И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отсюда получим уравнение ф — — й )' фа+ а /Ро в котором перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию ф по длине дуги окружности. Тогда — — — ~Й 1ГЪтг7 уравненяя Лагранжа с еакннямн евяэеа 187 или после интегрирования та+ т' та +на/Ро 1п ~У ЧЪ+ г'. %о+ а /Ро где гро — угловая скорость в начальный момент времени (материальная точка при атом находилась в точке хо=О). Так как прн з=/ ~р=О, из последнего выражения находим ~Р3+$ "~уо+а /Ро = Л / ° .
Ре Отсюда можно получить 'Ро — У %о+ й'/Ро = — — е ~~/Я'. а я я Ре Складывая оба зти результата, придем к значению начальной кинетической знергии т, = — тд зй — (1 — з). 2а Ре Затем найдем компоненты реакции связи /7,- — туза — (/ — з); Я, =та. 2я Ра 5.17. Уравнения движения и связи материальной точки, перемещающейся по наклонной шероховатой плоскости, имеют вид (см.
рнс. 5.17) "= — Ч 1//1~ — +л —,' Ля д/ лр д/ тй = тй з 1п м — й '1 р / ~ —" + Л вЂ”; 1я~ ду ' Л' д/ "= — а~~~ — й~1//! — „+ Л вЂ”, 1я1 дг /=а =О. Из третьего и четвертого уравнений находим л = тисоаа. Тогда первые два уравнения можно представить в виде я х = — Ассов я и Уравнения Лаг аз!на (2) где Если ввести новые переменные от и ф согласно формулам хг отсоа<р; у=-отв1п!р, то (1) и (2) преобразуются к виду от сов!р — о1 фв1п ф = — Апсов асов ф; от в1п !р+ от ср сов !р = й! в!и и — Ау соа еа в1п ф.
Отсюда получим оа =уз1пав3пф — ййсоаа; от тр = и в1п ее сов ф 1 ф = — лв1пасоаф. 1 Решение уравнения (3) есть (4) а затем где у = Йс(йе!. Подставляя это решение в уравнение (4), найдем 189 Уравнения Лаг анжа с еакцияии связей Возвращаясь к переменным х, д, получим, что а = — "' 1а (" 'р) [1+1а ( — ' — ф1х хна( ), Ф '* 1а — з( " 'р) [1 1а'( — — ~~)~ Х ( и (р) 22+ 2 Теперь выразим постоянные интегрирования через начальные условия х=х,; у=у,; х =х,; у =у, при 1=0: с = [1а — ( — ж) + 1ат+1 ( — — жн (хо+две) с,=д,+, [ ся Г 1 1а27-2 'Ре 1 Кззпп ~ 2т — 2 1 4 2 1а"+2 ( )1, здесь 1а<ре = у„~хе.
При у)1 «скатывающая» сила таз1п а не превосходит силу трения, равную йпгасоза. Скорость материальной точки в этом и, следовательно, — 2се х = ае1пп [ 1 2т+ 1 — ся, у= яяпп 1азт-1 1 — — ~ ~1 + 22 — 1 4 2) 1азт+'( — — ~)~+ с,; 1а22-2 ( ~ ) 1а22+ ( р)~+,. (Гл. а Уравиеиия Лагранжа 190 случае обращается в нуль в положении х=ва, .у=се в момент времени Г=сь При у<1 материальная точка не имеет точки остановки.
Однако при 1/2~~у<1 траектория имеет асимптоту, проходящую через точку х=ся параллельно оси ординат. Шероховатая наклонная плоскость действует на материальную точку с силой )1(( = тбсозаУ1+ й' . б.18. Пусть на левой грани находится часть цепочки длины з, а бз — виртуальное перемещение цепочки по граням призмы, Виртуальная работа силы тяжести на перемещении левой части цепочки равна рпзз)паба, а правой части (1 — а — з)раз1п()бз, где р — линейная плотность цепочки (виртуальная работа на перемещении цепочки по верхней грани равна нулю). Следовательно, условием равновесия является условие — р лаз)пЯбз+(1 — о — 3) рбгзигрба = О.
Отсюда (( — а) и!п () ми а+ мп() так что равность вертикальных координат концов цепочки равна (1 — а) а(п (б — а) а1п а -(- а(п р н обращается в нуль при а='б. 5.19. Вследствие уравнения связи виртуальные перемещения точки удовлетворяют условию хбх+ 4убу — 4гба =О. Для виртуальной работы имеем их бх+ кубу+ (хг — и) бх = О. Умножив последнее уравнение на неопределенный множитель Л и сложив результат умножения почленно с первым уравнением, получим (1+ хЛ) х бх+ (4+ кЛ) у бу — ((4 — яЛ) г+ Лд) бя = О. Таким образом, использовав метод неопределенных множителей Лагранжа, получим систему уравнений (1 + яЛ) х = О; (4 + яЛ) д = О; (4 — яЛ) з + Лб' = О; ха+ 4ув — ив = О. Эта система приводит к следующим положениям равновесия и значениям Л, определяющим реакцию конуса; 191 Уравнения Лагранжа с еанииями связей 41 2к ' 2к к х=~ 2, У=О, г= — Х= — —.
1 бк вм к 5.20. Запишем уравнение связи в виде х'+у'= аз (начало координат помещено в центр окружности). Учтем также, что на первую точку действуют силы с компонентами пдз ид — яз е~ Рзм = к — гм =к — (х,— х,); 2 гдз 2 и пдз Рзд = к — (Уд Уз)» 2 пдз Рз*д = к — (х,— х,); 2 а мз гз1 = зз — (Уд — Уз) 2 Таким образом, согласно принципу виртуальных перемещений Г пдз пдз х ~ — (хд — хз) + — (хд — Фа)~ бхд+ 2 2 г пдз пдз + и ~ — (у, — у,) + — (у, — у,)1 бу, = О, 2 2 а согласно уравнению связи х,бх, + у,бу, = О. (2) Применяя к уравнению (1) совместно с (2) метод неопределенных множителей, получим уравнение (2хд — хз — ха-1- Хдхд) бх, + (2Уд — Уз — Уа+ ЦУд) бУ, = О, откуда следует, что 2х, — хз — хз + азха = О' 2уд — уз — уа + Хдуд = О Если выбрать ось х, проходящую через первую точку, т. е.
положить хд — — а; у~ =О, то найдем, что уз= — уз. Аналогичные вычисления для второй точки приводят к условиям равновесия (3 + )дз) хз — х, — 2хз = О; (3 + Х~) Уз — Уд — 2Уз = О, Уравнения Лагранжа 1Га. 5 т. е. к1+2ка уа+2уа Кв ув Однако ха — — и; р, = О; уа = — у„следовательно, а х,+ ха= — —. 5.21. Положения равновесия точки: 1) х= О, у= О, з =.4-с; а *=о, д= ~ *ив~, оРЬ 3) х=~ 1м ~, у=О, в'а а=в иван уса Я = — —. и'а' 5.22. Обозначим через ф угол наклона стержня к горизонтали.
Реакция К, в нижней точке соприкосновения стержня с полусферой направлена по радиусу к центру сферы, а реакция Йа на краю полусферы направлена перпендикулярно стержню; причем векторы йь йв н ти лежат в одной плоскости. Таким образом, уравнения равновесия стержня можно записать в виде Р, соз 2ф — Рв з1п ф = О, Р, в1п 2ф + ттв соз ф = тя, тд'соз ф (2г соз ф — — ~ = 2й,г соз ф з1п ф. 2~ Разрешая полученную систему уравнений относительно совф, находим - = — ', +[( — ',)'+И"- Часть стержня, расположенная вне полусферы, имеет длину 7 гг ~ та ~ тин 1 — 2гсовф= — 1 — 2г~ ~ — ~ + — ~ 8 ~ ~ 16г ~ 2 ~ Выражение для созф обращается в единицу при 1=4 г.
Теперь учтем, что х, '+ у, '=х, '+ уз, и найдем положения равновесия второй и третьей точек: атг1б . 4 ' 4 21 Уравнении Лагранжа в невавнсиммк коораинагак 193 $2. Уравнения Лагранжа в независимых координатах н законы сохранения рбобщенного импупьса и энергии 5.23.
В качестве независимой координаты выберем расстояние х по вертикали от оси вращения блока ло груза ть тогда координаты точек: хг=х, а ха=1 †, где 1 — длина нити за вычетом половины длины окружности блока. Следовательно, функция Лагранжа системы Е = ~ ха+ т,дх+т,д(1 — х) 2 (ось х направлена вниз), Составляя уравнение Лагранжа и интегрируя его, получим ~ ига+те / 2 что и определяет хг — — хг (1) и хи=ха(1).
5.24 Пусть г — расстояние от оси вращения блока до обезьяны, Тогда функцию Лагранжа системы можно записать в виде Е =- — "и г'-,'- — ' ($ — г)в + твдг+ т,д($ — г) 2 ' 2 (ось г направлена вниз по вертикали). Отсюда получим уравнение Лагранжа ((та + тв) г тан) (тв т ) К гн Оив ич 1 та иа — гав г= ' $1- иг +иге ' 2 5.25.
Выбирая х в качестве независимой координаты, получим ои = (1+ авив соа' йх) х', У = — т(дг) = тнусова = тйгасоаазшйх. Следовательно, Я = — (1+ авйв сов' йх) х' — тйа сов и з1п йх; ~ (1+ авхвсовввх)хв + тйасозаз1пйх = Е,. 2 7 зак Полагая для простоты, что при 1= О $ = — О; $ = О, а также г = О; г = О, найдем решение (Гл 5 Уравнения Лагранжа 194 5.26. а) Выбирая в качестве независимой координаты в — декартову координату точки на прямой, получим б) Если за независимую координату взять угол О между осью пружины н перпендикуляром, опущенным нз точки закрепления пружины на прямую, то в=8(дО, а лФ н1 а Я вЂ” — — — —— 1а) ° 2 сова з 2 [ сса8 527.
Помещая начало координат в вершину угла н направляя осн х н у по сторонам угла, получим х, = О; у, = ав1п<р; ха = асов~р; у, =- О (здесь <р — угол между стержнем и правой стороной угла). Следовательно, дата аи Я = — (т, сова ~Р+ т, в1па сР) — = (т, в1п ~Р+ та соз <Р).
Р2 5.28. а) Если обобщенной координатой является угол О (см. рис. 5.28), то И а г = — с(86; г = — 8. 2 2а1пао Тогда длина нити 1 = а-ь, а лагранжнан а ам О таайа ила Г 1 аа, а Я— — — — 1~ -! тд — с1дО. Зжпав 2 мп8 2 б) Пусть обобщенной координатой является смещение в шарика по вертикали, Тогда длина нити 1 = а -1- 2 у"(а12)а + в', а а — —" [2 ~/. ( — ') .~. и— 5.29. Пусть угол 0 между нитью и вертикалью является неаависнмой координатой. Тогда х = а соз 0 + (1 + а 6) в1п 6; у = а в1п 0 — (1 + а 0) соз 6, где 1 — длина свешивающегося конца нити в равновесии. Далее получим Я = — (1+ аО)'8'+ ту((1+ а 0) соз Π— ав1п 8); 2 11+ аО) О ,'- аО'+ ув(п8 =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
