В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теория коллективного пиннинга была развита в работах Ларкина и др. (114, 115, 96, 11б). В этом параграфе мы опишем качественный подход, позволяющий оценить величину критического тока при коллективном пиннинге. Начнем с самого простого случая: одна вихревая линия в поле слабых дефектов. Как мы знаем (см.
(29.3)), вихрь в изотропном чистом сверхпроводнике обладает определенной энергией на единицу длины равной с1 = ~ — 9-) 1п к = со 1п и. Это означает / ф ~4 Л! 7 что если вихревую линию изогнуть, то ее энергия увеличится, т.е. вихрь ведет себя как упругая струна. Добавка к энергии вихря из-за изгиба пропорциональна его удлинению и при плавных изгибах может быть записана как Ен = — и'я (41. 1) где и — вектор смещения участка вихря, соответствующего координате г вдоль него. Предположим сначала, что коэффициент линейного натяжения с1 очень велик, так что можно считать вихрь совершенно прямым, и рассмотрим его взаимодействие с мелкими дефектами.
Каждый такой дефект изменяет энергию вихря (если находится вблизи его кора) на величину порядка е„р„и случайную по знаку (поскольку среднее изменение 141. КОЛЛЕКТИВНЫЙ НИННИНГ ВИХРЕЙ 2ЗТ «2 «1 — Я Ь ) (41.2) энергии вихря из-за дефектов не приводит к его зацеплению, мы можем считать, что среднее значение бе„р„„— — 0). При концентрации примесей ««„р„„на длине Х вдоль вихря в коре находится примерно Л/ ««дрим(~Х дефектов, так что при перемещении вихря в другое положение (на расстояние порядка С) энергия взаимодействия с дефектами изменится на величину порядка Е „„„(Х) е„р„м~ГУ е„р„„((««„р„„Х)~~2. Заметим здесь, что именно размер кора вихря С определяет характерный пространственный масштаб, на котором меняется энергия взаимодействия вихря с мелкими дефектами.
Как видно, возможный вынгрьпп в энергии взаимодействия с дефектами (из-за того, что вихрь передвинулся в более «подходящее» место) растет с длиной сегмента вихря (если он абсолютно жесткий) как ~(Х. Но сила Лоренца, действующая на тот же сегмент вихря со стороны транспортного тока, пропорциональна его длине: Еь(Х) = -ФсуХ, так что 1 и выигрьпп в энергии взаимодействия с этим током растет пропорционально Х и при достаточно большой длине всегда превысит Е„„„„(Х), каким бы слабым ни был ток «.
Казалось бы, мы получили «отрицательный» результат — отсутствие пиннинга, нулевой критический ток. Теперь, однако, надо вспомнить о сделанном в начале предположении, что вихрь можно считать совершенно жестким — оно и привело к такому странному результату. В действительности форма вихря определяется конкуренцией между его упругой энергией, возрастающей при изгибе, и выигрышем энергии при помещении его сегментов в наиболее подходящие «потенциальные ямы«. Результат этой конкуренции и определяет характерную длину Ьр вихревого сегмента, на которой он смещается в поперечном направлении на длину порядка С, т. е.
«переползает«из одной потенциальной ямы в поле дефектов в другую. Чтобы найти Х,р, приравняем по по- «2 рядку величины упругую энергию Ем (Х;,)«1 ь- и энергию связи с йр примесями Е яи(Хр) = еприм6««прям~р)~~~ — = Ь~1ХрЯ~: ззв ГЛ. Ч. СВЕРХПРОВОДНИКИ ВТОРОГО РОДА (мы здесь также ввели обозначение у = ««„р„„е~р„„, которое будет часто использоваться в дальнейшем). Уравнение (41.2) определяет «длину пиннинга» Хр, а с ее помощью и критический ток «„ 1 задаваемыи соотношением — ФеХ« = Е, „„(Хт)/Х (в правой части здесь стоит характерная сила, действующая на вихрь со стороны ансамбля примесей, расположенных на длине Хт): Е»нк«(Х~р) — (7«14 ) = ХХстд(' —, Хгр - ~ — ' (41.3) (41.4) где уе — «ток распаривания», определенный выше в (18.5) как критический ток для тонкой пленки. Все величины, входящие в формулу (41.4), подразумеваются зависящими от температуры, эти зависимости вблизи Х', следуют, как правило, из теории Гинзбурга-Ландау.
Оценки (41.4) применимы, по смыслу их вывода, для случая слабого пиннинга, у, << «е, что и соответствует относительно большой длине Хт » ~. Более того, буквальный вид формул (41.4), в которые входит параметр «линейного натяжения» вихря еп справедлив лишь при более сильном условии Хт > Л; в.противном случае множитель 1п к = 1п(АД) в выражении для «« следует заменить на 1п(Хр/~). Дело в том, что при коротковолновых (д > Л) деформациях вихря магнитное поле «не успевает» следовать за изгибом его кора и эффективная жесткость вихря уменьшается, е(д) = се 1п(1/д().
Длина Хт (называемая далее длиной пиннинга) имеет важный физический смысл — вихрь можно считать упругой струной лишь на масштабах Ь «Хт, в то время как на много больших масштабах отдельные сегменты длины Хт зацепляются примесями почти независимо один от другого. В результате полная энергия пиннинга сегмента большой длины Х » Хр оказываетсл пропорциональной длине: Еш «(Х) с«Х (Ед«»»(Х~р)/Хт) Таким образом, пиннинг на слабых дефектах возникает из-за того, что вихрь слегка изгибается в поле дефектов, выбирая конфигурации, реализующие локальные минимумы полной энергии. Соот- 141.
КОЛЛЕКТИВНЫЙ НИННИНГ ВИХРЕЙ 239 ветственно, увеличение линейного натяжения с~ должно приводить и к увеличению Ьр, и к уменьшению критического тока ~„ как и следует из формул (41.4). 41.2. Коллективный пнннинг вихревой решетки. В описанной выше картине шла речь о единичном вихре, т. е. предполагалось, что его взаимодействие с другими вихрями много слабее, чем с дефектами. Легко понять, в каких случаях такое представление справедливо: надо сравнить энергию пиннинга на единицу длины Я „„„/Ьр и повышение энергии (тоже на единицу длины) упругого взаимодействия вихрей в вихревой решетке, возникающее при относительном сдвиге соседних вихрей на расстояние порядка пространственного масштаба случайного потенциала с, т.е.
св(с/ао), где ае =;~~Фа/В. сравнивая эти две энергии, обнаруживаем, что упругостью вихревой решетки можно пренебречь, если решетка достаточно редкая, ао )) Ьр. В обратном случае взаимодействие между вихрями сильное и его надо учитывать с самого начала. Это можно сделать аналогично описанному вьппе случаю одиночного вихря, разница лишь в том, что вместо упругой линии надо теперь рассмотреть трехмерную упругую решетку.
Мы будем сначала считать, что постоянная решетки ао )) с, т.е. среднее магнитное поле Н (( Неп так что можно испольэовать лондоновское приближение (что имеет смысл для сверхпроводников «сильно 11 родаэ, т.е. имеющих параметр Гинзбурга — Ландау ж )) 1). Теперь нам надо исходить из упругой энергии деформации трехмерной вихревой решетки, которую можно записать в виде Я, = ' 4 г (фф)(~У. и) + /иЫ '1 + Сея(бовь) + С44 ~ — ) ~. (41.5) Здесь и — двумерный вектор локального смещения вихревой решетки, имеющий компоненты в плоскости (я, р), перпендикулярной направлению внешнего поля Н; постоянные Сп, С44, и Савв 240 ГЛ.
У. СВЕРХНРОВОДНИКИ ВТОРОГО РОДА упругие модули вихревой решетки, соответствующие деформациям сжатия, изгиба и сдвига, соответственно. Заметим, что в (41.5) написан общий вид упругой энергии для треугольной решетки линий с осью симметрии шестого порядка [117[. Далее нам понадобятся значения всех трех упругих модулей: Вг ЯН ВН ФОВ Си — Сея =, С44 =, Сы = . (41.6) 4х дВ' 4и ' (8иЛ)г Первые две формулы из (41.6) имеют общий характер и легко выводятся (см. ниже), результат же для модуля сдвига Сев приведен для наиболее интересного (при х » 1) случая Н,1 « В « Н,г, когда вихри все еще сильно взаимодействуют на длинах гораздо больших, чем ае, а подавлением параметра порядка из-за близости к Н,г еще можно пренебречь.
Формулы для Сы и С44 можно получить из простых макроскопических соображений. Действительно, ~уп = БВ/В есть относительное изменение плотности вихрей, поэтому первый член в интеграле (41.5) можно записать как — (См — Сея)(бВ)~/В~, т.е. В г(СП вЂ” Сея) = дгГ/дВ 1 2 = (1/4я)дН/дВ.
Чтобы получить второе из равенств (41.6), рассмотрим однородную деформацию вихревой решетки, при которой все вихри наклоняются на малый угол О = ди /дг по отношению к исходному направлению поля вдоль оси я. При этом возникает поперечная компонента магнитной индукции Вг = Вд и сохраняется проекция индукции на ось я, т.е. В0 = В. В результате полная величина магнитной индукции В„„„= (В~г~ + Вг )~7~ изменяется на б[В[ = — (дп/дя), а свободная энергия — на ве- В г 2 личину (дР/дВ)б[В~ = — — (дп/дя) . Сравнивая это выра- Н В г 4я 2 жение с соответствующим членом в (41.5), получаем результат для С44 из (41.6).
Модуль сдвига Сея нельзя определить из столь же общих соображений — его необходимо вычислять как некоторую бесконечную сумму по узлам вихревой решетки. Мы здесь не будем останавливаться на этом (в действительности не очень сложном) вычислении [105]; заметим лишь, что малость модуля сДвига Сея по сРавнению с См С44 (их отношение, как виДно 6 41. КОЛЛЕКТИВНЫЙ НИННИНГ ВИХРЕЙ 241 Теперь мы готовы воспроизвести для решетки вихрей оценку силы коллективного пиннинга (по аналогии с (41.2)). Будем считать, что деформация вихревой решетки, вызванная ее подстройкой под случайный потенциал примесей, достаточно мала, так что относительное смещение вихрей ~ц(г) — и(г')~ достигает величиныпорядка(при)я — я') > Ьр~,либо )р — р'~ >»»р (здесь ри г — поперечные и продольная (к полю В) компоненты вектора г). Характерные длины пиннинга Ьр и В в продольном и поперечном направлениях существенно отличаются вследствие различия порядков величин упругих модулей С66 и С44, кроме того, продольная длина Ьз~~ отличается и от ранее введенной «одновихрер вой» длины пиннинга Х р.
Для характерной величины энергии взаимодействия с дефектами получим теперь Жпз~ „(7~2пУр)1~2, где Ур — — Ьрз~~Яр2 — объем области упругого пиннинга. Далее, неравенство Сп » С66 означает, что деформациями сжатия можно пренебречь по сравнению с деформациями сдвига, так что достаточно приравнять по порядку величины энергию взаимодействия с дефектами Е~л~„„и энергии сдвиговых и изгибных деформаций: С«44 ~66( 2 1/2 (1зп'2Ур 2 1р ( "~ ««Ур) ~р ) (41.7) Кроме того, для определения критической плотности тока у, следует, как и выше, приравнять силу Лоренца у«-ВУр (теперь— .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
