В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ч. Н. 3.6. В случае плоского стационарного потенциального течения несжимаемой жидкости рассмотреть цилиндрическую поверхность, направляющая которой есть замкнутая кривая С в плоскости потока, а образующие перпендикулярны к этой плоскооти. Показать, что жидкость, содержащаяся в единице длины этого цилиндра, обладает кинетической знергией, равной (р/2)~ рг(ф. где р — плотность, р — потенциал скорости, ф— функция тока (о, = др = дД, о = дар = — д,ф), а интегрирование проводится по замкнутой кривой С. Ч, 3.6. Показать, что комплексный потенциал, равный Ф = У(з+ азл '), определяет плоское обтекание кругового цилиндра с радиусом а и образующими, перпендикулярными к плоскости потока.
Определить изменение давления вдоль контура нормального сечения цилиндра, если давление в точке тоРможени~( г = — а Равно Ре. Н, 3.7. Рассмотреть малые поверхностные волны в бесконечном гориаонтальном слое жидкости толщины Ь. Пусть неустановившееся течение предполагается плоским н беввихревым, и пусть в вертикальной плоскости потока ось х, имеет горизонтальное направление.
а ось ха направлена вертикально вверх. Рассматриваемая жидкость считается несжимаемой и идеальной и находится под действием сил тяжести. Пусть свободная поверхность жидкости, состоящая в любой момент времени на одних и тех же частиц, мало отклоняется от плоскости хя = О. Доказать, что движение обладает потенциалом скорости р(хн ха, 1), удовлетворяющим уравнению Лапласа.
Показать. что левую часть уравнения (3.2) гл. Ч можно положить равной нулю, так как зависящее от времени поле скоростей определяет функцию р только с точностью до аддитивной функции времени. Полученное таким образом соотношение для давления подставить в условие, выражающее равенство нулю на свободной поверхности материальной скорости изменения р'.
Показать. что пренебрежение нелинейными членами относнтбльно р и замена свободной поверхности бесконечно близкой плоскостью ля в — О приводит к приближенному граничному Условию дезу +6'даР= О пРи хя= О. ПРедположив, что 292 Задачи вертикальная компонента скорости равна нулю на нижней поверхности хз = — й, рассмотреть потенциалы скорости вида <р= Г(хз)ехрр(х,— с!), где р' и с — постоянные. Ч[, 1.1. Пусть в односвязной области Ч пространства заданы скалярное поле а(х, !) и векторное поле Ь»(х, 1).
Предположим, что первое поле непрерывно днфференцируемо по времени и координатам, а второе поле непрерывно дифференцируемо по времени и дважды непрерывно дифференцируемо по координатам. Положим далее, что интегральные уравнения ) Ь,д,АФ[г=О, ~ аЧ~ д!Г[Ь,(д В,+-Ь д В,+сд В,) — В д и1 — / Ь»В,И!г=О, где с — заданная константа. удовлетворяются при любом выборе скалярного поля А (х, !) и векторного поля В!(х, !) в односвязной части Ч пространства, если эти поля удовлетворяюттем же условиям непрерывности и дифференцируемости, как поля а и Ь, соответственно, и если скаляр А, вектор В~ н его нормальная производная дВ;/д» обращаются в нуль на граничной поверхности 8 объема Ч.
Доказать, что поле Ь, (х, () можно рассматривать как поле скоростей о» (х, г), а поле а (х, !) как отношение давления р(х, !) к постоянной плотности р несжимаемой вязкой жидкости, игеющей коэффициент вязкости ср и не подвергающейся действию массовых сил. Ч1, 1.2. Покоящийся замкнутый сосуд заполнен движущейся несжимаемой вязкой жидкостью, которая прилипает к стенкам сосуда и находится под действием консервативных массовых сил.
Показать, что материальная скорость изменения кинетической энергии жидкости равна — 49 ~ гвзсЬ', где чв— модуль вектора вихря, а р — коэффициент вязкости. Ч1. 1.3. Уравнение (1.10) гл. Н! не содержит характеристических чисел. Показать, что для несжимаемой вязкой жидкости с плотностью рч величины Е, Т, с»' и рч могут быть выбраны таким образом. что уравнения (!.11) и (1.12) гл. Ч! также не будут содержать характеристических чисел. Н!, 1.4. При рассмотрении „медленных" движений вязкой жидкости обычно пренебрегают нелинейным членом ришад о„ в уравнении движения (1.5) гл. Ч!. Показать, что при отсутствии массовых сил давление в случае медленного двнже- Задачи ния несжимаемой вязкой жидкости в любой момент времени является гармонической функцией координат.
Ч1, 1.5. Медленное движение (см. задачу Ч1. 1.4) несжимаемой вязкой жидкости в плоскости хп хз будет удовлетворять уравнению неразрывности (1.4) гл. Н1, если ввести функцию тока ф(хп хм 1). Показать, что дифференциальное уравнение для функции пф имеет ту же структуру, как дифференциальное уравнение для температуры в плоской задаче теплопроводности при постоянном коэффициенте теплопроводностн. Ч1, 1.6. Показать, что поле скоростей . где )с и У вЂ” постоянные, а г' = х,хп определяет медленное установившееся обтекание несжимаемой вязкой жидкостью сферы радиуса )с.
При этом центр сферы совпадает с началом координат, а течение на значительном расстоянии от сферы имеет скорость У и направлено по положительной оси хз. Определить результирующую давлений и сил трения, действующими на сферу. Ч1, 2.1. В плоском потоке несжимаемой вязкой жидкости рассмотреть циркуляцию вектора скорости вдоль замкнутой кривой Е, лежащей в плоскости лвижения. Показать, что материальная скорость изменения этой циркуляции равна 2(р/р) ~ (дм(д»)Ш. где дм/д» вЂ” производная вихря м по направлению внешней нормали к кривой Л. Ч1, 2.2.
Используя уравнение (2.1).гл. Ч1, вывести дифференциальное уравнение для функции тока ф плоского течения несжимаемой вязкой жидкости. Ч1, 2.3. Пусть в плоскости хп хз при х, ) О задано поле скоростей о,(х, 1) несжимаемой вязкой жилкости и пусть о,= О при х, = О. Продолжим это поле в полуплоскость х,(О следующим образом: если он оз — компоненты век» тора скорости в точке хп хя. то он — оз — компоненты вектора скорости в точке — хв хз.
Локазать, что это продолжение определяет движение несжимаемой вязкой жидкости только тогла, когда при х, )~ О модуль вихря постоянен вдоль каждой линии тока. Задачи Ч1, 2.4. Течение в полуплоскости ха ~~ О с полем скоростей о, = схп оз = — схм где с — положительная постоянная, может быть интерпретировано как безвнхревое плоское течение несжимаемой идеальной жидкости около твердой стенки ха в — О. В атом течении частицы жидкости скользят по стенке со скоростью и, = схп ио в соответствующем течении вязкой несжимаемой жидкости обе компоненты скорости на стенке равны нулю (частицы прилипают к стенке). Предположии, что соответствующее поле скоростей имеет вид о, = схА7, о,= — с/ пРи 7"=7(хз), пРичЕм У и дзг обращаются в нуль при х =О.
Используя уравнение пере« носа вихря, вывести дифференциальное уравнение для функции 7 и показать, что давление на стенке распределено по закону р = срхау гл(О)/(2Р) + сопя!. Ч1, 2.5. Написать уравнения (2.1) и (2.2) гл. Ч! в цилиндрических координатах р, О, ( и ' рассмотреть решения вида мр — — Р 'У(9), па=ос=О. Вывести дифференциальное уравнение для функции 7(0). Ч1, 3.1 Показать, что если в уравнении (3.2) гл. Ч1 воз' вратиться н величинам, не обозначенным звездочками, то уравнения пограничного слоя (3.6) и (3.7) гл. Ч! принимают вид др, + дзоз = О, иАо, + оздзо, = (р/р) д„рп Ч1, 3.2. Вывести уравнения пограничного слоя для иестационарного течения вдоль плоской стенки, которая движется йрямолннейно в своей плоскости.
Если исключить возмущейия, вызываемые движущейся стенкой, то жидкость будет находиться в покое. Вывести граничные условия при равномерно ускоренном движении стенки. Ч!. 3.3. Для несжимаемой вязкой жидкости в уравнении (1.6) гл. Ч! член — рд7о7 обращается в нуль и с„= ся —— с. Полученное таким образом уравнение присоединить к сйстеме (2.1) и (2.2) гл. Ч! и рассмотреть упрощения, которые вовможиы для пограничного слоя вдоль нагретой покоящейся плоской стенки, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности, а число Праидтля остается конечным. Ч1, 3.4. Соображения, которые привели к уравнению (3.15) гл.
Ч1, применить к неукорочениому дифференциальному уравнению для функции тока плоского течения несжимаемой вязкой жидкости (см. задачу Ч1. 2.2). Ч1, 4.1. Выразить основные инварианты третьей степени симметричного тензора У,~ через основные инварианты тенвора Ъ;и Ч1. 4.2. Выполнить два шага итерационного процесса, рассмотренного в связи с уравнением (4.!1) гл. Ч1, для стационарного прямолинейного движения несжимаемой почти ньютоновской жйякости между покоящимися параллельными стенками, если вязкость задана выражением р(1+ау'<з1) и е T!Я1 ((! . Ч1, 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
