И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Полагая А, = ае'", получим первое частное решение (ог = ог,) ()=( ( с„— ы,а 2 1 — и ассад+ы х,) ы1агя 1 Полагая А, = Ьс'б, найдем второе частное решение (ог = огя) (1) -~"--'.)-"- Общее решение определяется реальной частью суммы полученных частных решений с ора еРа — с вяам — см со — сРао (2) х = асов(оь1+ а) +Ьсоа(сояГ + р), где а, Ь, а, 1) — произвольные действительные постоянные.
Представим также общее решение (2), описывающее собственные колебания системы, в виде суперпозиции функций О, =Асов(ог,Г -(-а), О, = Всов(со,Г+ (3), Собственные и главные колебания системы 5 21 описывающих главные колебания. Тогда решение (2) принимает форму х,=ле,+ле,; х,=ле,+ле„ г, 1 г где коэффициенты 1 2 . 2 2 Л! = с„— в!а„; Л1 = — (с„— в,а„); ! 2 .
2 2 Лг = — (сы — в!атг); Ьг = с!! — вга!ы 6.26. В качестве обобщенных координат выберем смещение х, от положения равновесия первого шарика н величину х, =1!р, где !р— угол отклонения нити от вертикали. Тогда тХ! т 2 Хг 2 Т = — + — (х ! + 2х,х, соа — + х г); 2 2 У = кх! — лги(сов —. г хг ! (! = гех'+ — хг тн 21 Следовательно, уравнения движения имеют внд 2 2хт!+ х, + 202 х, = О; х,*-1- х, + вох, = О, где Йг = х!'т, вг = д11. Характеристическое уравнение системы (1) 2 (в' — й') (в' — вг) — в' = О имеет решения в1,2 = кк~ + во ~ )' ко~ + во! Затем получим общее решение в виде х, = л,е, + л,е,; х, = л,е, +'л,е„ 1 2 .
1 ° 2 где 0„0,— главные координаты системы, а коэффициенты г г. г Л! = во — !о1', Л! = в2', 1 2. Лг = в!', Лг = 2й~ — !ог. 2 2 2 В положении равновесия х„= х„= О, а вблизи положения равновесия т Т = + (х! +хе) ° 2 2 Линейные колебания [Гл. б 6.27. В приближении линейных колебаний функция Лагранжа двойного маятника имеет вид (см. рис. 6.27) я=аР р1+ — ) +гп(ерщ — лей'! ~ ре+ — ). (2 ) )' Решение уравнений Лагранжа 2(р, + (ре + 2о~~р, = 0; ~р, + ще+ сесар, = О (ооо = Я/!) ищем в виде ~рьн = Аь~"'. Тогда 2(о)ое оо') А,— о)'Ае = 0; — А,в'+ Ае(ао оэ') = О, Отсюда найдем собственные частоты е,, = о4(2~)/2) и закон движения р,=В,+Е,; р,=Д„Е,+б„Е„ где 8ь Ое — главные координаты; бее =- + 1/2; Лее = — 1/2. 6,28.
Пусть хь хя — расстояния первого и второго шариков от вершины угла. Тогда потенциальная энергия системы имеет внд у = —" [()/' х', + х', — х,х, — !а)' + (х, — !,)' + (х, — !о)е!, Определим далее положение устойчивого равновесия 2/о+!а, 2!о+ !а 3 о 3 В этом положении для вторых производных .функции (/ находим выражения: Поэтому частоты соответстненно равны ее = Зк/2т; ооа = и/и + — (!о — !а) /(2!о+ !а). т Собственные и главные колебании системы Свободные колебания системы определяются законом ~,=О,+Ое; 2е=О,— О„ где $ь Зо — смещения нз положения равновесия, а О,, Оз — главные координаты. 6.29, Пустырт, <ри — углы отклонения маятннков от вертнкалн.
Следовательно, вблизи положения равновесия 2 ~ о 2 (1) а кинетическая энергия т= — '(ро+ 4. 2 Учитывая, что а„= О; а„= а,е гпР; сто — — — н Р; с„= с„= гла1+ + т«1е, нз уравнения (1) задачи 6.25 найдем вот= во ве во+ 2~ ' где вэо=ф1; 1Р =м1гл. Следовательно, <Рт = а соз (в, 1+ а) + Ь соа (в,1+ Р); (2) че = асов(а,1+ се) — Ьсоз(в,1+ ~3). Если Й С(в„то решение (2) описывает почти-гармонические колебання. Чтобы показать это, эапншем (2) в виде ~тРт) Ре (~1) аеео ( ( 1) Ье™оьмв) егот=ре~Ато'т) ет„т (О) где ве — частота биений: во=во — в~ =11и/во.
Из (3) найдем Аед, в 1 Ь«~2аЬ~®а( 1 1 ~ с). о е! и а ~ Ь |1п (ве $+ Й 1д уьо а сое а ~ Ь сое 1во 1+ р) Амплитуды Аьо медленно изменяются с частотой во ~во в пределах ~а — Ь! «=Аьи<а+Ь. Найдем среднюю за период 2п1во полную энергию первого маятника. Поскольку А~(1) практически постоянна в течение одного цикла колебаний частоты во, то 03Рф1 е Й ~ в1е 'и е е нм™о Е, ( — -1- (агф+ м 1') — ~ — — (<р~ + вар~) = — Аь 2 2 2 2 (5) (Гн а Лннеанмн нолебаннн 238 взоре г Аналогично Е, = — Аг. Следовательно, полная энергия системы 2 (6) Е = Е, + Е, = т(г вне (аг + Ь').
Из (6) и (4) видно, что энергия каждого маятника меняется со временем (эффект биений). Этот эффект будет наибольшим, если а Ь. Например, выберем начальные условия в виде % (0) = срг (0) = 0; % (0) = Ч'е; <Рг (0) = О. Тогда а=6=0; а=Ь=гре(2. В этом случае А~=гросозве(; Аз=грез(па (, где частота модуляции в~=вв/2. Таким образом, из (6) и (6) следует егег меч'а . г г Е= 2 Е, = — (! + соава!); Ен = — (! — соава!).
Е Е 2 2 6.30. Кинетическая энергия системы «гх! «ге2 Т= — + —, 2 2 где х, — отклонение отого отрицательного заряда от соответствующего положительного заряда Потенциальная энергия системы ег е* ег ен еее 2 0 — — + — — + (хг + хгг). !г — «г Я+хе — хг й+хг 2 Предполагая, что расстояние Я велико по сравнению с х1 и хг, после разложения в ряд находим 2е' е' же У = — — х х — — + — (х'+ х').
Рг Я 2 Далее запишем уравнения движения системы г х, + в х, — аах, = 0; х + в х, — ()г х, = 0; 2ег !2 =— нгйа Из характеристического уравнения (вг е— вг) (ваг — вг) — г)а = 0 Собственные н главные колебания системы 239 найдем собственные частоты ете = отв ~ 1ав = сов -1. —. 2ев ья о о ям1а При рассмотрении этой задачи по квантовой теории энергия системы имеет дискретные значения Е = й сот ~пт+ — ) +й сов (пв+ — ), где пь пт — квантовые числа (пь па=О, 1, 2,,).
Для энергии основного состояния (пг=пв=О) находим Еее = — (сот + гов). л 2 (2) Используем здесь значения частот нз (1) н учтем, что Иеч."гое. Тогда, разлагая в ряд (2), получим еа Еее=йгее 1 — — +... еде 4 следовательно, взаимодействие атомов приводит к добавочной отрицательной потенциальной энергии -11)се. Таким образом, осцилляторы будут притягиваться с силой !Яг, которая называется силой Ван-дер-Ваальса. В.31. Кинетическая энергия системы гяР в глР а т = — Ъ + — тв~ 2 2 здесь грь грв — углы отклонения маятников от вертикали. Потенциальная энергия тМе . У = — Мл1 сов ~р, — Маг! соз <рв — —; л Яв = (а+ 1з1п «ре — 1в)п ~р,]е+ 1'(сов ~рв — сов <р,)е (1) (ось г направлена по вертикали вниз). Предполагая далее, что ~рь дв<:1, 1~рь Араба, получим после разложения в ряд + г + МЫ! тМе Г Р в1 1 2 а ~ е ое Затем найдем положение равновесия тМЧ Чтет = — Фвее = МаР ов (Миг 4 ) (Гл.
а 240 Линейные колебаннн Следовательно, даУ ! дЧУ ! 2у МаР 'даУ ! 2у Мага Г М, у Ма У 2уМа д,+ !'; — 2 — )д,+ — да=О; '( л. о лнаа ) ~а УМ уМ 1 2уМ' да + У вЂ” аа — 2 — да + д, = О. (о, о нкао / ~н~ Из характеристического уравнения получим о!а = — оаа — -з — — ~ —, ха и, о еаа тна Следовательно, /М . ( 2ум — оао! соо сва т наыа а частота биений 2у Ма/а о>о = о!а о!о = У Наконец, полагая М вЂ” т=Ат, находим 6.32. Лагранжиан заряда в цилиндрических координатах имеет вид (е= — ее<0) Р Я = — (р' + р'ф' + га) — — ' ф Н р !( р — — г' р — 1, 2 с !в! 2 др1' Запишем далее интегралы энергии и обобщенного импульса — (р'+ р'ф'+ ге) = у'„ 2 тр ф — — ! рНс(р — — р — ! = Ма. са ГГ аа дН1 с 2 да 3 (2) Вводя отклонения де=фа — фсао материальных точек от положения равновесия, найдем %21 Собственные н главные колебания системы 24е Исключая из (1) гр с помощью (2), получим То = — (р" + г') + У, 2 где а Положение равновесной орбиты определяется уравнениями ди )ГМ, е,р ео я дН1 — = — à — + — (р НА р — — г' — Х др ят ~ р ср 2с др а е Ме ео Г ео ео о д'Н) х ~ — — — — "РН(р+ — Н- — —" =О; Ро ср с 2с дро 1 дУ 1 Г Мо ео ео о дН1! ео дНт — = — — + — р Нс(р — — г' — — — г — = О,.
де лг" р ср 2с др ~ (, с др ) Из этих уравнений находим Разлатая () в ряд вблизи положения равновесия рот †в; г„=О пс степеням отклонений х=р †)( и г, найдем с,око сыто и= —,+ —, 2 2 (б> где где еоН(Н) )à —, еоНЯ) у- 1 — д, (6) сМ,(2 — е) та — е ~ еоНо(1 — е)гд ~ Далее приближенна получим лето гл вя глео Я= — + — х +— 1 2 2 2 гл ыг г + — г', 2 Гл. 6 Линейные колебания '242 — частоты радиальных и аксиальных колебаний соответственно, Частоты этих колебаний порядка частоты вращения по равновесной орбите ме=ееН(й)/тс.
Из (6) следует, что радиальные колебания устойчивы при условии О(д(1 (мягкая фокусировка). 6.33. В качестве обобщенных координат удобно выбрать координату х точки подвеса и угол ~р отклонения математического маятника от вертикали. В этих координатах функция Лагранжа имеет внд Я = — х'+ т1х/рсоа/р + — 1е~ре+ т31 соаф 2 2 (ось г направлена вниз по вертикали). Далее согласно общей процедуре решения найдем, что м,=О; ад=в а4+м я /и 6.34. Направим ось х вдоль одного нз стержней.
Тогда т= — 'х',+ — "" ';, и= — "(Яхе — Д) +а — 1)Я. 2 2 2 Преобразуем эти выражения, выделяя движение центра масс и относительное движение. В результате получим функцию Лагранжа в виде (м, + /не) ° 1„р и Я= х + — — — ((/'хе+ а' — 1)', 2 2 2 где /х — приведенная масса; х — координата центра масс; х=хя — хь Координата х — циклическая, что приводит к нулевой частоте (это соответствует сохранению скорости центра масс). В системе центра масс шариков положениями устойчивого равновесия являются точки х„=О прн а>1 и х„,.4- (1е — ае)'/з при 1>а.
Им соответствуют частоты ~ н(а — 1) 1//Я ( ~ н(/е — ое) ~ин ) 6.35. Будем отсчитывать координаты зарядов — углы ~р1 и ° ря — от некоторой точки окружности против часовой стрелки и напишем лагранжнан системы 2 л/ие я ее 2 ~. ~чь — М)~' 2) Собстнениые и главные колебания системы где лг — масса каждой из точек; е — ее заряд. Пусть ф — угловая координата центра масс, а ф †углов координата относительного положения зарядов: 1 'Р— (Фя+%)1 Ф = Фя %. 2 Тогда я = — (2~ря+ — )— Поскольку координата ~р — циклическая, <р=яго.
Далее рассмотрим поведение координаты ф в окрестности точек ф„, которые удовлетворяют требованию дУ/дф=О (ф,с=гй, где й=1, 3,...). Частота линейных колебаний координаты ф в окрестностях этих точек одна и та же и равна ея АР Общее решение в указанном приближении имеет вид ~р, = с+ а1+ — осев(го1+ р); 2 ~ря = с+ а1 — — бсов(ог1+11). 1 2 6.36.
Начало координат поместим в центр Земли и введем обобщенные координаты: 6 — угол, между радиусом-вектором центра масс системы и фиксированным направлением, лежащим в плоскости орбиты; гр — угол, образуемый стержнем с радиусом- вектором центра масс, Тогда хс, = л аз о~ — (е+ р); дс, = лв1п 6 ~ — 1 (6-;- р). 2 2 Следовательно, ~+,= ~ям+(Я'(е+~) ~; кроме того, получим потенциальную энергию (Я»1): и-— т тМ т тм ~Де+ Я вЂ” Иссяк~ ~йе+ ~ — ) +Иссяк~ — — ~ 2 + — ( — сов (р) ~ . Линейные колебания 1Гл. 6 'Таким образом, лагранжиан маятника Я = ле 1уее+ — (6+ ф)е1+ — лев02Р е р, 4 4 где вг = ТМяа Теперь запишем уравнения движения: Л 6+ 1' — ''1*(6+ф) =О; 12/ 6+ ф = — 3ао гсов ф з1п ф.
(2) Из (1) получим 6=в ге 4яе+ /е откуда следует, что )6)~(ф). Поэтому пренебрежем в (2) ускорением 6 и, рассматривая линейные колебания ф~1, найдем ф+ 3ао~ф — О х + Иу — ао~ х = О; у — Их — вау = О; г (2) з+ (ам+ам)н = О, г г где И = ееН/пес; во| = неге,/т; ва = еогег/нг. Решение уравнений (1), (2) удобно искать в комплексном ниде Характеристическое уравнение системы (1) и (2) ! — (ве+ во1) (Иа =Π— (Иа — (ве + агог) имеет решение г 1 Г г г г тГ е г г е г г аьг = — ~~И вЂ” аее — вег ~ У~У(И вЂ” ае~ — аа) — 4ае~ вег ~, 2( Итак, частота колебаний рассмотренного маятника в 1/ 3 раз больше частоты вращения центра масс маятника вокруг Земли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
