И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Из этой системы следует, что Чч ~ огч~дч = Р А) Ач~ тс ч с е ! е р, + тчрч = — ' (р — — А) А,; тс(, с е + есор = — Л ~ р =-р =0~ с р = — — — ( 4„~Н, г =- — — ( А,с(( тс тс,~ (здесь допущено, что в момент времени (=О рн(О) р,(0)=0). Я.16. Используя выражение для энергии ес-той моды На = — (раг -'; офга) 2 н гамнльтониан молекулы, получим дНа %'ч т дНа дН дНе дН вЂ” = (н,н) = ~~ ( — — — — — ) = дг а,ЕЕ ( дна дР, дРа дда ( = ~~~„~ баасоада ~„Рчйчх — Рабан ~„дК~чбг; + В.йча) ) ь ч ч Следовательно, — = Ф р — ( гМ + ВМ = — 8 ра. — г Уравнания Гамильтона $2. Уравнение Гамильтона — Якоби Я.!7. Согласно определению действии с, ст с' тгв я == ~ с'. (г, г, !) ас! = '] — с(с.
с, с, Поскольку закон движения имеет вид г(() = "* "'(( — Гт)+гс са — сс 3= — с(с =— т (св — г,)а с' т (г, — гс)' 2 (Са — Сс)в 3 2 Са — Сс с, 9Л8. Поскольку для одномерного гармонического осциллятора т„'в мха Я= — —— 2 2 получим решение уравнения Лагранжа в виде х = а сов в(+ Ьз)па! (а' = и,ссп).
Теперь определим постоянные интегрирования так, чтобы удовлетворить условиям х((!) =хь х(га) =хг. Тогда х(с) = ]хсз)па(св — !)+хая(па(г — с,)]. и!и а (св — с,) Следовательно, Я = (х,'сов 2а((в — () + х,асов 2а(! — (,)— 2 а(ла а (С, — С,) — 2х,хвсоза(г, (-св — 2с)]. Интегрируя, получим действие 8 ~ Я с(( = ~ ((хвс + х') соз а ((а — (,) — 2х,х,]. 2 ав в (Св — Сс) сг При а-~-О т( — О' 2(с,— с,) ' т.
е. совпадает с действием свободной точки в отсутствие поля. У>алкания Гамильтона — Якоби и найдем его полный интеграл Е = — Е01+ рау+ Пх), где р(х) = ~ (2тЕ, — роя+ 2таухв1п а)'Га по~„"= (2тЕо — ро + 2тадх в1п сс)ата . Злааи ан а 9,24. Записывая лаграпжиан маятника .сл = о"~'р~ + тф сов <р 2 и его обобщенный импульс р = —,=т1 ~р, д.й д~р получим гамильтоннан 1 г Н = ро ~р — Я = — ри — тф сов <р 2тР и уравнение Гамильтона — Якоби до ! Г до '1а — + — ~ — ) — тд1 сов <р = О, да 21а ~др) Далее найдем полный интеграл 3 = — Еа1 + 'м' ('р) где йг(~р) = ~ (2т(а(Е -)- тф совср)пайр, и закон движения маятника д5 1о = дЕ или 2 7 ~ и-1-тн1соаср ) 9.25. Выберем вектор-потенциал магнитного поля в виде А = — Нуп„ и запишем уравнение Гамильтона — Якоби (е= — ео) дв + ' ~~ — дв —" ну)а+( дв)'-- ~дв ) ~=О.
(1) Уравнения Гамильтона 1Гл. 9 Его полный интеграл имеет вид 3 = — Ео1+ а„х + сс,г + ~ (у). Подставляя (2) в (1), находим Г = ~ ( 2тŠ— ая ив (а, — — ' О У )ПУ. Далее согласно теореме Якоби получим со= ~ Гав д8 тйу (2тЕо — аа — (аь — — Ну) 1 (ад — — Ну) ду ~ 2тЕо — ая — ( а а — Ну ) ~ дЕ ао ду д ~„ЪтЕо — ао — (ат — — Ну) ~ (2) (3) (4) (б) Вычисляя интегралы (3), (4), найдем аес р1 с У = з1п ат(с го) еН еН (6) здесь со = —, Р ь = 'у 2лоЕо — ао ), ( ЕоН оГ 2 т тс х хо = ~Рх (ось — Ну) Из (б) и (7) также следует х — х, = сова(~ — 1,).
р1 с о= еоН Наконец, (3) и (5) приводят к закону движения вдоль напряжен- ности поля Последнее уравнение является уравнением проекции траектории на плоскость ОХу 324 [Гл 9 Уравнения Гамильтона Его полный интеграл 5 = — Еа/+ сс,х+ сваг+ /(У), где а / а, !а1!/а Г(У) Д~ 2т(Еа — еаеУ) — аа — ~сан — — НУ~ ~ с(У. 9.28.
Решение уравнения Гамильтона — Якоби до 1 /д5 с ' и — + — ( — — — асозсо//1 =0 д! 2ш (, дс с ищем в виде о = и г + 5, (!). Для функции Л, (!) получим уравнение дза ! / е та — '+ — ~а — — асовсо//! =О, т 2 ~ с откуда ! а 3,(!) = — — д! ! са — — асозоа/) Й. 2т с Итак, аа 5 = аг — — д! (и — — асозсо/) Й.
2аь с Отсюда найдем закон движения в виде дЗ 3"а = —, да ' т. е. г = гв+ — ~а! — — а зи! а!) ! / е на со с 929. Введем движушуюся вместе с плоскостью систему координат: ось Оу направим вниз по оси вращения, а ось Ох — вдоль плоскости. Далее обозначим через х и у координаты центра масс стержня на враща!ощейся вертикальной плоскости, через 9 — угол наклона стержня к горизонтальной плоскости, а через 7 — главный центральный момент инерции стержня. Тогда получим лагранжиан стержня Е = — ( х' + ун + — Оа + — саа созв 9 + сваха) + туу. 2 нь нь Отсюда найдем обобщенныс импульсы р„= — тх„р„= ту, ра =- 10 Гл. 9 Уравнения Гамильтона Отсюда 1 =! — !,+т~,, в/и» свела + 2ад =1 — / + т(3„ ! 2ивду+2аа т. е.
1п ~ ' + 1 — + 1 =о)(/ — /в)+то4ь, / с~ ох! / и' ю~х~ т2са о ящ Из последних двух выражений видно, что закон движения центра масс стержня может быть представлен в виде (при соответствующих переобозначениях постоянных) х = Ае ' + Ве™, Что касается интеграла !(О), определяющего закон вращения стержня относительно центра масс, то он сводится к эллиптическому интегралу 1-го рода. 9.30, Возьмем производную по координате х, от левой части уравнения Гамильтона — Якоби дЗ ! / е 1 / е — + — ( т/» о — — А,~ 1 р» 5 — — А» ) + е ~р =- О. д! 2и с ) с Пусть 5(г, а, !) — полный интеграл этого уравнения. Учитывая, что импульс, определенный соотношением Р~ — %У вЂ”,А является функцией координат, найдем — '(р,. + — 'А,)+ + ~7» ~Р~+ — Ас~ Ч/А ) Р»+етд!Ч=(1, — + о„— = — — — — е т/,ср+ — (Ч, А — т/» А,) о».
дрс дрв е дАс е д/ " дх» с д! ' с % 3) Канона«ее«не преобразовании. Ва национные принципы 377 Полученное уравнение совпадает с уравнением р = еЕ + — (и НС, с поскольку Е = — — — — е рр, Н = [!7 А1. дл с дС 5 3. Канонические преобразования. Интегральные вариационные принципы 9.31. Запишем необходимое и достаточное условие каноннчности преобразования гамиль!оповых переменных в виде Б (~! ٠— Я 6С) — ~~ (Р, 67! — Н 6С) = — бф (!7, СС, С). ! ! 1 †! Полагая здесь получим Я=Н+ — ' Н, дС вЂ” У' = — — = — !7 дФ, дФ! дч, " ' д!3! Рассмотренное преобразование по существу превращает «старые» импульсы в «новые» координаты, а «старые» координаты в «новые» импульсы.
9.32. Записывая основное условие каноннчности преобразования гамильтоиовых переменных в виде '~' (У', 6Ц! — Я бг) — ) (Р, бд! — Н 6С) =. — 6Ф, (!7, Я, С) с-! !=! и совершая здесь преобразование Лежандра к функции получим условие каноничности в переменных 6Ф, = л р, бд! — Е С;С,. б Р! — (Н вЂ” Я) 6С, 878 Уравнения Гамильтона (Гл. 9 Таким образом, для производящей функции Ф, = Х д!.7ь! получим дФ дФ Р = — =~У' !и' = да ' др Я'=Н+ — =Н. дФв д! 6Ф,(д, д,7) — ~' (Р,бц — а.,жу — (Н вЂ” уд)6(, к-! откуда следует д дФ1 Р! = —.
дса Таким образом, — — у = н+ —, дФт дФь дЕ,' ж (р,б!7! — !у'!6Я,) = — 6Ф,— — '- 6! =- э ( — Й1!-г- — '69,). Х дФ! кч ! дФт, дФ! д! 2! (, дд! д!е, ! 1 ь=! Правая часть этого равенства является полным дифференциалом, так как д!',!, 9.34. Поскольку Я' =Н+— дФ, д! дФе Р= — > дд дФя д,Р * находим Р=У-)-Ы, 9=4 — а7, ,у =р — ы, а=4 — р (епреобрззоваиие Галилея» в фазовом пространстве). Затем Я =Н+ ЬЯ вЂ” а У" + ай, дМ д77 дЯ Я =- — = — — а, 7'' ==— д ся дскб да дн == -- — — Ь.
д!е 9.35. В рассматриваемол! случае уравнение р =- — =- т!о!7с(дЯ да!, до 9.33. Запишем условие каноничности преобразования переменных в виде й 3) Канонические преобразования, Вариапионные принципы 379 позволяет найти Я = (~(Ч, р), а функция дФ1 1 2 1 ,Ра = — — = — — яд онЧ дЯ 2 а!па Ц определяет зависимость вида ера = еоо (Д, Ч). Из (1), (2) находим 1 2Ю 11/2 — з1п ф, р =(2тодЯи'созД. Затем получим новый гамильтониан дФ1 в о — о + д! = ФЛа+ — 'У'21П2Дс (2) (3) (4) и уравнения Гамильтона в новых переменных — д,ра — — оа+ 2од зн22 е! (6) д Яа' '2' = — — = — — Чв соз 29.
дЧ (6) Отсюда р, = 2а1 (Ч, + Ч,) с16Яд+ 2аа(Чд — Ч,) с13Д2; рв =- 2о1 (Ч, + Чв) с1я 1~д — 2ав (Ч, — Ча) с16 фа; 'У'д = 1(Ч1 + Чд)" неся й; ~2 = а (Чд — Ча)2 се й; (1) (2) (3) Я (Р!+ Р2) + Ч1 + (Ч2 Ч1) + Ч2 ° 1 2 2 1 2 1 а 1 2 2 2 2 Соотношение (4) с помощью (1), (2) представим в виде т+)'3,У,=4 4(Ч,—,-Ч,)2 162д,+ (4) В случае со = 0 найдем решение (5), (6): Я = со! -1- а; егв = С. Из (4) получим С = Е~а, где Š— полная энергия.
Наконец, из (3) определим закон движения: ( 2Е 11/2 Ч= ( — ) з1п(од1+о). (--) 6.36. Так как производящая функция содержит только старые и новые координаты, то д Фд — д Фд р,= —, у',=, я=О. дчд ' дЯ1 (Г . 9 Уравнения Гамильтона + 4а~~(д, — с/в)' С1д' Я + с/с — сут4г + г/гг, откуда, используя (3), находим 1 г тз ас = — аг=— 4 ' 4 Таким образом, имеем каноническое преобразование р, = — (д, +,7,).М, + — 3(7,—,,) СМ„ )3 Р = — (с7~ + с/~) с(к 1"м — 2 (с/т — Ч~) с(к Я. 1 г г ес г — (с/г + с/г) совсс 1~о сУсг = — (~3 (с/с — с/г) совес Яг. 4 4 В переменных я, ус уравнения Гамильтона имеют вид: а-1. (),=~З, А=О. Ф,=О.
Следовательно, Ят = 1+ а, Яг = (/3 1+ р; Р, = Ь', 47ьг = с'. Поэтому (д,+г/г)г=4Ьгв1п'(1+и), (д,— дг)г= — сгв1пг()/31+3), 3 т. е. с/в+ с/г = ~2Ьв1п(/+а), Чт — т/г = -ь. 1' — св1п(1г'3 1+ р) (, где а, р, Ь„с — постоянные интегрирования. Полученные функции означают, что собственные частоты системы соответственно равны 1/(2п), (/ 3/(2п), а главные координаты соответственно пропорциональны с/1+с/г н дс — с/г.
9.37. Преобразование, порождаемое заданной производящей функцией, имеет вид дд д/(д, стс) рс = — .= сус, + е дд; д41 Ф1 = =41+в дЗ д/(д, ст") дсгт, дсРс С точностью до членов первого порядка по е включительно оно эквивалентно преобразованию Ф з) Канонические преобразования. Вариациониые приипипы Зз1 д1 бр =Р,— р = — и— Ф (2) дт Ьд, =ф — со =е —. др~ Далее заметим, что изменение произвольной функции г(д, р) при преобразовании (1) определяется равенством бг'=г(1~, Р) — Р(д, р) = ~)„( — бз«+ — Ьр,) = 1 / дс дР дй др« 6 « ф= — (1=1, 2,..., з), д5 дср'« которое приводит к «новым» уравнениям Гамильтона ф —, У;=- — —, Я=Н+ — (1=1, 2,..., з).
дМ д5Г д5 д«Ч' ' да ' дг Полагая дв"=О, находим новые импульсы и координаты постоян- ными. Следовательно, производящая функция удовлетворяетурав- нению — "+Н ~д, — ", 1) =О, т. е. уравнению Гамильтона — Якоби. Более того, производящая функция 5(д, Р„г) есть полный интеграл уравнения Гамильтона— д»5 Якоби, поскольку якобиан с элементами отличен от нуля. дд,дскб/« Соотношения фа = — (1 = 1,..., и) позволяют найти координаты д5 дФ,а д, как функции времени и 2з констант Ща и Р,, Зависимость импульсов от координат д и времени определяется функциями р;=- — (1=1,..., з). д5 дд~ в частности, ЬН=е[Н)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
