В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ЧШ, 3.3. Рассмотреть модификацию задачи ЧШ, 3.2, получающуюся в результате замены начального гидростатического напряженного состояния одноосным напряженным, состоянием, в котором Тц — — — р есть единственная ненулевая составляющая напряжений. ЧШ, 4.1. Пусть тело с определяющим уравнением (3.6) гл. Ч! П заполняет односвязную область !Г пространства с регулярной поверхностью 8.
При отсутствии массовых снл на тело действует равновесная система поверхностных усилий ТГ'~, вызывающаа бесконечно малые пеРемещениа ии Обозначим через Т~~н вторую систему поверхностных усилий н через иг соответствующие бесконечно малые смешения. Доказать лгеарему езаимнослги З~ Т , "и~ ФЗ = ~ Т~" и ~ г!Б.
Звб Ч111, 4.2. Теорему взаимности. приведенную в задаче ЧШ, 4.1, иожно записать в виде ~ Т»)СО~И = ~ТТи~г18, где ТΠ— поле напряжений, соответствующее поверхностным усилиям г 1, а УΠ— ноле деформаций, соответствующее (н сиещениям ио Используя однородное поле напряжений Т»1, иожно получить соотношения для средних значений типичных компонент деформаций УО. Воспользовавшись этим способом, доказать, что объем усеченного прямого кругового конуса высоты й уменьшается на величину РЬ/(ЗХ+2р). если он сжимается в осевом направлении между гладкими жесткими плитами, причем Р— осевая сила. действующая на одну плиту. Ч1!1, 4.3. Применить уравнение (4.18) гл. ЧШ к состоянию плоской деформации, когда компоненты перемещений и, н из не зависят от хз, а составляющая смещения из и массовые силы К, тождественно равны нулю.
Ч1П, 4.4. При плоской деформации, рассмотренной в задаче ЧШ, 4.3, компоненты напряжений ТО можно вывести из функции напряжений у(хн хз), как в задаче П, 2.5. Вызестн дифференциальное уравнение для этой функции напряжениг). Пусть вдоль замкнутой кривой С с единичной внешней нормалью»ь лежащей 'в плоскости хп хм задана равновесная система поверхностных усилий г) =ТО»ь Вывести »1 соответствующие граничные условия для функции напряжений у. Ч111, 4.5. Рассматривается плоское деформированное состоянке, описанное в задаче ЧП1, 4.4. Произвольная точка Р плоскости л н хэ соединяется с началом координат О при помощи регулярной дуги а.
Пусть направление ОР принято за положительное направление этой дуги и единичный вектор нормали »й определен'таким образом, что положительное направление нормали получается из положительного направления дуги путем поворота на угол 90' против часовой стрелки. Тогда равнодействующая напряжений, действующих по дуге ОР, равна й~ =~ ТО ж с)г, где Нз означает элемент дуги, а Задача интеграл берется по всей дуге.
Показать, что равнодействующая р(р зависит не от формы дуги, а только от положения конечных точек О и Р. и что дивергенция плоского векторного поля рсу равна нулю, а ротор является гармонической функцией. ЧШ, 4.6. Применить уравнения (4.13) гл. 'ЧШ к случаю плоского деформированного состояния, рассмотренного в задаче Н!!1, 4.3. Показать, что соответствующим соотношениям можно удовлетворить, положив ир =дрр+() + 2р) азр! д!Ф где функции р(хн хэ) .и ф(хн х ) получаются нз бигармонического скалярного поля %'(хн х ) следующим образом: <р=д,)г, ф= — д,(г. Ч111, 4.7. Тело с определяющим уравнением.
полученным в задаче Ч111, 3.1, первоначально находится в ненапряженном состоянии при одинаковой температуре. Пусть массовые и поверхностные силы отсутствуют, а тело подвергается неравномерному нагреванию до температуры ер (х). Вывести дифференциальное уравнение и граничное условие для результирующего поля температурных напряжений и показать, что решение этой задачи единственно. Ч!11, 5.1.
Выражение (5.19) гл. Ч111 для функции напряжений в задаче о кручении эллиптического цилиндра подсказано тем условием, что функция напряжений ф должна обратиться в нуль на контуре поперечного сечения. Попытаться аналогйчным способом рассмотреть кручение правильной треугольной призмы. ЧШ, 5.2. Рассмотреть кручение кругового вала переменного 'радиуса. Лля этого ввести цилиндрические координаты р. 9, ь, ось ь которых совпадает с осью вала, а бесконечно малые перемещения взять в виде и = О. ир —— рв(р, ь), р и,=О.
Вывести дифференциальное уравнение для функции р и граничное условие на поверхности вала р=у(С). ЧШ, 5.3. При другом способе рассмотрения кручения кругового вала переменного радиуса исходят из предположения„ что величины Т, и Тм — единственные отличные от нуля компоненты напряжения. Показать, что можно удовлетворить уравнению равновесия, положив Тра = р а дф/ дС, Тр, —— = — р здф/др, где ф(р, ь) — любая дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Установить дифференциальное уравнение и граничное условие для функции ф. Задачи НП1, 6.1 Доказать неравенство (6.11) гл. Ч111. НШ, 6.2. Улучшить, насколько возможно. границы для жесткости на кручение квадратной призмы, добавив к выражениям (6.28) гл. ЧИ1 и (6.29) гл. Н1!1 члены ахгха и р (1 — х~)(1 — ха) соответственно.
ЧШ, 6.3. Доказать, что жесткость на кручение цилиндра односвязного поперечного сечения не может превышать произведения модуля сдвига на полярный момент инерции поперечного сечения относительно центра тяжести. ЧШ, 6.4. Показать, что жесткость на кручение цилиндра односвязного.поперечного сечения достигает верхней границы, полученной в задаче Н111, 6.3, только в случае кругевого. поперечного сечения.
Н111, 7.1. Обобщить закон взаимности статики упругого тела, приведенный в задаче Ч111, 4.1. на случай. кинетнйи упругого тела. Ч111, 7.2. Пусть упругое тело совершает бесконечно ма» лые свободные колебания и,(х. г). а массовые н поверхностные силы отсутствуют. Пусть в момент 1=0 перемещения и~ и скорости дви, — заданные функции координат. Показать, что движение, удовлетворяющее этим начальным условиям, является единственным. АЛФАВИТНЪ|Р! УКАЭАТЕЛЬг Акустика 126 Альманси (А)шапа! Е.) 231 — тензор деформаций 281 — — скорости деформаций 285, 239 Анизотропня поперечная 118, 288 Атмосферы равновесие 77 Безразмерная частота 148 Безразмерные переменные 141, 155, !74 — характеристические числа 143, ' 292 Бельтрами — Мичелла уравнения 203 †2 Бернулли (Вегпоп!И 0.) 125 — закон 125 — уравнение 128, 136 Бингам (В!пайаш Е.
С.) 167, 173 Бингама материал 167 — число 178, 297 Блазиус (В!азпш Н.) 158 Вектор 15, 1б, 17 — двойственный 81 — единичный 20 Вектора проекции 1б Векторные линии 4! Векторный градиент 42 — потенциал 102 Векторы базисные 82 Взаимность 301, 303 Вихревая линия 80, 120 — поверхность 121 — трубка 120 Вихоь 80. 285 ' Курсив указывает страницы, рия нлн основные соотяошенвя.
Вихря поток 120, 286 Внешний поток 150, !74 Волна отраженная 221 — падаюшая 224 — поверхностная 224 — поперечная 219 — продольная 219 Волновое уравнение !27, 289 Вращение 113, !87, 274 — мгновенное 88, 187 Вторичное течение 165 Высота геоиетрическая 119 — давления 119 — полная 119 — скоростная 119 Вязкая жидкость 1!5, 140 Вязко-пластический матерна. 1бб, 296 Вязкости коэффициент 116 Вязкость кинематическая 1бб Газ идеальный 76, 116, 282 Газодннамическое уравнение 129, 29! Гамильтона — Кали уравнение 40, 255 Гаусса теорема 48 Гельмгольц (Не1шйо1(х Н.й 121 Гельмгольца теорема 121 Генки (Непйу Н.) 184 Генки — Прандтля сетка !88, 298 Генки теорема 188, 298 Геометрическая высота !!9 Гибкости 27! Гидростатика 75 Гидростатическое давление 76 Гиперупругий материал 249, 28! на которых приведены определе.
Албгавитный указатель Гипоупругий материал 190, 299, 300 Главные значения теизора 86, 277 — направления 84 — напряжения 66 — — касательные бб, 28! — оси 88 — скорости сдвига Вб — — удлинения 88, 282 — точки диаграммы иапряжеиий 68 Гогеиемзер (НоЬепещзег К.) 167 Градиеит 42, 54 — векторный 42 — давления 161 ГРаничные условия киьематические 211 — — статические 211 Грин (Сгееп А. Е.) 165, 188, 299 Грин (Сгееп С.) 237 Грина теязор деформаций 287 — — скорости деформаций 240 — тождество 49 Гук (Ноо1ге Е.) 196 Гука заков 196 Давлеиие 76, 1!5 Давлеиия высота 119 — градиент 161, 169 Дарбу вектор 276 Движение безвихревое 102 „ — медленное 292 †" иестациоиариое вихревое !!9 — одиоосиое 86 — плоское 86 — прямолинейное 150 — 'стационарное 102 Девиатор 40 Дельта Кроиекера 15 Деплаиация (искривлеиие поперечного сечения) 205, 216 Деформаций конечных скорость 286, 240 — — теизор 281, 240, 242 Деформация конечная 280 — мгиовеииая чистая 83, 196 — одиоосиая 84 — плоская 84 Деформироваиие 280 Дивергеиция 42, 54, 278 Единичный вектор 20 — теизор 22 Единственность 202, 264, 308 Естественное состояние 235, 249 Жесткость иа кручение 211, 216, 303 Жидкость баротропиая 118, 28гг, 288 — вязкая 115, 140 — идеальная 117, 118, 146 — иебаротропиая 289 — иеиьютоиовская 117, 140, 295 — несжимаемая 123 — ньютоновская 117, 140, 295 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
