриваемой задаче Ео = О, получим уравнение — — тлх сов ф — — ы х з1п ф = О. тхв в в в 2 2 Отсюда получим интеграл, определяющий время движения точки: еяоово ох т' товхв виР ф + 2их сов ф Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату: 1п ] — ]~2Ятовз1п'ф(2йтоввМРф+2й)+ сов!пф ь н 2тсото 5! н ф + К 4.16.
В системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения имеет вид тг' = го — т1ы (ыг']] — 2т (тог'], где Ро — сила прнтяженкя Земли, а г' — радиус-вектор точки с началом в центре инерции Земли, Введем теперь систему отсчета 4 21 Уравнения движения относительно неинерниальнмх систем 167 5' с началом на поверхности Земли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
