В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 44
Текст из файла (страница 44)
График зависимости о~~ от й представлен на рис. 44.3. Видно, что область 1с-пространства, где функция пк2 испытывает сильные изменения, имеет размер порядка Ьй 2Ьо —. йр ер Отсюда следует, что область Ьх в х-пространстве, где волновая функция основного состояния сверхпроводника будет существенно изменяться, должна определяться соотношением ЬхЬй 1. Отсюда следует, что д2й2 д д 2Ьойр 2 мойр 2пэ 4Ьопэ 4Ьо ГЛ.
У1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 274 Здесь рр — импульс электрона на поверхности Ферми, пр — фермиевская скорость электрона. Но по самому смыслу Ьх — зто как раз та величина, которую при изучении теории Гинзбурга-Ландау мы называли длиной когерентности С. Поэтому мы теперь можем говорить, что из (45.6) следует оценка для длины когерентности (о при Т = 0: (о Ьпр/4Ьо.
145.7) Скоро будет показано, что Ьо *квТ„где йв — постоянная Больцмана, Т, — критическая температура. Точный расчет дает ~о = 0.185ир()свТс. (45.8) Эту величину (о можно также рассматривать как размер электронной пары, для оценки которого можно принять, что пр10о см/с, Т, 1К, тогда 10 27.108 40 =0.181.38 10 14 1 10 см. Это очень большое, вполне макроскопическое расстояние.
Задача 46.1. Во сколько раз плотность состолвзй в спектре элементарных возбуждении сверхпроводника больше плотности состояний электронов в нормальном металле около уровня Ферми длл энергии возбуждений Е, равных соответственно 1.01Ье; 1 бра; 2.0Ье7 Отеегв. р/)У(0) = 7.12; 1.34; 1.15. 45.3. Зависимость величины энергетической щели от температуры. Энергетическая щель Ь уменьшается с повышением температуры (обозначение Ьо мы сохраним только для случая Т = О). Это можно легко понять.
Как мы уже знаем, для разрыва пары и создания двух элементарных возбуждений требуется затратить энергию 2Ь. Если температура сверхпроводника Т такова, что )свТ ° 2са, то ясно, что уже много электронных пар будет разорвано под влиянием теплового воздействия и, соответственно, в 1с-пространстве будет уже много ячеек заполнено элементарными возбуждениями (одиночными электронами). 145. СПЕКТР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 275 1 Л = ехр(Е~,~ИВТ) + 1' (45.9) где Ек — энергия элементарного возбуждения. Легко видеть, что Я~, << 1 при йвТ << Ею 7я, - 1/2 при йвТ >> Ек. Если хотя бы одно из состояний (1с) или ( — 1с) заполнено, то пара состояний (1с, — 1с) не может участвовать в создании сверхпроводящего состояния.
Вероятность этого равна 2~ю Отсюда следует, что вероятность того, что пара состояний (1с, -1с) может участвовать в рассеяниях, т. е. годится для участия в создании сверхпроводящего состояния, равна 1 — 2Л,. Тогда выражение для полной энергии сверхпроводника при Т ~ 0 может быть записано в виде (см. 2 44) И' = ~) 2~ек~Дк + 2 ~~) еь(1 — 2~д)и~~— — $' ~> иьи~,и~,, и1,, (1 — 2~~,) (1 — 2~~, ). (45.10) Ыс' Здесь первое слагаемое †кинетическ энергия элементарных возбуждений, второе слагаемое †кинетическ энергия сверхпроводящих электронов, последний член †энерг взаимодействия сверхпроводящих электронов через фононы, которая и приводит к созданию сверхпроводящего состояния.
Последние м — 970 Но это значит, что эти состояния в 1с-пространстве уже не будут участвовать во взаимных переходах пар и, соответственно, не будут участвовать в общем понижении энергии сверхпроводника, т.е. энергия сверхпроводника повысится. Эти же состояния, очевидно, не будут теперь участвовать и в формировании щели (см. (44.8)). Отсюда следует, что чем больше будет разорванных пар, тем больше элементарных возбуждений и тем меньше щель. Теперь проведем количественный анализ.
Поскольку элементарные возбуждения подчиняются статистике Ферми-Дирака, вероятность заполнения состояния 1с одиночным электроном равна ГЛ. Ч1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 276 два сомножителя учитывают вероятность такого взаимодействия. Плотность свободной энергии сверхпроводника равна (45.11) Р=И' — ТБ, где о — энтропия материала.
Функции еь2, характеризующие распределение сверхпроводящих электронов по импульсам и со- ответствующие термодинамическому равновесию, определим из условия минимальности плотности свободной энергии г: аГ(0(еч) = О. (45.12) Подставляя в (45.12) формулы (45.11) и (45.10), получим "ч"ч 1 — 2оч2 26ч' (45.13) где Ь = Р~ еьиь(1 — 2~к). (45.14) еч = (1 ~ч7 ч) 2 где Е =Д+ЬЩ. Тогда уравнение (45.14) примет вид ( 2 Ь= И вЂ” 1— 2Ек ~, ехр(оь/явТ) + 1 Формула (45.14) дает выражение для зависимости щели от температуры. При Т ~ 0 щелыХ -+ Ь(0), где Ь(0) = Ье — щель при Т = О, полученная ранее (44.8).
Из (45.14) находим уравнение для щели. Для этого, как и в (44.10), запишем е~~ в виде 145. СПЕКТР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 277 Эта формула дает в неявной форме зависимость щели от температуры. Эта зависимость изображена на рис. 45.3. Вблизи Т, зависимость щели от температуры определяется формулой Ь ос ос (Тс-ТЯз. Из (45.15) можно теперь найти явное выражение для критической температуры Т;.
Действительно, при Т = Т, щель Ь = О, поэтому, если написать в (45.15) Т, вместо Т и положить Ь = О, мы получим уравнение относительно Т,: 1 ~~Ы е — $Ь М(О)Р',/ с 2явТ, О (45.16) Проведя интегрирование, получим йв7с = 1,145юне — ~/и(о)~' (45.17) С другой стороны, нам уже известно (44.14), что Ьо = 25ьл7е 17~(е)~ Отсюда сразу находим (45.18) 2Ьз = 3.52йВТс Эти соотношения находятся в хорошем количественном согласии с многочисленными экспериментами. Обсудим еще раз физический смысл полученных результатов. Под влиянием тепла некоторые пары разрушаются и возникают неспаренные электроны, или нормальные электроны, или элементарные возбуждения. Это просто разные названия одного и того же физического объекта. Заполняя какие-то ячейки 1с-пространства, эти одиночные электроны исключают соответствующие ячейки (и парные им) из суммы (44.8), которая определяет Переходя от суммирования к интегрированию, после несложных преобразований получим ГЛ, в'1.
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 278 Л(Т)~Ь(0) 1.0 0.6 Рис. 45.3. Зависимость энергетической щелиот температуры согласно теории БКШ. 0.2 0 0.2 0.6 1.0 Т/Т, щелыХ. В результате щель сужается. Нормальное состояние достигается тогда, когда Ь становится равной нулю. Это позволяет определить критическую температуру согласно (45.17). Замечательно, что формула (45.17) дает объяснение изотоп- эффекта. Напомним, что изотоп-эффект заключается в том, что критическая температура разных изотопов одного и того же сверхпроводящего элемента определяется эмпирической форму- лой Т,М 7 = сопела, где М вЂ” масса атома изотопа. Поскольку дебаевская частота МУ-1/2 адз ос 0Материал, добавленный для 2-го издания. то из (45.17) сразу следует изотоп-эффект. Остановимся теперь кратко на вопросе о влиянии примесей на спаривание электронов. П В присутствии примесей направление импульса электрона не сохраняется, поэтому строить пары иэ электронов с противоположными импульсами Ыс и — 51с, как мы это делали выше, затруднительно.
Однако ничто не мешает использовать вместо электронных плоских волн е'"г точные волновые фУнкции Ая(г) злектРонов с Учетом потенциала пРимесей У(г), описывающие диффузионное распространение электронных волн. Точный вид этих функций нам неизвестен, но он и не войдет в окончательные уравнения типа (44.11) и (45.15) на величину щели Ь. Единственное,но важное условие состоит в том,чтобы для всякого электронного состояния и с волновой 546. ТУННЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ 279 функцией )(л(г) имелось «парное» состояние и с волновой функцией )(н(г) = )(„*(г), отвечающее движению электрона «вспять» по диффузионной траектории, соответствующей состоянию и.
Комплексное сопряжение волновых функций в квантовой механике эквивалентно операции обращения времени, поэтому в одном и том же случайном потенциале У(г) существуют одновременно точные состояния )(„(г) и )~л(г), если 1>'(г) не меняется при замене 1 ~ — 8. Это условие выполнено для обычных примесей, которые поэтому очень слабо влияют на Ьо и другие термодинамические свойства сверхпроводника даже в «грязном» пределе, когда длина свободного пробега 1 « Со (т.
наз. «теорема Андерсона», подробнее см. [7)). Совсем иначе обстоит дело, если в верхпроводнике имеются л«агнии>иь«е примеси, непосредственно лзаимодействующие со спинами электронов (или если к грязному сверхпроводнику приложено магнитное поле). В этом случае имметрия электронных состояний по отношению к обращению лремени нарушается, и температура сверхпроводящего перехода резко падает с концентрацией таких примесей. Задача 45.2. Определить константу связи д = ?>?(О) «' для олова, если /', = 3.74 К, а дебаевскзя температура равна Ео = 195 К.
Решение. Используя формулу (45.17), получим д = 0.245. Задача 45.3. Критическая температура смеси изотопов ртути со средеим атомным весом 199.7г равна 4.161 К. Нз сколько и в какую сторону изменится критическая температура для смеси со средним атомным весом 200.7 г? Ошееш. Понизится на 0.01 К. Задача 45.4. Туннельпый эксперимент (см.
646) дзл для индия значение энергетической щели Ье = 5.3 10 «эВ. Какой должна быть согласно с> ории БКШ критическзя температура индия? Сравнить с Т, индия 3.37 К. От«ею. Т, = 2Ь»/(3 52йв) = 3.49 К. [[46. 'Гуннельные эффекты в сверхпроводниках Наиболее прямое измерение энергетической щели в сверхпрош>динках может быть проведено с помощью туннельных экспериментов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
