В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отсюда срезу следует существование предельной частоты. з 44. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА Рис. 43.2. Взаимодействуют через фононы по модели БКШ только электроны, лежащие в слое 2Ья около поверхности Ферми. Запишем матричный элемент взаимодействия электронов в виде $~д,> — — ' (43.2) — >>> ~ък — еР! ~ Вьп, 1Ек — яР! ~ ~ о О, )еа — ер| > Ьоо или )еа> — ег! > Йь>п. Таким образом, в модели БКШ притягиваются только электроны, лежащие в узком сферическом слое около поверхности Ферми, толщина которого 2ЬЙ соответствует дебаевской энергии (рис. 43.2): ~йР Уя ~ е В~й2Д 344.
Основное состояние сверхпроводника 44.1. Распределение электронов в основном состоянии. В этом параграфе мы должны будем понять, в каком состоянии находится сверхпроводник,когда Т = О,т.е. найти состояние, соответствующее минимальной энергии сверхпроводника. Здесь уместно напомнить некоторые основные положения квантовой механики, которые нам в дальнейшем понадобятся. Пусть ф„(гм г2,..., ги) — полная система функций, если и пробегает какой-то набор значений, которыми мы нумеруем зти функции.
Тогда любую волновую функцию >л(гм гз,..., гн) можно разложить по системе ф„: (44.1) о»'>»» > п ГЛ. Ч1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 260 а„мы будем называть амплитудой состояния в'„, а ~а„~э даст нам вероятность обнаружить систему в состоянии ф„. Пусть теперь оператор Гамильтона Й равен Й=Й„„„+Р, (44.2) где Н „— оператор кинетической энергии, У вЂ” оператор энергии взаимодействия. Тогда среднее значение энергии Е в состоянии 1л можно записать в виде Е = и'ЙР йт, (44.3) интегрирование ведется по всем Н переменным. Подставляя в (44.3) формулы (44.1) и (44.2), имеем Е = Еки, + У, где Выражение К„„называется матричным элементом перехода из состояния ~~~,„в состояние у)„: (44.5) Возвращаемся к обсуждению основного состояния сверхпроводника. В нормальном металле основное состояние хорошо известно.
При У = О наименьшей энергии соответствует состояние, когда все электроны в импульсном пространстве (1с-пространстве) занимают состояния, лежащие внутри поверхности Ферми, а все состояния вне этой поверхности свободны. Действительно, очевидно, что этому соответствует минимальная кинетическая 144. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА 261 энергия.
А потенциальной энергии в этой модели просто нет. Включим теперь энергию взаимодействия между электронами, которая обсуждалась в предыдущем параграфе. Поскольку она дает эффективное притяжение между электронами, то она будет давать отрицательный вклад и понижать общую энергию системы. По для этого должна быть обеспечена возможность рассеяния электронов из состояния (1с1,1сз) в состояние (14',Ц). Ясно, что такое рассеяние окажется возможным, лишь если состояние (141, 1сз) будет сначала заполнено, а состояние (1«1, 1««~) будет сначала пусто. Поэтому минимальной энергии при Т = 0 перестает соответствовать полностью заполненная сфера Ферми в 1с-пространстве. Природа идет на некоторый проигрыш в кинетической энергии в надежде отыграться на энергии потенциальной. Теперь минимальной полной энергии будет соответствовать состояние с «размззанной» поверхностью Ферми,т.е.
состояние, в котором над поверхностью Ферми некоторые ячейки 1с-пространства заполнены, в то время как некоторые ячейки, лежащие под поверхностью Ферми, оказываются пустыми. При этом, как мы сейчас покажем, заполнение ячеек должно происходить попарно, т. е. если ячейка 1с '( заполнена, то и ячейка — 1с .(. тоже должна быть заполнена, стрелками обозначены направления электронных спиноз. Совершенно то же самое надо сказать о пустых ячейках.
Это схематически изображено на рнс. 44.1. Объясним теперь, почему наиболее выгодным спариванием электронов будет такое, когда в паре оказываются электроны с противоположными импульсами. Рис. 44.1. Схематическое изображение состояния, полная энергия которого может оказаться меньше энергии состояния, в котором все ячейки $«-пространства под сферой Ферми заняты, а над ней †свобод.
ГЛ. Ч1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 262 При переходе пары электронов (1с1, 1с2) -+ (1с(, 1с2) должен выполняться закон сохранения импульса 61с1 + 51с2 = 61с1~ + 61с2, а суммирование в формуле (44.4) распространяется на все возможные такие переходы. Ясно, что чем больше окажется таких разрешенных переходов, тем больше должен быть отрицательный вклад 1' в среднюю энергию и' сверхпроводника.
Пусть, например, Ис1 + Мсз = Щ как это изображено на рис.44.2. Тогда, как это видно из рисунка, участвовать в переходах могут только те электроны, которые занимают ячейки заштрихованного участка 1с-пространства. Начнем уменьшать д. Заштрихованная область будет увеличиваться.
При д = О вклад в уменьшение средней энергии будут давать все электроны, состояния которых лежат в полосе шириной порядка 2йолз по энергии около поверхности Ферми в 1с-пространстве. По принципу Паули электроны с одинаковыми проекциями спиноз не могут оказаться в одной точке, поэтому их притяжение из-за обмена фононами обычно гораздо слабее, чем для электронов с противоположными спинами. Рис. 44.2. Если спариваются электроны, имеющие суммарный импульс ЬЧ, то во взаимодействии участвуют лишь те электроны, которые заполняют заштрихованную часть К-пространства. Представим себе теперь всю возможную совокупность состояний, подобных тому, которое изображено на рис. 44.1.
Занумеруем их индексом и. Они образуют полную систему функций, по которым можно разложить волновую функцию основного состояния сверхпроводника т. Что означает на этом языке рассеяние друг на друге пары электронов (1с, — 1с) (спиновые индексы мы опускаем) в состояние (1с', — 1с')? Это означает переход из состояния ф„, в котором ячейки (1с, -1с) заняты, а (1с', — 1с') свободны, в другое состояние ф„„которое полностью подобно состоянию ф„ 144. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА а„= [оа(1 — ок )) = саик, г цг где ик — — 1 — ои.
г г Аналогично амплитуда состояния ф„„в котором ячейки (1с,-1с) стали пустыми, а ячейки (1с', -1с') заполнились, будет ат = ек исс. Используя (44.4), мы можем теперь записать полную энергию сверхпроводника в состоянии, описываемом распределением иаг, в виде Е, = р 2скик+ р Уькокииес,ик. г (44.6) Первое слагаемое здесь дает полную кинетическую энергию си- стемы, ск — энергия электрона в ячейке 1с, отсчитанная от энер- гии Ферми, т.
е. ек = ~~1Р(2т — а"кР(2сп = еи — еР. Второе слагаемое, согласно (44.4), есть средняя потенциальная энергия взаимодействия электронов, где матричный элемент Уак определяется формулой (43.2). Теперь надо найти такую функцию икг, которая будет минимизировать полную энергию Е,. Это значит, что ив~ должна удовлетворять уравнению дЕ,/до~а —— О. Подставив сюда (44.6) и (43.2), получим 1 — 2о ъ — ~с 2еа — T " '~ ииии =О, свисс за двумя только исключениями: в состоянии ф ячейки (1с,-1с) свободны, а (1с', — 1с') заняты. Введем теперь в рассмотрение некоторую функцию икг волнового вектора 1с.
Пусть это будет вероятность того, что пара состояний (1с, -1с) занята. Тогда амплитуду состояния, в котором ячейки (1с, — 1с) заняты, а (1с', — 1с') свободны, можно записать в виде ГЛ. '»Ч. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ откуда «О«ссв ~о (44.7) 1 — 2е12 2еи ' где (44.8) Штрих при знаке суммы означает, что суммирование ведется только по тем состояниям 1«, которые лежат в сферическом слое около поверхности Ферми, где отличен от нуля матричный элемент Как (43.2). Выражая иа2 из (44.7), получаем квадратное уравнение относительно ои.
2. о« '4 + Ьо/4Е~ь О, где Еь = еь+ с-со (44.9) Тогда ок — — -(1 — е»/Еь). 2 сс (44.10) В этом равенстве мы поставим знак «минус», так как из физических соображений величина иа2 должна стремиться к единице, а еи -+ Есс при 1« -+ О. График зависимости иа2 от я изображен на рис. 44.3. Видно, что минимума полная энергия системы достигает тогда, когда распределение электронов около поверхности Ферми «размазано» на некотором интервале энергии порядка 2Ьо. Еще раз подчеркнем, что зто происходит при абсолютном нуле температур! Таково основное состояние сверхпроводннка. 144. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА 265 Рис. 44.3. Зависимость еьэ от и.
На уровне Ферми еь = О. Область «размазанности«ет по энергии равна 2«1«о. 44.2. Энергия основного состояния. Найдем теперь энергию основного состояния сверхпроводннка. Дая этого вычислим сперва величину Ьо. Подставим выражение для о2 (44.10) в (44.8): Здесь мы учли определение Е1, (44.9).
Таким образом, мы приходим к уравнению относительно Ьо в виде Ч~~ ~ ( 2 + ~12)-1/2 (44.11) где Ф(е) — плотность состояний около энергии е, то уравне- Если мы перейдем от суммирования по 11 к интегрированию по энергии е по Формуле ГЛ. У1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ние (44.11) превратится в уравнение ( ) ( 2+ я 2) — 1/2 ( 2 (44.12) Здесь А1(0) — плотность состояний около уровня Ферми (напоми- наем, что энергия е отсчитывается от уровня Ферми).1) Посколь- ку подынтегральная функция в (44.12) четная и интегрирование ведется в симметричных пределах, имеем из (44.12) 1 А1(0)р (я2+ ~02)-1(2 с(я о Этот интеграл элементарно интегрируется, в результате полу- чаем 1/Д((0)Ъ" = АгвЬ(био/Ье) (44.13) или йоп/210 = еЦ1/Ф(0) Ъ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
