И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2) 4 зкк а Эаконы изменения импульса, момента и энергии (Гл. 2 Из (1) и (2) получим у' = озе а' соа' у/а. Далее из (3) находим, что (3) 1/ 1+'УФ а соз у/а аг 1 — Мп у1а о з1яу/а = 1)гоз1. Наконец, из (2) и (4) получим (4) х=езайоз1, х=а!псаоз1. 2.9. Запишем уравнение движения тг = — е Š— — ' 1тН1 с в декартовых координатах: х — азохэн ь)у = 0; у — «зер — ьс х = 0; (1) (2) Таким образом, 5 = С,ег" г+ С,ег"и. Отсюда, используя начальные условия, найдем с,= — "* а; с,= мз — еа егз — еза Итак, йе $= м еге1г 1 оз егеи). егз — езе я=О, (3) где езо = ееЦ,/тй', И =- ееН,!тс. Йз (3) находим г(1)=-0, а из (1) и (2), вводя комплексную координату $ = х+ 1у, с учетом начальных условий получим я — еэо~$ — (и$ = О; $(0) = пег; $(0) =О.
Решение последнего уравнения будем искать в виде $ = Сег"'. Следовательно, оза+ озз е— озь) = 0; т. е. 2.10. Запишем уравнения движения электрона в декартовых координатах: ео ' 2еагГо их= — — УНо+ х; е оо лоу = — хНо~ ео " с аеоио елг = — — г. ео частот ао =- еоН/тс; Из (4) сразу следует, что (5) (6) у — Ь+ехг нао соз(4)г ( оо) Я (8) Сохранение импульсе, момента и оно гни точки х=йец= ] — весов(ахо-)-а)+а,сов(вот+а)]; Вх ооо у = 1ш$ = ] — а, в1п (ахг+ сх) + в, вйг(во~+ а)]. ах — шо Перепишем эти уравнения, вводя обозначения для ое.' = 2е~Уо(лЫ*: х+ аоу — ьеох = О; у — а,х = О; г+ьеог = О.
г =г,сов ье т++в~пй,г. о Затем, интегрируя (3), получим у — а,х= — С, а из (2) и (6) найдем х+ ьг'х = ао С (ее~ = ао — оео). Подставляя решение этого уравнения х = — '+аз1п (ьет'+а) Ио гго в (6) и полагая С =ох —, получим гго (здесь Ь, оь а, а — произвольные постоянные). (2) (з) (4) 1ОО Законы изменения импульса, момента и энергии (Гл 2 Далее, используя начальные условия, найдем, что скорость дрейфа электрона вдоль оси у равна от = (хогоо — уо) ~ — ~ ~111 и может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Кроме того, получим выражения, определяющие амплитуду и фазу: е хе (уо — о!) а'= — + —; !2а от о созга = — з1пи = хо . уо — о! ай ' Из (7) н (8) следует, что проекция траектории на плоскость ху образует эллипс, перемещающийся в направлении оси у ео скоростью о! х — ~ + < — у! (у — Ь вЂ” о,1) =аа.
< о а пэ,~ ео 2.11. Запишем уравнения движения заряда в декартовых ко- ординатах х = — го —; у саа ау х у = гав спо ау где ат =е,Но!па. Из (1) находим, что х = — — — 1(т ау, Рко го аг а (2) га — у' = то — и„,; и,п = — !(гР„,— — 1(т'уа) . (З) Теперь предположим, что Ран <'О. Тогда из анализа зависимости У,н(у) следует, что движение частицы невозможно, если То< — ' ~ — <Р„,<+ — ")'. где Р о<т- постоянная интегрирования, Используя закон сохранения кинетической энергии и (2), получим — г; — (х'+ уо) = Т 2 2 101 Сохранение импульса, момента и энергии точки При — ( — ! Раа! + — ) < Т < — ~! Р„! + — ) электрон отразится назад, а при Т, > — (')Р„,) + — ) 2аэ (, " а ) электрон пройдет сквозь магнитную стенку.
Последнее условие можно записать в форме У~о ) 4еэа/а', поскольку Р,, = — и от~а, Т, = туа)2. Из (3) найдем закон движения вдоль оси у; (4) аэа "Р и' — — (1+1ь и)' 0 а Уравнение траектории следует из (2) и (4): (1+ 1п ад) Ыд х= — ~ 2.12. Направим ось н декартовых координат вдоль напряженности магнитного поля. Тогда уравнения движения протона могут быть представлены в виде тх = аЕ соз еэ 1 — йх + — уН; с ту = еЕ з1п оэ г — йу — — хН; е с Проекция скорости протона на ось г находится без труда: г =Ье т', где у=й/тп. Чтобы найти решения двух других уравнений, умножим обе части второго уравнения на мнимую единицу, а результат умножения сложим почленно с первым уравнением.
Тогда получим 102 Законы изменения имяульеа, момента и энергии (Гл 2 (х+ ту)+ (у+ с'я) (х+су) = — 'Е ес"с, где П=еН/тс. Будем искать частное решение этого уравнения в виде х+ су = Ве" . Подстановка в уравнение дает В еЕ/с т+ с (е+ (с) Добавляя к найденному частному решению решение однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения А ( +со)с еЕ/Гл т + с (со + 1)) Полагая А=ае '" и отделяя действительную и мнимую части решения, находим х = ае ~гсов(И/+ сс) + с((усовв(-~ (в + Й)з(ив(1 у = — ае-ти з)п (й/ + а) + ас (у з1п в/ — (в + ()) соз в/1, где еЕ/лс т +(в+И) Последние формулы вместе с выражением для х дают возможность вычислить мгновенное значение мощности.
Так как оя (аа + /зе) е — зэс + с(я (уя + (в + й)е) + + 2ассе — тс (у соз ((в + И) 8 + а) + (в+ Й) з)п [(в + Й) /+ а)), эа а — = — /е(аз+'оа) е + тас( [(в+ ())я — — 1) е х са лся ~ х соз((в+Я) С+ и1 — 2ЙЫ(в+Я)е з)п((ее+ Й)1+ а1. Усредняя это выражение по периоду 2п/(в+()) и учитывая, что Ят) ея, (в+Я), получим — ) = — й(ая+ Ья)е ( — "'- см' соз Сохранение имн аьса,момента и энергии точки Заметим, что прн со= — Я (т. е для электронов) имеет место ре- зонанс. В этом случае при а=О эо о — — с — — с сгт м — = — й (аэ+б') е — лиЫ вЂ” е ся осе 2.13.
Согласно законам сохранения момента импульса и ки. нетической энергии имеем р Мо лс РосР = Мо; — + — ' = Е,. 2 2снро Отсюда получим Р М ар Мо 1 ср сро — ) — — агсэ1п о т' 2тЕо р — (Ео — М~!2слро) т о т. е. уравнение траектории — прямой линии: ро . Мо Р= — 1 Ро= —, 1'Ро= ) соэ ср 'г" 2сиЕо 1~ 2 ) и закон движения: Нетрудссо видеть, чторо=Мо/У2шЕо является кратчайшим рас. стоянием от начала координат до прямой 2.!4.
Ось е цилиндрической системы координат совместим с осью конденсатора. Тогда потенциальная энергия электрона в кон~ денсаторе имеет вид У= — 2ея!п р, где и — заряд единицы длины конденсатора. Закон сохранения энергии дает интеграл асор нсо, — — 2ея1про = — — 2ея1пр„ 2 2 где индексом «О» снабжены величины на внутренней обнладке конденсатора, а индексом «1» — на наружной Из закона сохранения момента импульса электрона имеем споороз!пае = лсРЯс Законы изменения нмнульса, момента н аиергни «Гл. 2 где ао — угол между радиусом-вектором электрона и его скоростью в начальный момент времени. Присоединяя к интегралам энергии н момента импульса условно рг=О (в этом случае траектория касается наружной пластинй), для критического значения утла ае найдем выражение Б!и оге — — ( — ) (1 + 1п — ) . 2Л5.
В цилиндрических координатах с началом в центре ок. ружностн и осью г, направленной по прямой, соединяющей заряды (,), напряженность поля равна и„. (р' + аа)зтз Следовательно, выражение для эффективной потенциальной энергии может быть представлено в виде 2Яд', Ме ргр~+ а~ 2ст р' Согласно условнто задачи Таким образом, квадрат момента импульса частицы 2ОЧтнйа (Йе + а')з(з 2.16.
Совмещая ось а цилиндрических координат с осью симметрии конденсатора н проектируя обе части уравнения движения электрона на ось, определяемую ортом пе, получим — (лт, р)= — — 'ррН;, а' ° а й с где Н, = Н (р) — ааданная функция. Интегрируя это уравнение в пределах от р=а (на внутренней обкладке конденсатора) до р=Ь (на наружной обкладке), получим ь тпйа <р (Ь) — лтоегр (а) =- — е 1 Н (р) 2ир Нр. 2а с,) Второе слагаемое в левой части обращается в нуль по условию задачи, а интеграл в правой части представляет собой поток Ф 105 Сохранение импульса, момента и энергии точки напряженности магнитгюго поля через сечение конденсатора. Поэтому Ф = — — тЬ ~р(Ь).
2нс е Определяя ~р (Ь) из закона сохранения энергии, в котором следует положить р1о=а = О, окончательно найдем Ф=2псЬ 1рг е' 2гп0 1е~ где У вЂ” разность потенциалов между обкладками конденсатора. 2.17. В магнитном поле Н=(2Х1ср)пэ прямого тока имеют место законы сохранения момента импульса и кинетической энергии лгр гр = мхе — (р*+ р'ра +г') = Т;.
2 Воспользуемся также интегралом 2ее' р г = — -1п —, тсэ а который следует из уравнения движения электрона вдоль оси г. Тогда, используя начальные условия и исключая г из интеграла энергии, найдем уравнение для рвах.' — 1п — =- ро, 4еэе'х а р„„„а гаага а 2.18. а) Из закона изменения момента импульса в векторных обозначениях имеем — = — [г (чНЦ = — (ч (гН) — Н (гч)). аг с с Умножая обе части этого уравнения скалярно на Н, получим аМН е = — ((Нч) (Нг) — гхе гч) = й с = — — ((Нг)' — Н'г') =- — — — (Нг1е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
