И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 28
Текст из файла (страница 28)
дЧ/ 2 д422 11,2,3,4 Е21,2,3,4 = а4)42 Окончательно имеем 2 Аа (а — Й вЂ” (е) 321 лЯ (а — )4) 2 йа((4 — а — 44) . тд (а+ 44) 2 й 332,3 = 4~ Й21о (4а%3 — (а' + )42 — (оо)31. 6.6. Направим ось н вверх по оси цилиндра, а ось х через низшую точку пересечения цилиндра и секущей плоскости. В качестве обобщенной координаты выберем угол 42 цилиндрической системы координат. Исключим зависимость кинетической и потенциальной энергий точки от я н г с помощью уравнения секущей плоскости. Затем получим функцию Лагранжа Я = '", 4Р2() +)Я21х з)п24Р) + л4йЖсоз1Р (643 2 и следующее выражение для квадрата частоты: 6.7.
Линией пересечения горизонтального цилиндра с плоскостью является эллипс. Направим ось а перпендикулярно плоскости эллипса, а оси х и р вдоль его полуосей. Затем перейдем к параметрическому представлению эллипса: х= — соз$; р=Ю)п$; Р 3!и а Эти точки являются положениями устойчивого равновесия материальной точки. Частоты линейных колебаний в окрестностях точек 331, 1ръ 1р3, ~р4 находятся по формуле 225 Собственные одномерные колебания здесь я — радиус цилиндра, а а — угол наклона секущей плоскости к горизонту. Тогда получим функцию Лагранжа Я = — 1 1 + созе $) $в+ таЯ соз ~, 2 1 в1пва с помощью которой найдем, что частота колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия ~=0 не зависит от угла наклона секущей плоскости н равна р' а/я . Кинетическая и потенциальная энергии как функции времени соответственно равны Т = — л Асов ~ 1+)3 У = — таяАаз1пв ~( ~ 1+ ~ 1 Следовательно, зл ~/— (Т) = — ~( ~ ~ Тта = — таяА'.
г, г ! ~ а 4 о Аналогично (и) = — таЯЛ' = (Т). 1 4 6.8. Выберем х в качестве обобщенной координаты. Тогда Т = — (1+аЧРсоввйх)ха, 2 а потенциальная энергия У = — тат = таа сов тхз1п йх. Приравнивая нулю производную — = Ьпаасовасовах = О, ди дк найдем положения равновесия: х, = — (2а+ 1); л = О, ~ 1, ~ 2,... 2В Затем получим, что при нечетных и дти 1 — = — таава сов и з1п йх = таайв сов и ) О. дк в ~.т тат Зак. 4 [Гл. а Линейные колебания Таким образом, 6.9.0 т: в ( 2У~ )'Л 6.11. Поместим начало координатной оси в середину трубки и выберем в качестве обобщенной координаты смещение х заряда вдоль оси.
Тогда еЯ еЯ 2еЯа и= — + — = а-х а.[-х а' — ха Так как ()' =, 2х, то положение равновесия х, = 0; крою 2епа (аа — ха)а ер ° того, ()" (х,р) = 4еЯ~аа. Следовательно, «ва = — (ея>0), 4Е 6.12. В качестве обобщенной координаты выберем угол у от- лае клонения нити от вертикали. Тогда Т = — ~ре, а потенциальная 2 знергия взаимодействия заряда с его изображением У=— еа 2 (Ь вЂ” (еоа Ф) Из условия У' = 0 получим ~ре =О, а затем ее[ 2 (Л вЂ” Оа Следовательно, еае е' 2ле (а — [)а е 6.13.
В качестве обобщенной координаты выберем параметр $, определяющий положение заряда согласно соотношениям х = п соа $; у = 6а1п С. Тогда Т = ~ (оез[п*ф+ 6а~~а'ф) иа 2 Собственные одномерные колебания 227 Затем учтем, что потенциал поля между обкладками конденсатора в цилиндрических координатах равен Ф(р) = Ф,)п р /!п —" Г, / Г1 (ось з совмещена с осью обкладок конденсатора). Следовательно, У= е ' )п — )/авсозв~+Ьез1пв~ .
Гв тт 1и— т1 Из условия У' = О получим положения равновесия: и Зи ~,=О;~,=~ ~,=~ ~,= —, Далее найдем Ц" (1~) =й(Ы = Ф' . Р, У <О; !ив (7" (вв) =с1" ( ) = — '' . >О. 1и— и Таким образом, 5я, $4 являются положениями устойчивого равновесия с одинаковой частотой колебаний, которая равна е Фе ав — Ье 1/в л авьв !и— Г1 6.!4. Зададим уравнение эллипса в параметрическом виде: х = а соа $, у = Ь з1п $. Параметр в удобно выбрать в качестве обобщенной координаты. ' Тогда потенциальная энергия заряда равна У = — еЕа соз "г Она имеет изолированный минимум в точке 5=0. В окрестности этой точки получим приближенное выражение для Функции Лагранжа Я= — Ь $ — еиŠ—, в 2 Ьв 2 2 Которое приводит к значению удельного заряда е 4ие Ьв е ЕТва [Гл.
б Линейные колебания 6.16. Вводя обобщенную координату 3 с помощью функций х = а соз $; у = Ь з!и $, найдем Т = — (авз)пи$+ Ьвсоая Я ~в; 2 ц 8Я ~'УЫГЛНО ' ~ Положения равновесия определяются из условия У' = О: ив=а .ее= 2 Вычисляя вторую производную потенциальной энергии, находим — ($ = ~„фе) = — (а' — Ьв) ( 0; дйе се — ($ = $„6 ) = - — (а' — Ь') > О. деУ еЮ д1Я Ье Следовательно, заряд может колебаться около положений $в, $1 с частотой )сО)(с -ьв)~пе аавЬЗ Т=— ар~ 2 1+ 2есое ф+ е' (! + е сое ф)е р= 1 + есмф Потенциальная энергия точки равна еЯ + е0 2еО Р Рс Р (1+ е сов ф)в 1 + 2е со5 ф + ее 6.16. Потенциальная энергия заряда е в полярных координатах с началом в фокусе эллипса равна 0 = — (1 + з соа ф).
1)е Р Оиа имеет изолированный минимум в точке ф~ =0 при Де<0 и в точке фе=а для случая Яс>0. Соответственно получим в, = — — (1+а); вв = — (1 — е) . я Яе я Яе и тре л,рз 6.17. В качестве обобщенной координаты выберем угол ф полярной системы координат с центром в одном из фокусов эллипса. Тогда для точки имеем Собственные одномерные колебания так как сумма расстояний точки до фокусов р+ р, =- 2р!(1- — е'). Затем определим положения равновесия: фт =- 0 фз — л соз фз,4 е Далее находим в первом н втором положениях равновесия дз(l ! 4еО еа ! )0 (е< 0); дфз ),р, р (! + е)' Следовательно, ота (ф! з) = — (е ( 0). з Для третьего и четвертого положений равновесия получим дфз !езд р оз (фзл! = 4еО е' ( ! — ез)з ,лрз 6.18. Пусть и — расстояние между проводниками в отсутствие токов, х — смещение верхнего проводника.
Сила, действующая на проводник со стороны тока Уь равна 2,т'заза сз (а — з) Суммарная сила, действующая на проводник, Р =- — 2х ~х— где Я=,тзтзз!хсз! х — коэффициент жесткости пРУжины. Потенциалом силы Г является и=х~х +2а)п(1 — — ')~. Закон движения проводника та= (в — (Еа — (!) следует из закона сохранения энергии. [Гл. 6 Лннеаные колебания 2ЗО Положения равновесия В этих положениях [l'(х,) =2н ' ' <О; У" (х,) =2х — '' >О, ха ха Следовательно, частота линейных колебаний около положения хх устойчивого равновесия равна "-[— 2н ха — хя ~1/а т х1 6.19. Запишем потенциальную энергию маятника длины 1 и массы нг как функцию угла отклонения от вертикали: У вЂ” тй(соз ~р + та1 з1п ~р.
Вводя обозначение 1да= — а/д, перепишем это выражение в виде 0= — т1)/йа+ая соз(р — а). Далее для частоты колебаний получим 1 угу'+ а' Среднее за период колебаний значение кинетической энергии оказывается равным ан!я (Т) = — ( Т (1) Й = — Уа'+ а', 2н О 4 о где Л вЂ” амплитуда колебаний. 6.20. Рассмотрим движение бусинки в неинерциальной системе отсчета, связанной с обручем. Направляя ось а вертикально вверх по оси вращения и выбирая в качестве обобщенной координаты полярный угол 8, найдем Т вЂ”, 0(8) — тбйсоз 8 — — й й 61п 8. Положения равновесия определяются из условия У'=О: 8х = О; 8, = и; соа 8ал = — ~/Я Й~.
Далее найдем (У'(8,) = — дЯ вЂ” Я и < О; 23! Собственные олномерные колебания У'(Оа) = тджх — тйвИ'>О при Ив( и; и (!' (Оал) = тЯа Иа — Я > О пРи И* > и . аа Я Итак, со~ (0ал) = И' — —, И > 1/ —. г!а!!а г' !! 6.21. Удобно ввести цилиндрические координаты, жестко связанные с вращающимся треугольником, с началом в вершине треугольника и полярной осью, направленной вверх по оси вращения.
Топаз получим уравнение движения шарика в азимутальном направлении Ыр = тли!и ф+ — т! И' и!и 2ср — и ! з!п ~р, ! 2 где ! — сторона треугольника. Отсюда видно, что в положении динамического равновесия Иат!соз~р„= — та+ н!. Разлагая правую часть уравнения (1) в ряд по отклонению положения <рса с точностью до линейных членов включительно, найдем ~р + ~ ( — — — ) соа <р, — Иа сов 2<р„~ =«р О. Таким образом, для частоты колебаний получим 6.22. Выберем 0 — угол отклонения маятника от вертикали— в качестве независимой координаты. Тогда уравнением линейных колебаний шарика явится уравнение О+ — !О+ ~ 0=0, е! а его решением — функция аняч 0(г) = е ~' (Ав!псе(+ Всоа!а!), [Гл.
б Линейные колебания 232 где е = оР— —, ее = —. г Зяйчта Для случая слабо затухающих колебаний (тео1/ЗлЯт1) »1. Поэтому при усреднении по времени можно вынести экспоненцпальные„множители за знак интеграла. Таким образом, для среднего по периоду колебания значения энергии получим (Е(г)) = — т1а(6') + — тп1(6') = 2 2 = — т<е ее(Аа+ В') е 1 2 Следователыто, диссипацня энергии равна — — (е> = (е (г) > — ~. оа оы' 6.23.
Общее решение уравнения $+2р$+ео$=0 для слабо затухающих колебаний имеет вцд Ч = е-и'(Асов ео Г + Вз1п еаза). Поэтому среднее за период значение энергии <Е> = <т> + (и> = — е <Аа+ Ва) -о~, 2 а средняя мощность днсснпативной силы < 4'<1)) = — 2р<Е) Таким образом, добротность 2н ' а для рассматриваемого осциллятора и возрастает с убыванием радиуса образующей окружности циклоиды.
6.24. В системе координат с осью я, направленной вдоль вин- 2ЗЗ Собственные и главные колебания системы товой линии, и осью х, направленной вертикально вниз, уравнение винтовой линии, лагранжиан и диссипативная функция имеют внд х = а соа 6, у = а з1п Е, г = Ь 0; Я = — (а' -(- Ь') 6'+ т»гасов О; 2 0 = — (а'+ Ь') 0', 2 где 6 — параметр. Общее решение уравнения Лагранжа 'О+ — 'О+ Я' Е = О »я ая + Ьв можно представить в виде 6(1) = е — н' ~6(О)созе»1+ 10(О)+1»6(О)) где 1» = —; о» =- сов — р; о»е= я е а, я» 2а» о о (а»+ Ь») Колебания являются слабо затухающими, если р«ота.
В этом случае 0(1) сн с — н»)0(0)созе»о»+(6(0)+ре(0)) ' ) ° Чтобы найти закон движения при р = »ое, учтем, что Игп соз»о1 = 1, а 1пп — =1. Таким образом получим 5!пи» е-и» и 6(1) = — «е(о)+ (6(о)+ ре(о)) 1). Наконец, в случае сильно затухающих колебаний (1»»сна), найдем 6(1) = - »~е(о)1 ~ы~г+(0(о)+ре(о)1 '"1 "~' ), 1ы1 $2. Собственные и главные колебания системы 6.25. Кинетическая и потенциальная энергии системы имеют внд 1 'а '' 2.
1 Т = — (а,„х1+ 2а„х,х, + а„х,); 0 = — (с„,хя»+ 2с„х,х, + сватая). Лииеяиые колебания [Гл. 6 Здесь х, = 9, — 9„— отклонения от положения равновесия, а см — ~; с„= — ~; с„= — ~ десГ УУ десГ д9~ щ дед че ~~ ф~ Далее найдем уравнения Лагранжа: а х + а, х + смхг + сгяхе = О; а„х, + а„х, + с,ехя + с,ех, = О. решение этой системы ищем в виде ~х) (Аг) са где А1 и Ая — комплексные постоянные. Из характеристического уравнения ! — оР а„ + с„ с,е — оР агя1 ~=О с„— оР а„с„— оР аее находим два значения квадрата частоты го,',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
