В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Определить массовые и поверхностные силы. которые должны действовать на область Ъ' н поверхности, ее ограничивающие, чтобы рассматриваемое напряженное 'состояние было состоянием равновесия. ,. П, 2.4. Доказать, что при отсутствии массовых сил поле напряжений Ты, удовлетворяющее условию равновесия (2.7) гб,.)1, можно получить из симметричного тензорного поля Ф„ у2 'формуле Тц — — еьме)я,др Фем Определить выражения для компонент напряжений, если матрица тензора Ф„в рассматриваемой системе координат принимает вид 1а) О ф О , (Ь) у б впв,<Т, ф и (: —.дважды непрерывно дифференцируемые функ-: ции координат. Задачи 11, 2.5. В условиях задачи Н, 2.4 (матрица (а)). рассмотреть частный случай <р = ф = О, у = ,"((х,, хт).
Показать, что напряжение, действующее в произвольной точке Р на элемент поверхности, перпендикулярный к оси хц перпендикулярно к оси хз и направлено по касательной к поверхности дз)(= сопз1, проходящей через точку Р. П, 2.6. Пусть ч и ч' — два единичных вектора, а Тп1 и Т вЂ” напряжения в типичной точке Р на элементах поверх- ИО ности, нормальных к этим векторам. Покавать, что выполняется равенство ч Тпч = ч' Т<'>. 11. 3.1.
Определить главные напряжения н главные оси напряженногосостояння,заданноготензором напряжений Тгу = Р Ф = а (ЛсЛ1+ Л1Лю), где а — скаляр, а Х и Х' — единичные векторы (Указание: для упрощения вычислений ось х, выбрать параллельно вектору Х.
а ось хз †перпендикуляр к векторам Х и Л'.) И, 3.2. Доказать, что разложение тензора напряжений на девиаторную и изотропную части (т. е. часть, имеющую след, равный нулю, и часть, пропорциональную единичному тенвору) однозначно. Ц, 3,3. Показать, что утроенная величина второго основного инварианта К' девнатора напряжений равна удвоенной сумме квадратов главных касательных напряжений. 11, 3.4. Пусть Т, ) Тц ) Тьц представляют собой главные напряжения в точке Р.
Определить вектор касательного' напряжения для элемента поверхности, проходящего черев точку Р, нормаль к которому имеет направляющие косинусы чи ч,, ч относительно главных направлений рц рц, рцц 11, 3.6. Пусть главные напряжения в точке Р равны Т, ) Тц ) Тцц н пусть' прямая линия я'. проходящая через точку Р, имеет относительно главных направлений рь рц, рц1 направляющие косинусы Гт,— т„(~Гт, гиь О. Ггц — т„,|Г~,— т„.
Показать, что вектор касательного напряжения для каждого элемента поверхности в точке Р, проходящего череа прямую л, имеет направление прямой й'. 11, 4.1. Пусть главные напряжения в точке Р удовлет- 1 воряют соотношению Тц = — (Т, — Тш)) О. Определить 2 19 в, прага ориентацию элемента поверхности, проходящего через точку Р.
для которого нормальное н касательное напряженна имеют 1 соответственно величины Тгг — — Ти и Т = — (Т~ — Тш). 4 П, 4.2. Пусть напряженное состояние в точке Р плоское, Р Ф и пусть Тж, Тл. тм — нормальные напряжения на трех площадках, проходящих через точку Р, перпендикулярных к плоскости найряжений н образующих друг с другом углы в 120'. Определить главные напряжения. 11, 5.1. Пусть на произвольном луче, проходящем через начало координат О, определена точка Р, расстояние которой от О обратно пропорционально модулю вектора напряжения, действующего на элемент поверхности, проходящий через точку О и нормальный к ОР.
Предполагая главные напряжения отличными от нуля, покавать, что геометрическим местом точек Р будет эллипсоид, оси которого совпадают с главными осами напряжений. П, 5.2. Если поверхности напряжений Коши представляют собой гиперболоиды, то построение, выполненное на рис. 1.1, оказывается непригодным для направлений, ваданных образу. ющими асимптотнческого конусе.
Показать, что эту трудность можно преодолеть путем использования эллипсонда напряжений. рассматриваемого в задаче П, 5.1. П, 6.1. Тяжелая жидкость вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг оси, образующей с вертикалью угол а. Определить поверхности постоянного давления. П, 6.2. Пусть на баротропную жидкость с уравнением состояния р = л+ Ьр. где а и Ь вЂ” постоянные, действуют только силы тяжести. Определить изменение давления р в зависимости от глубины И при 'удалении от поверхности жидкости,- еслн на поверхности давление равно рз.
П. 6.3. Рассмотреть равновесие идеального газа, на который действует удельная массовая сила К = — Уйгаб К где У н У в заданные скалярные поля. 1П, 1.!. Пусть скорости удлинений для всех координатных направлений равны а, а скорости сдвига равны Ь. Установить, какому соотношению- должны удовлетворять компоненты »н »а, тз единичного вектора». чтобы скорость удлйнення дая направления » равнялась а. Зла Ш, 1.2. Показать, что для каждой частицы движущейся сплошной среды существует по крайней мере одно материальное направление. ие изменяющееся в данный момент. Ш, 1.3. Пусть мгновенное поле скоростей сплошной среды представляет собой градиентное поле некоторого скалярного поля р(х).
Покавать, что в этом случае в каждой точке существуют по крайней мере три взаимно ортогональных материальных направления вида, рассматриваемого в задаче Ш, 1.2. Ш, 1.4. Пусть скаляр > и ортогональные единичные векторы р, и ч не зависят от координат лг Тогда поле скоростей о>=1л>р>т соответствует простому сдвигу, при котором материальные плоскости, перпендикулярные направлению ч, перемещаются в данный момент в направлении р как твердые образования. При этом относительная скорость двух таких плоскостей прямо пропорциональна расстоянию между мими. Определить главные скорости удлинений и главные скорости сдвига, а также ориентацию главных осей теизора скоростей деформаций относительно направлений р и ч.
И1, 1.5. Показать, что поле скоростей деформаций соответствует простому сдвигу (см. задачу 111, 1.4) тогда и только тогда, когда его компоненты У>! не зависят от координат и основные инварианты У'<» и T,з> равны нулю. !!1, 1.6. Выразить компоненты теизора скоростей деформаций в цилиндрических координатах р, 6, ь через компоненты скорости и, т>м и, и их производные по координатам р. О; Г..
Решить соответствующую вадачу для сферических координат. 1!1, 1.7. Направленные материальные линейные элементы «х> и йхи исходящие из произвольной частицы Р сплошной среды, образуют материальный элемент поверхности, величина и ориентация которого заданы вектором «8> = з>>а «х) Ьх„. Показать, что материальная скорость изменения вектора «Юг определяется соотношением («8,) =д>о>«о> — д>о!«8р !11, 2.1. Доказать, что теизор скоростей деформаций 1г>! является одноосиым тогда и только тогда, когда равны нулю основные инварианты р"!а> и 7 >з>.
Установить необходимое и достаточное условие того, чтобы тензор скоростей деформаций соответствовал плоскому состояиию движения. П1, 2.2. Рассмотреть в произвольной частице Р сплошной среды, находящейся в плоском состоянии движения, все пары Задачи направленных материальных линейных элементов, которые расположены в плоскости движения, проходящей через частицу Р, и образуют друг с другом угол а. Определить при помощи круга относительных скоростей такие пары элементов, для которых скорость изменения угла а приник мает наибольшее или наименьшее значение. П1, 2.3. Пусть таз — угловая скорость мгновенного вращения произвольной частицы Р сплошной среды при плоском движении, а У1 и Уп — главные скорости удлинений в плоскости движения. Установить необходимое и достаточное условие существования в частице Р двух различных материальных направлений, которые расположены в плоскости движения, проходящей через Р, и в данный момент стапнонарны.
П1, 3.1. Пусть симметричное поле тензоров второго ранга получено из не зависящего от хз скалярного поля р (хн ха) в виде УΠ— дрдр. Показать, что поле У, можно рассматривать как поле скоростей деформаций сплошной среды, если поверхность хз — — р(хн ха) — развертывающаяся поверхность (т. е. огибающая однопараметрического семейства цлоскостей). П1. 3.2. Показать, что тензор скоростей деформаций )гП.
рассматриваемый в задаче П1, 3.1, является одноосным в каждой точке. и определить направление оси и значение ненулевой главной скорости удлгнения в произвольной точке поля. Ш, 3.3. Пусть дивергенция плоского поля скоростей о, = =о, (хн хз), оз — — от (хн ха). аз=О равна нулю. Обозначим скорость удлинения в направлении оси х, в произвольной точке Р полЯ чеРез е, скоРость сдвига длЯ напРавлений х, и хз чеРез 7 и угловую скорость мгновенного вращения через м.
Из формулы (3.14) гл. Ш вывести условия совместности для величин е, 7 и м и показать, что они имеют такую же структуру. как и условия равновесия (2.7) гл. П для плоского поля напряжений, ненулевые компоненты Тп = а+я, Тю = а — а, Тж — — т которого не зависят от хз. Прн этом предполагается. что массовыми силами можно пренебречь и что величины а, г и ч соответствуют величинам — м, 7 и — е. П1, 3.4.
Доказать, что при аналогии, установленной в задаче Ш, 3.3. относительной скорости конечных точек материального линейного элем ента в плоскости хз= О соответствует бесконечно малая сила, действующая на прямоугольник, Задачи перпендикулярный к плоскости хп хз. Этот прямоугольник имеет упомянутый линейный элемент в качестве осиования и высоту, равную единице. Ш, 4. 1. Доказать, что для произвольно движущегося твердого тела отрицательная дивергенция ускорения равна удвоенному квадрату модуля вектора вихря, а ротор ускорения равен удвоенной материальной скорости изменении вихря.
Ш, 4.2. Пусть о, — скорость, а, †ускорен произвольной частицы сплошной среды, а чв, — вектор вихря для этой частицы. Доказать равенство 1 г до( ~ чв«д(') = ~ (оР1 — ш«о1) «1д8 — 2 ) зцаиг«ь ~Ж в котором ч' — односвязная фиксированная часть пространства, Л вЂ” ее регулярная граничная поверхность, а «, — единичный вектор внешней нормали к поверхности 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
