И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. )равнение математического маятника. б) В неинерциальной системе Я' с началом в неподвижной точке окружности и осью х', направленной по диаметру окружности, получим х'=а+асов«р; у' =аз1п«р, Используя эти функции, найдем кинетическую энергию в 5', рав- и«ю и«о' иве Т' = — =- — чР, 2 2 и обобщенный потенциал Ц = — т (вг'] ч' — — 1вг']' = — тва «р (1+ соз «р) — тоРа'(1-'; сов «р). 2 Опуская опять члены вида — ~(«р, 1), получим (1). и «й в) В системе отсчета 5', связанной с окружностью и началом в ее центре, будем иметь х' = а соз «р, у' = ав1п «р. Следовательно, обобщенный потенциал ц = — т (вг'] ч' — — (вг']и + т«чо г', 2 где и«о г' = — в'а'соз «р.
Таким образом, придем к лагранжиану (1). 5.58. Совмещая начало координат с центром Земли и направляя ось х по оси вращения Земли, найдем, что ]Яг']е = Илге — (Яг)е = Яегез1пе й; ('еег'] ч* = 1л 1г'и'] = Иге з1пе 8 «р, 210 Уравнения Лаг аняга (Гл з где 1а — угловая скорость вращения Земли. Тогда лагранжиаи Я = — (го + гвеа + го вша О гра) 1- —" + — гайа зиаа О -1- т()гоз1пае.гр = 2 г 2 = — (г'+ гаев) -1- — гвз1пае(~р+й)в+ ~ .
2 2 г М = — = глгаз1п'8(~р+И) = М д.2' дф оо Кроме того, из уравнений Лагранжа (2) м'„е м,', — нагое = лггаз1п Осозе(гр+Я)а л от она а~но Е 2 ° аз Е при помощи умножения на гае найдем интеграл гнг40а ао о + 2 2т а1па Е 2га (3) Таким образом, из (1) — (3) получим интеграл энергии в виде иго Мо 2 а + Маооо = На 2 2гпго * г что позволяет найти закон движения 2 (Но 1Гегг) здесь а мо (у,гг (г) = — — + —. г 2его ' Из тех же соотношений найдем уравнение траектории Затем получим интегралы обобщенной энергии н обобщенного импульса Н = — (гг + га8о) + — Га Б1па О (гр4 — Йа) — — = Но, '(1) Обобщенно.потенпнальиые силы 21! Мее и!пе а щ М г Мг а 31па 8 б.б9. Функция Лагранжа имеет вид щоа е .~ = — — ар+ — А», 2 с где вектор-потенциал магнитного поля А = — '~нг), 2 а потенциал электрического поля р = — Ег.
Учитывая, что 1Нг1» =Н'!г»1, из (1) получим Я = — +еЕг+ е Н1г»). 2 2с б.90. Направляя ось г вдоль направления напряженности магнитного поля, получим я =- — (р'+ р'~р'+ г') + — рттрН. 2 2с Отсюда найдем интегралы движения: Ре — — тнРгтР ! — Р Н вЂ”,оее, дЯ е д~р 2с Р тле Ре д,Я е дг г! Н = р —. + ~р —. + г —. — Я = — = Не. д.в" дЯ д.к тес др д~р ' дг 2 б,б2 Вектор-потенциал магнитного диполя с моментом 1г равен А = —.
1рт) Следовательно, Я= — + — °вЂ” еое е !а 1е»1 2 с 212 Ураанення Лагранжа [Га з Отсюда найдем уравнение «Чагранжа тг = — '[яН], где Зг (яг) — рга Н= ге 5.63. Учитывая, что вектор-потенциал монополя А= —. я [пг] г г — пг найдем (и — единичный вектор) «гса егГ [пг] г Я= — +— 2 гс г — пг и, следовательно, ея [гг] тг = — —. с 5.64, Напишем лагранжиан частицы (см. задачу, 5.62) гаса е [гг] Я = —.+ — ]а —; 2 с га здесь ]а=]а(г), прячем ]а= [го]а1.
Следовательно, тг =— е [г [ия]] е -[- — (ч Н1. с ге ' с Приведем также закон изменения кинетической энергии и агпа е [г [прц г ги 2 с га Заметим, что вращение нейтронных звезд, обладающих дипольным моментом, приводит к появлению вихревого электрического поля и к ускорению заряженных частиц. 565. Напишем лагранжнан заряда в цилиндрических координатах: Р .сг = т (р'-[- ра,а л за) ер ~рос[р 2 с а уравнения и интеграл движения. тр = гпр<р' — — рр Н, 21З Обобщенно-потенциальные силы е г тр'~ — — 1 РНЕР = М;, с о (2) (3) Полагая г = О, р = г„ из (1) — (3) найдем е тф = — Н(г„1); с (4) г е г лгго гр — — ) РНс(Р = г)4о' с,) о Уравнение (5) можно представить в виде (5) а е Ф = Мо 2пс (6) г. Он Это соотношение связывает скорость изменения указанного потока со скоростью изменения напряженности магнитного поля.
Интегрируя (7) по циклу ускорения, получим Ф = 2пго Н или Ф = 2Фо' Фо = гого Н. Таким образом, поток Ф должен быть вдвое больше того потока, который был бы, если бы поле внутри орбиты было однородно, а напряженность поля равна напряженности на орбите. Это так называемое бетатронное правило <2: 1» 5.66. Лаграижиан электрона в цилиндрических координатах и Я = — (Рг + Р~%~+ гв) + — ~ РНггр. 2 с где Ф = ~ ~ Нрс(ргйр — поток напряженности поля через плоо о гцадку, охватываемую орбитой электрона.
Из (6) и (4) найдем — = 2пго —. еФ а ЫН (7) ог гя (Гл. 3 218 Уравнения Лагранжа Далее предположим, что имеют место следуюнгис начальные усло- вия: (О)=«„6(О)= — ", ~(О) =-О. 2 Тогда М, =- ар~с«о > О, а из (3) следует ,=- ъ оп 8 (4) ««о 5!и 8 по Г впво Величина ао имеет размерность длины. Например, для протона при по 0,1 с в магнитном поле Земли (15=8,1 ° 1055 элст. ед.) по- лучим 4,8 1О- 8,1 ° 10' ) Р 1 61.1(ра см 1,87.10" .8 10 0,1 "=-( .':-'' ", '= Величина ао»)г — радиуса Земли (Ь'=6,37 10' см). Кроме того, при малых скоростях аз = б 10'о у'с(о~ и (4) переходит в соотно- шение ап8 1 -О, ««о 51п 8 из которого вытекает, что « = «оз1пз6.
Таким образом, в атом случае протон движется по силовой линни. Если «о-2)е„то, пренебрегая неоднородностью поля, для «радиуса» орбиты получим ласо (О) 15 Ро = О(«а) — — ' ро=78 нм. еН («о) Определим теперь границы области„в которой может находиться протон. Из (4) имеем 5(П В «а ««о 5 1 1 (па ао по 1+ ~~ 2«о 1 5 по 2«о 51П" но — [1~ ~/~ — ( ~') ые~. Очевидно, !пч! е., п„т. е. «*з1п'6 ~рз= (М вЂ” ~ а(п'6) (по. (3) лоо«аз~по В ( е« Обобщевио-иотеиииальные силы 217 Соответствующие области для случая «е1ае< 1)2 показаны на рис. 5.67, а. б) Полагая 6 = «4/2, из (1), (2) получим т «а тоеа — +()е41(«) .= — = Е, 2 2 где 1 / в14 1а им,(«) = — (М,— — ) . 2т«а ~ е«) Графики ()в» для случаев Ма<0 и Мо>0 изображены на рис.
5 67,б, в соответственно. У и «И4В б) Рис б 67 «««г в) В случае Ма<0 для любой энергии Ее движение инфинитно Траектория симметрична относительно прямой, соединяющей центр Земли с точкой «т, которая определяется из уравнения Ео = «)в» («иие) ° В случае Мв ) 0 при ва И4 О<Е,<().„=и(;) = З2 Ра возможно рассеяние или захват частиц, Из уравнения (21, которое представим в виде Обобщенно потенннальные силы 2!9 Очевидно, величина д 1%1 , ~~„(? " йм )Ф ~ '?с является обобщенной силой, обусловленной взаимодействием токов 569. а) Выберем направление тока между узлами по часовой стрелке Тогда получим Иг ~г ! г + р(д (2). 2 2С ь С Далее пРедположнм, что 4 = 4осозедд, н найДем импеДанс 4 системы. Полагая Яд =,?де'нд; Яд = Хге'"', Я = Мое'"", получим 1'? дн ?1 = ?де; О = — '+ додФо.
С Учитывая, что ? =-,?1 —,?„найдем Ю =.?Л; 2=; )Я(= — + 1се2 1Ы ?. б) Аналогично получим 5.Ф Е', (О,— д.) ? Ог (?г . Я вЂ”вЂ” 2 ( 2 2Сд 2С 2 2С2 ~,а — —— Е. (а-О*), - Е. =О; Едг — — + Сд С " С (ад Яг) С = О. 5 70 Энергия взаимодеиствия тока с магнитным полем может быть представлена в виде — '1 А)ео = — ~ Ф,ф„ с,)с?? где ср,— поток магнитной индукции, пронизывающий 2-тый контур. Тогда лагранжиан системы Я = — ?1рд +Зндф соз1р+ — 142+ — НагЯз)пдр; (1) 2 2 здесь ?=5/3 таг — момент инерции рамки относительно оси вра- 2 щения; и? -- масса одной стороны рамки, 1 =- — а — расстоя- з Уравнения Лагранжа (Гл 5 220 ние от оси до центра масс рамки; Š— индуктивность рамки; ф — угол между плоскостью рамки н вертикалью Согласно (1) имеем интеграл энергии Е = — ф' — 2глда сов ф + — ЩЯ = Ео б 2 (2) и интеграл Ф = — "~- = Е Я+ На'в1п ф = Ф„ д „и" (3) дЕ, связанный с цикличностью координаты Я и имеющий смысл полного потока магнитной индукции через рамку.
Из (2) и (3) найдем дгиао ф + К и (ф) = Ео. где 11,гг — — — 2гнда сов ф + — (гЭо — На' в 1п гР)', 1 21. и, таким образом, получим закон движения рамки в виде — 1ф=- — 2глда в1п ф+ Нао Ясов гр, д которые„в частности, для линейных колебаний сводятся к системе (4+ На'ф+ 4РЯ = О; г'ф + 2тйа ф — На' ф = О. 5.71.
Пусть ф †уг поворота первого контура. Тогда 1, 1 Я вЂ” Его~А-) Е.яД т И Затем получим уравнения движения системы: (1-гоУ~+ Еяг0) = НАя' д1 (йф) — о А+ ндо ндо = д1 дф о дф Если проводник обладает сопротивлением, то уравнениями движения являются — (Т.1',1+ Наев1п ф) = — 4М; и 221 Обобщенно-потенциальные силы которые представим в виде тт — Ч> + Ета'тт т Ке те + 1 ~а'та = О' ~р йЕы~ Йе Йф Учитывая (3), из (2) получим (ф+~ ") — 'У=-Ма (3) Однако в квазистационарном режиме ~р мало, поэтому Енейа ~ ЙЕте ) — е ~2 'р '~1'Еа " Ме' дЕте (2) ап Поскольку Ра велико (большая нагрузка в цепи статора), то иэ (1) следует, что ГдгВД 6 Линейные колебания 5 1.
Собственные одномерные иенебаннв 6.1. Выберем в качестве обобщенной координаты угол ~р между вертикалью и пружиной. Затем найдем смещение точки х=й 16чр. Следовательно, кинетическая и потенциальная энергии соответственно равны дУ Положение равновесия определяется условием — = О, т, е. де Таким образом, точка обладает тремя положениями равновесия: % = О, й >1о; сонат,з —, )з<1о. Ь го В первом положении равновесия „й(й 1). „з "1а — Р) . даро 1,р=о, ой во втором и третьем положениях равновесия дМУ з з ~о , з к ~о д рз о-озд ! = и 11о — Йз) —; оо' = —. /Р т о 6.2. В качестве обобщенной координаты выберем угол 0 между вертикалью и частью нити между шариком и одним из стержней, Тогда кинетическая и потенциальная энергии соответственно равны йз Т аз!пзе а х г а ~з У(8) = — лза' — с1я6+ — ~ — — — и), 2 2 1 з!пв Собственные одномерные нолебаннн Положение равновесия определяется иэ условия при 20 = 60'.
Следовательно, и = тй(а~ггЗ . Далее, найдем и поэтому т я 2$ГЗ а 6.3. В качестве обобщенной координаты выберем х. Тогда Т = — (х'+ уа) =- — (1+ 4й'х')х', (У(х) = щйх'. 2 2 Очевидно, положением равновесия, определяемым иэ условия дУ вЂ” = 2тдйх = О, дх является х, = О. Затем получим оаа = 2йа2. 6.4. Шарик имеет одну степень свободы. Кинетическая энергия апарина Т = — (1 + 4р'х') х', 2 а потенциальная энергия У (х) = тйрха + и Ц аа К1 + 4рапа а Положение устойчивого равновесии шарика находится в вершине параболы. Так как — = 2ршу+ 2и, ~и дха х=а то оаа = 2рд+ 2 —.
6.5. Функция Лагранжа точки Я = — )ха сра — — (фаа — 2айсоаср+ УР— Еа]а, 2 2 [Гл б Линейные колебания 224 где в качестве обобщенной координаты выбран центральный угол 4р, отсчитываемый от прямой, которая соединяет центр окружности и точку закрепления пружины, Потенциальная энергия достигает минимума в точках 1Р, =0 пРи а))е+(е; а'+ 442 — Р 4Р2,3 = *агссоз пРи (е — Й ( а ( (е+ )е'; 2а)4 1р, = и при а ( (3 — Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
