В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Поскольку Ж(0)У для большинства сверхпроводников имеет ве- личину порядка 0.3 или меньше, можно легко получить прибли- женное равенство Ьо 2йоо112 ехр( — 1/А1(0) У). (44.14) 21 При переходе к формуле (44.12) мм учли, что интегрирование ведется по малому интервалу энергий (26мр) по сравнению с фермиевской энергией ев. Поэтому можно считать, что плотность состояний А1(я) мало меняется на этом интервале и равна своему значению на уровне Ферми А1(0).
Оценим величину Ьо: дебаевская температура йх и 100К, 1я'(0)Ъ' 0.3, тогда 2ле ° 4К. Здесь мы энергии Ло1п и Ьо выражаем в кельвинах. Перейдем теперь к вычислению энергии основного состояния сверхпроводника. Общее выражение Е, для этой энергии дается 144. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА 267 формулой (44.6). Энергия основного состояния образца в нор- мальном состоянии, когда взаимодействие между электронами выключено и они заполняют все состояния под уровнем Ферми, дается формулой Е„= у 2ск. (44.15) Здесь суммирование ведется сразу по парам состояний (1с, — 1с), поэтому и появился коэффициент 2.
Энергию основного состояния сверхпроводника будем теперь отсчитывать от энергии основного состояния нормального металла,т.е.найдем величину И' = Е, — Е„. Используя (44.6) и (44.15), имеем В' = ~~» 2ек(»»й — 1) + » 2еиозй — 1' у ииикок ик . (44.16) И'= ~" ~М(1- Ы/Ей)+ й<йг ъ — ~» + ~ ей(1 — аи/Ев) — Р' '~ ейщ,щ,~ив = й>й» Ыс' » = 2 ~ св(1 — ей/.Еи) — $" ~~» ейпй»»ыпы, й>йг Ыс~ Учитывая определение Ье (44.8), находим юйпйеыий = ЬО/~l Е 2 2 Ис' Штрих у последней суммы означает, что суммирование ведется в 1с-пространстве по слою в интервале ~б»»п около поверхности Ферми. Подставляя сюда выражение для сй2 (44.10), после элементарных преобразований получим ГЛ.
Ч1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Отсюда легко получаем И' = 2 ~~~ ек(1 — еа/Еа) — ЬБ/К ь>ьг Переходя от суммирования к интегрированию, имеем Мир И~ = 2Ф(0) е 1 — Не — — о. о После интегрирования получим И = Я(0)Л~ ~— н — — Р 1+ — + 6 о1 Ьо~ + Агя)1 о ~1о 1 Используя равенство (44.13) и неравенство Дыо » Ьо, имеем окончательно И = — -Ф(0)Ьо. 1 2 2 (44.17) Нг ~ст(0) 1У(0) 12 8к 2 о (44.18) Мы видим, таким образом, что разность И" между энергиями сверхпроводящего и нормального состояний при Т = 0 оказывается отрицательной, т.е. сверхпроводящее состояние энергетически более выгодно. А зто значит, что именно такое состояние и будет реализовываться природой. В самом начале курса было установлено, что разность свободных энергий нормальной и сверхпроводящей фаз равна Нг /8я, где Н „— критическое термодинамическое поле.
Отсюда сразу следует, что при Т = 0 должно выполняться следующее соотношение: 145, СПЕКТР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 269 545. Спектр элементарных возбуждений сверхпро- водника 45.1. Энергетическая щель. Сейчас мы познакомимся с одним из важнейших понятий микроскопической теории сверхпроводимости — с энергетической щелью в спектре элементарных возбуждений сверхпроводника. Для этого зафиксируем наше внимание на какой-либо произвольной паре состояний (ц, — с1) в импульсном пространстве сверхпроводника, находящегося в основном состоянии. Какой вклад в полную энергию вносит эта пара'? Обозначим этот вклад через щ,. Из (44.6) сразу видно, что г 1 шч = 2еч"ч 2р "чпч ~"., оийс.
(45.1) Действительно, первое слагаемое здесь †кинетическ энергия пары (41, — с1), а второе слагаемое — вклад в отрицательную часть энергии основного состояния, происходящий от того, что рассматриваемая пара участвует во всевозможных процессах взаимодействия, при которых она переходит в любые другие состояния (1с, -1с), и наоборот — когда любые другие пары (1с, -1с) переходят в наше выделенное для рассмотрения состояние (с1, -41). Мы получили, таким образом, термодинамическое критическое поле при Т = О, выраженное через характерные параметры сверх- проводника — параметры его электронного спектра и злектронфононного взаимодействия.
Проверим, насколько разумными окажутся численные оценки порядков величин, даваемые формулой (44.18). В 1смз металла содержится порядка 1022 электронов, а зона проводимости имеет ширину порядка 10зВ = 10 . 1.6 10 |2эрг, следовательно, оценка плотности состояний дает Ф(0) 1022/(10 х х 1.6. 10 12)эрг 1см з 10ззэрг 1см з. Согласно предыдущим оценкам, Ье 10К 10 шэрг.
Отсюда сразу получим Н„„° - 10 ~~(1024)1~2 = 100 Э. Это вполне разумная оценка критического поля. ГЛ. »». МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 270 Коэффициент 2 во втором слагаемом появился потому, что пара («1, — «1) в сумме (44.6) встретится дважды — один раз при суммировании по 1«, другой раз — при суммировании по 1«'. Учитывая теперь выражение (44.8) для Ье н формулы (44.9) и (44.10), получим »лч = 2еч (1 еч/Еч) — 2 ~ — (1 — ац/Еч)~ Ьо = = еч е «Фч .Ьо/Еч = еч Еч (45.2) Воспользуемся теперь полученным выражением.
Предположим, что в основном состоянии сверхпроводника пара состояний («1, -«1) заведомо пуста. Введем в такой сверхпроводник один внешний электрон и поместим его в состояние «1. Какова будет теперь энергия системы? Поскольку мы ввели один электрон в состояние с1, то значит теперь пара состояний («1, — «1) не может участвовать в процессах рассеяния, т. е. не может давать вклад в энергию основного состояния сверхпроводника. Этот вклад мы только что вычислили, он равен шч. Следовательно, энергия сверхпроводника с одним «лишним» электроном в состоянии «1 будет (45.3) «»ч = »'» «лч+сч.
Этот «лишний» неспаренный электрон мы будем называть элементарным возбуждением нашей системы, или квазичастицей. В формуле (45.3) И~ — энергия основного состояния сверхпроводника, а третье слагаемое учитывает просто кинетическую энергию нашего «лишнего» электрона. Подставляя (45.2) в (45.3), имеем (45.4) »»ч = »» + Еч. Мы получили очень важную формулу. Поскольку, согласно (44.9), Еч = ей+~о ясно, что добавляя один электрон к сверхпроводнику, находящемуся в основном состоянии, мы повышаем энергию системы как 145.
СПЕКТР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 271 минимум на величину Ье (в том случае, если еч — — О, т.е. если состояние 41 находится на поверхности Ферми). Это значит, что спектр элементарных возбуждений сверхпроводника отделен от энергетического уровня, соответствующего основному состоянию сверхпроводника, энергетической щелью. > Энергетические уровни элемднтарных возбуждении Основное состояние Рис. 45.1. Энергетическая щель Ье отделяет область энергетических уровней элементарных возбуждений от уровня основного состояния (уровня конденсации электронных пар). Действительно, вновь вернемся к сверхпроводнику в основном состоянии. Пусть в результате какого-то внешнего воздействия один нз электронов пары (41,-ц) переведен в соседнюю ячейку 1с-пространства. Напомним, что поскольку рассматривается основное состояние сверхпроводника, первоначально все ячейки в 1с-пространстве были или попарно заполнены, или попарно пусты.
Перевод одного из электронов пары (с1, — 41) в соседнюю ячейку означает появление двух неспаренных (возбужденных) электронов: один остается в одном из состояний (с1, — с1), а второй появляется в соседней ячейке и, конечно, не имеет парного себе в противоположной точке 14-пространства. Согласно только что проведенному рассуждению, на такой разрыв пары требуется энергия не меньше 2Ье. Это можно схематически изобразить с помощью диаграммы (рис. 45.1).
Все парные состояния сконденсированы на уровне, характеризующем основное состояние сверхпроводника. Лишний электрон на этом уровне оказаться не может и должен занять первый незанятый уровень спектра элементарных возбуждений. При разрыве пары оба электрона нары должны подняться на уровни спектра элементарных возбуждений, и поэтому должна быть затрачена энергия, большвл 2Ье. ГЛ. Ч1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 272 Существование энергетической щели является очень важным свойством сверхпроводника и объясняет многие закономерности его поведения.
45.2. Плотность состояний элементарных возбуждений сверхпроводника н длина когерентности. На рис. 45.1 была схематически показана нижняя часть спектра элементарных возбуждений сверхпроводника. Используя формулу (44.9), легко получить выражение для плотности состояний в спектре элементарных возбуждений сверхпроводника. Действительно, Еь — это энергия элементарного возбуждения (см. формулу (45.4)), т.е.
зто величина, на которую увеличивается энергия системы, если к сверхпроводнику добавляется электрон с импульсом Ыс, причем Ев = сь+ Ьо = 2 2 Зависимость Еь от я, которая следует из приведенной выше формулы, изображена на рис. 45.2. Уже из рисунка видно, что уровни элементарных возбуждений сверхпроводника сгущаются при Еи -+ Ьо.
Плотность состояний, или число энергетических уровней, приходящихся на единичный интервал энергии и на 1смз материала, очевидно, равна р(Е) = Ии/с(Е, й~/~Ы = М(0). Поэтому р(Е) = — — = Ф(0) й ~Ы Е Е'- 2о (45.5) где сЬ вЂ чис уровней в энергетическом интервале сИ около уровня Е. Но с( /сЫ вЂ э плотность состояний около уровня Ферми для металла в нормальном состоянии (в расчете на одну проекцию спина), т.
е. 145. СПЕКТР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 273 Последняя формула показывает, что, действительно, плотность состояний для элементарных возбуждений сверхпроводника р(Е) -+ оо при Š— ~ Ье. Эта ситуация изображена на рис. 45.2. йр й д7(б) Р(Е) Рнс. 45.2. Спектр элементарных возбуждений сверхпроводннка Еь н плотность состояний р(Е). Рассмотрим теперь, как микроскопическая теория сверхпроводимости позволяет оценить длину когерентностн сверхпроводника. Волновая функция основного состояния сверхпроводника нами уже рассматривалась в п.44.1. Основное состояние может быть изображено распределением спаренных электронов в 1с-цространстве, что дается функцией екэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
