В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Энергия связи ЯХЯ-перехода и температурная зависимость критического тока. Прежде чем приступить к исследованию Я«Я-перехода мы приведем вычисление проводимости туннельного перехода в нормальном состоянии. Это окажется полезно для дальнейшего, т. к. мы будем сейчас использовать в более простой ситуации тот же самый метод «туннельного ГЛ.
Ъ». МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Ь(ТУ 1(0) 1.0 'Ъ 286 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 т(т Рис. 46.8. Экспериментальные результаты изучения температурной за- висимости энергетической щели в индии (светлые кружки), олове (тре- угольники) и свинце (черные кружки). Штриховая линия — зависи- мость Ь(Т) согласно теории БКШ. Г~(У) = — — ~1к,ч/ 8(еь — ся — еУЩеь)(1 — Доя)), (46.1) 2и 1 Ь Ю~г кч, где Уцз — объемы двух металлов, у(е) = (е'~~в~ + 1) ~ — фермиевская функция заполнения для электрона с энергией е, а о— гамильтониана», который нам понадобится для решения основной задачи.
Рассмотрим два куска нормального металла, разделенных потенциальным барьером из изолятора. Электрон с импульсом Ис в 1-м куске металла, подлетающий к барьеру, может протуннелировать под барьером и оказаться во 2-м куске уже с импульсом Щ Заметим, что как правило с1 ~ 1с, поскольку туннельный барьер вовсе не обязан быть однородным.
Квантовомеханическую амплитуду этого процесса мы обозначим через 1к . Будем теперь считать, что к 1-му куску металла приложено напряжение У относительно 2-го, и вычислим вероятность перехода электрона в единицу времени из любого занятого состояния 1-го металла в любое свободное состояние 2-го. Для этого мы используем»золотое правило Ферми» для вероятности переходов (в единицу времени) в непрерывном спектре (49): 1 46. ТУННЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ г87 проекция электронного спина (подразумевается, что переворота спина при туннелировании не происходит). Переходя от суммирования по импульсам к интегрированию по энергиям электрона в начальном и конечном состояниях и считая туннельные матричные элементы и плотности состояний г71 г(е) металлов не зависящими от энергии вблизи ферми-поверхности, получим (суммирование по спину дает лишнюю двойку): Г (1') = — Ф1(0)Мг(0)(~8а,ч! ) АХ(е)(1 — Х(я+ еЪ')), (46.2) Х(Р') 1 4иег — д Д'(ОМ(0)(Иа, ~').
(46.3) Заметим, что мы определили плотности состояний Л(е) в расчете на одну проекцию спина. Вернемся к сверхпроводящему туннельному 81ХБг-контакту и покажем, что энергетические щели сверхпроводников и значение нормального сопротивления В„определ44ют не только поведение квазичастичной (возвратной) ветви вольтамперной характеристики, но и величину ее прямой ветви, т.
е. величину критического сверхпроводящего тока Х, (рис. 46.7). Для этого рассмотрим детально процесс парного туннелирования в Я1Щ-переходе. Наличие туннельного взаимодействия между сверхпроводниками Я4 и Яг приводит к тому, что полная энергия системы оказывается меньше суммы энергий отдельных сверхпроводников на величину энергии связи Е„. Мы подробно обсудим вычисление этой величины при Т = О. Как и ранее, туннельный барьер можно где (~~~, „~г) — усредненные по Ферми-поверхности матричные элементы. Для вычисления среднего тока при Т > 0 надо также написать аналогичное выражение для вероятности перехода Г+ ($') в обратную сторону, однако в уже сделанном приближении Ж(е) = Ф(0) результат для туннельной проводимости от температуры не зависит, так что можно ограничиться вычислением интеграла (46.2) при Т = О, дающего Х(У) = еГ +($').
В результате ГЛ.Ч1.МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 288 рассматривать как источник упругого рассеяния, который переводит электрон из состояния с импульсом 1с в сверхпроводнике Я~ в состоЯние с импУльсом с1 в свеРхпРовоДнике Яэ. ОДнако тепеРь нам удобнее вычислять поправку к энергии системы, связанную с такими переходами, которая может быть определена с помощью второго порядка квантовомеханической теории возмущений ]49]: (46.4) Е ~, 2]оипч + очпк] ь+ д (46.5) В (46.5) величина окая + ичик — амплитуда вероятности того, что при Т = О состояния (1с, -1с) в о1 заняты, а состояния (с1, — с1) Здесь Н~ — туннельный гамильтониан, описывающий (точно так же, как и в нормальном состоянии) переход (1, 1с) -+ (2, и) электрона с импульсом Ис из сверхпроводника Я1 в состояние с импульсом Ьц в сверхпроводнике Яэ, а также обратный процесс (2, с1) -+ (1, 1с); через Ео и Еьо обозначены соответственно энергии осиовного и возбужденного состояний системы.
Возбужденное состояние возникает в связи с переходом одного электрона из состояния к (или -1с) в Я~ в состояние с1 (-с1) в Еэ, т.е. с возникновением возбуждений, по одному в каждом сверхпроводнике. Нужно отметить, что процесс парного туннелирования, по существу, пе является двухчастичным, поскольку туннелирование электронов из состояний 1с и -1с происходит по одному и определяется одночастичными туннельными матричными элементами, а возбуждения в сверхпроводниках Я1 и Яэ являются виртуальными, т.е. существующим в течение короткого периода между туннелированием первого и второго электронов пары. Следуя 164] (см.
также (112]), представим энергию связи (46.4) через матричные элементы одночастичного туннелирования 1и я и факторы когерентности ик, ек, и„, оч, смысл которых был подробно рассмотрен в 8 44: 146. ТУННЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ 289 Ь, 2~Исса — ) Еь' !и«! — !ек! = —, сь Еь' (46.6) (46.7) преобразуем (46.5) к виду Еся = —,~ ' 1 — — + В.е — . (46.8) Ь,Ь,*1 Ел+Ее ~ ЕьЕ9 ЕьЕ9~ ' ьл Здесь Не — действительная часть. При записи соотношений (46.6) и (46.8) учитывалось, что ЬЕ2 — комплексные функции, которые, по существу, представляют собой комплексные параметры порядка в сверхпроводниках Я1 и Я2 и могут быть выражены (аналогично тому, как это сделано в 9 21 при выводе джозефсоновского соотношения для мостика Асламазова — Ларкина) через амплитуду и фазу параметра порядка: Ь| = Ь1е' ', Ь2 = Ьзе' ', Ь2 —— Ьзе '~'.
(46.9) Здесь Ь12 — действительные величины, представляющие собой щели в берегах 51Щ-перехода. Рассмотрим сначала последний член в квадратных скобках в (46.8) — единственный, который зависит от разности фаз ~р = = 81 — 02 — и обозначим его через — Е2 сов ~р. Переюдя от суммирования по Й и д к интегрированию по энергиям электронного спектра в Я1 и Я2, с учетом (46.3) и (46.9) получим для Е~ при Т=О: Е~(т= О) = Ь б ~ ~ . (46ЛО) й ОЕ1Ж2 е 52 — свободны или наоборот, а множитель 2 учитывает вырождение виртуальных состояний по спину; наконец, Еь+Ед — суммарная энергия двух виртуальных возбуждений, возникающих в процессе парного туннелирования. Используя формулу (45.13) и <ледующие из нее соотношения ГЛ.
У1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Расширение пределов интегрирования в (46.10) до ~оо допустимо, поскольку интегралы быстро сходятся при е)д ~Ь~. Заменой переменных е)д = Ь)з зЬх)д и несложными выкладками интеграл в выражении (46.10) приводится к эллиптическому, и в результате получаем ) ~~ (~~ -~~~ езЕ )'-'11+Ьг ), Ь1+~э / 2ез Во Ь1 + .Ьэ ' (46.11) где последнее равенство приближенно верно, когда Ь1 и Ьз отличаются не более чем в 2 — 3 раза, и является точным при Ь1 = Ьэ. Второй член в квадратных скобках в уравнении (46.8) обращается в нуль (ввиду нечеткости) при интегрирования по еы ее, в то время как первый член формально расходится при ~еь, ~ — ) — ) оо.
Однако нас интересует только вклад в энергию, связанный с наличием сверхпроводимости в берегах контакта, поэтому мы вычтем из этого расходящегося интеграла его аналог, вычисленный для нормального состояния берегов. Обозначая полученное выражение через Е)(Т = О), получаем Е) (Т = О) = Г) Г Г / 1 1 Ь)д)2 / / )1с)сиз ~ — .
(46.12) 4 Е„ / / ~е1) + )ез~ Е1 + Ез/ Легко проверить,)) что значение интеграла (46.12) совпадает со значением Еу(Т = О), определенным в (46.10). Поэтому 1) )Рассмотрим для примера случай одинаковых сверкпроводников, Ь| = Ьь Разность Е~ — Еу приводится заменой переменных е~ = Ьх, ее = Ьу к выражению, пропорциональному интегралу у ~ ( ( 1 1 охяр — — 1+ ) х+ у 1 Л Ч. х~;/Гл. ре,Г) + хе + ~/Г+ уе е который равен нулю.
146. ТУННЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ 291 полное выражение для энергии 818-контакта Е„(~р) совпадает с (22.11). Соответственно, величина критического тока туннельного Е1 ХЯ2-перехода связана со значениями энергетической щели в Я1 и Я2 следующим выражением: (46.13) При отличных от нуля температурах вычисление Ея(Т) изложенным методом весьма усложняется, т. к. приходится учитывать фермиевскую Функцию распределения квазичастиц, а также процессы их туннелирования между берегами Я1 и Я2.
Температурная зависимость критического тока Я7Я-перехода может быть вычислена аналитически для случая одинаковых сверхпроводящих берегов (Ь1 = Ь2 = Ь). Эта зависимость получена Амбегаокаром и Баратовым (135] (см. [112, 136, 137]): (46.14) При стремлении Т к нулю выражение (46.14) переюдит в (46.13) (с Ь1 = Ь2 = Ь). При Т -+ Т, критический ток джозефсоновского перехода пропорционален А2(Т) ос (Т, — Т). Вывод о том, что вблизи точки перехода энергия связи симметричного перехода Ез(Т) <х (Т,— — Т), можно было сделать и с помощью свободной энергии Гинзбурга — Ландау: вклад в энергию, связанный с наличием туннелирования между двумя сверхпроводниками, должен быть пропорционален произведению обоих параметров порядка, Ел(Т) о~ ~х ф1 (Т) ф2(Т). В случае одинаковых сверхпроводников получаем, как и выше, Е1(Т) ~х т/Р(Т) ос (Т, — Т).
В то же время, если берега контакта имеют различные температуры сверхпроводящего перехода Т„ джозефсоновская энергия и критический ток стремятся к нулю пропорционально (7;~'" — Т)172. Все эти выводы о поведении вблизи Т, сделаны для случая 313-перехода, когда туннелирование слабое, и потому мало влияет на параметры порядка обоих сверхпроводников. Иначе дело обстоит с ЯА7Я-пере- 292 ГЛ. »11 МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ходами, когда параметр порядка вблизи Жо-границы может быть сильно подавлен из-за эффекта близости (подробнее см. (136]). Формулу (23.8) для случая о1о-перехода с одинаковыми сверхпроводящими берегами удобно также записать, используя определение квантового сопротивления, введенное в (23.8), Ел 1.йд Д 2.й„ (46.15) 347*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
