В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Показать, что для прямолинейного установившегося течения неныотоновской жидкости между параллельными бесконечными пластинками, находящимися в покое, уравнения (4.14) гл. У! совместны. У1, 4.4. Рассмотреть прямолинейное установившееся течение между параллельными бесконечными покоящимися пластинками, используя определяющее уравнение (4.12) гл. У1 с постоянными значениями / и аг. Ч1. 4.5. Пусть в определяющем уравнении (4.12) гл. Ч! функции у и К вЂ” однородные функции степени а — 1 и л — 2 относительно компонент тензора скоростей деформаций.
Пусть для такого рода неньютоновской жидкости решения о~(х, 1) и ТЧ(х. Ф) определяют поле скоростей и поле напряжений стационарного медленного течения (см. задачу Ч1, 1.4.). Показать, что поле скоростей сю,(х, 1), где с — положител ная постоянная, также определяет медленное установившееся течейие этой жидкости и что соответствующее поле напряжений заЪается выражением с"ТЧ(х. г). ЧП, 1.1. Показать, что в определяющем уравнении (1.7) гл.
ЧП типичная составляющая Ты девиатора напряжений представ)!яет собой производную функции Ф= 2(рT<,>+ + КУ'!я1) по соответствУющей составлЯющей УЧ скоРости деформаций, предполагая, что симметричные компоненты УЧ и Ъ', скорости деформаций формально рассматриваются как независимые переменные и условие несжнмаемости $'໠—— 0 удовлетворяется только после выполнения дифференцирования. Ч!1, 1.2. Пусть девиатор напряжений Т' для сжимаемой вязкой жидкости представляет собой линейную комбинацив1 Задачи а г 1 '<з1 7 <з>+ — а ~7<а>+ — 7 Ф>7 <») ~ ° х,'„~ 3 Ф,=2р [7 <я>.+ ~ (7'<з>+ 3 У*< >У'«>) ~ Фз=2К где а и р — постоянные.
Определить девиаторы напряжений для вязкого и пластического материалов при комбинации растяжения и сдвига. заданной в виде е 7/2 О 7/2 — е/2 ΠΠΠ— е/2 ЧП, 1.6. Показать, что для материала, рассмотренного в задаче ЧП. 1:4, мощиость напряжений, соответствующая скоростям деформаций, равна 2Ф,+Ф. ЧП, 1.6. Рассмотреть однородное поле иапряжений идеально-пластического материала с определяющим уравнением (1.8) девиатора скоростей деформаций Ч и его квадрата Чз, с коэффициентами, зависящими от основных инвариантоз девиа- тора Ч.
Показать, что соотношение Т~1 = д Ф/д 1', дает определяющее уравнение такого же вида, если функция Ф 1=а 1 зависит от переменных Tсй+ — 7-<и и T<з>+ — У'<е>7 <и+ 3 3 2 з + — У'<и, а симметричные компоненты ЧО и Ч < формально 27 рассматриваются как независимые переменные. Ч11, 1.3. Предположим, что материал, рассмотренный в задаче Н!1, 1.2, несжимаем.
Показать, что Ф можно вапи- 1 сать как фУикцию величин 7 <з> и T<з>+ — Уа<т>7 <,>, если 3 условие несжимаемости У'<,> — — О учитывается только после нахождения производной д Ф/д Ч< . Ч11, 1.4. В задаче Ч11, 1.1 функция Ф являетсл суммой двУх фУнкций Ф< = 2РУ'<з> и Фз = 2КУа<~з>. Эти фУикции опРеделяют вязкое и пластическое поведение материала соответственно; функция Ф, представляет собой однородную функцию второго порядка относительно компонент ЧЧ, а функция Фз — однородную функцию первого порядка относительно тех же компонент.
Обобщить эти зависимости на случай несжимаемого материала посредством введения соотношений Задачи гл. ЧП. Совместив координатные оси с главными осями напряжений, исследовать, в какой мере главные компоненты Т,, Тгн Тш девиатора напряжений определяют поле скоростей еь (х). НП, 2.1.
Рассмотреть прямолинейное течение вязко-пластического материала, характеризуемого уравнением (1.7) гл. Н!1, в круглой цилиндрической трубе. Ч!!. 2.2. Пусть пространство между двумя соосными круговыми цилиндрами с радиусами а и Ь ) а заполнено вязко- пластическим материалом, характеризуемым уравнением (1.7) гл. Ч!!. Пусть внешний цилиндр покоится, а внутренний движется с постоянной осевой скоростью У; градиент давления равен нулю. Определить осевую скорость течения о как функцию расстояния г от общей оси цилиндров.
ЧИ, 3.1. Для течения, представленного на рис. 21, найти число Бингама В!. приняв 8 за характеристическую длину, а среднюю скорость о — за характеристическую скорость. Установить соотношение между числом В1 и безразмерным градиентом давления сл/К. ЧП. 3.2. Показать, что для установившегося прямолинейного течения и, = е,(хз), из — — оз = О, уравнения пограничного слоя (3.11) и (3.12) гл.
НП совпадают с первыми двумя компонентами неукороченного уравнения движения (2.2) гл. ЧП. Ч!1, 4.1. Показать что при плоском квазистатическом течении идеально-пластического материала составляющие ско-' рости в прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнениям 8,о,+8зпз=О, (др, — дзоз) соз 28+ (дрз+ дзп,) з!и 26 = О, где 6 — угол. введенный в равенствах (4.5) гл.
Ч!1. Ч!1. 4.2. Пусть о, и оз — компоненты скорости по координатным направлениям (см. задачу ЧП, 4.1). а о, и эп— компоненты по направлениям сдвигов. Эти компоненты связаны соотношениями о, = о, з(п 0+ он сов 0 н оз = — о, сов 8+ +оп з!п6. Доказать равенства д,о,— опд,8=0 н дппп+ +о,дп6,=0, где операторы д, и д„означают днфференцированнег по направлениям сдвигов. Ч!1, 4.3. Показать, что координатные линии системы пло.ких полярных координат р, ч образуют сетку Гено†. 2!) 8. ррагер Задачи Прандтля.
Предполагая; что радчусы у = сопя! являются первыми линиями скольжения, определить наиболее общее ноле скоростей о,, о в кольцевом секторе рэ ( р (рн 0 4: ( м ( ун Сформулировать граничные условия на р= рз и у = О, которые определят единственное поле скоростей. ЧН, 4.4. Для условий задачи Н!1, 4.3 определить наиболее общее поле напряжений в кольцевом секторе рэ (р (рн о (р (ф ° ЧП, 4.6.
Пусть толстостенный круговой цилиндр находится в состоянии плоского пластического течения под действием равномерного внешнего давления р. Определить давление р как фукцию внутреннего радиуса рн внешнего радиуса рэ и предела текучести К. Определить мгновенное поле скоростей, предполагая, что радиальная скорость на внешней поверхности трубы имеет постоянную величину У. ЧП, 4.6. Пусть плоское пластическое течение отнесено к полярным координатам р, 0 в плоскости течения.
Выразить напряжения Т,, Тм, Т,, через среднее давление р и угол э между первым направлением скольжения в произвольной точке и радиусом-вектором этой точки. Вывести уравнения равновесия, аналогичные уравнениям 14.8) гл. НП. Ч11, 4.7. Рассмотреть решения условий равновесия, полученных в задаче Ч!1, 4.6„ для которых угол ~у зависит только от полярного угла 0. Ч!1. 4.8.
В дополнение к вадаче НИ. 4.7 определить поле скоростей для идеально-пластической массы, сжатой между жесткими плитами, образующими малый угол. !Указание: как и поле скоростей, рассмотренное в связи с рис. 23, скорости сдвига на плитах будут бесконечно большими, т, е. линии скольжения будут нормальны к плитам или касательны к ним.) Ч!1, 4.9. Пусть при плоском пластическом течении заданы давление р и угол 0 линий скольжения вдоль дуги кривой с, лежащей в плоскости движения.
Считая, что эта дуга нигде не касается линии скольжения, показать, как на основании теоремы Генки 14.21) гл. ЧП можно построить поля р1х) и 0(х) в окрестности дуги с при помощи приближенного графического метода. ЧШ, 1.1. Пусть р~ю !и=1, 2, 3) — единичные векторы трех материальных направлений в произвольной частице !о, Задачй которые мгновенно совпадают с главными направлениями скорости деформаций. Записать тензор напряжений в виде Т, = ~ С,зр<'>ф~'~ и определить скорость ивменения напряс а,з жений таким образом, чтобы она обращалась в нуль при С,а=О. Показать, что этот процесс приводит к определению скорости изменения напряжения, данному Яуманном. Ч!11, 1.2.
Показать, что гриновское определение скорости ивменения напряжений можно получить следующим образом. Тензор напряжений записывается в виде Т, = ~~э, К,ф!ф а,а где векторы 1; ' (а = 1, 2. 3) пропорциональны трем материадьным линейным элементам с(х~~ ~, исходящим нз Р, и не лежат в одной плоскости. Скорость изменения напряжений 'определяется таким образом, чтобы при К,а = О она обращалась в нуль. ЧШ , 1 .3. Допустим, что бесконечно малая сила, действующая на произвольный материальный элемент поверхности (см. задачу ЧШ.
1.7), записана в виде йР,=~~.',г7Р,6Г~. где а векторы 1~~а имеют тот же смысл, что и в задаче Ч!11, 1.2. Показать, что определение скорости изменения напряжений. данное Трусделлом, получается из требования. что при йР„ = = О скорость изменения напряжений должна обратиться в нуль. Н!!1. 1.4. Исходя из определения скорости иаменения найряжений, данного Грином, образовать симметричный тензор второго ранга, который можно рассматривать как ,ускорение" изменения напряжений. ЧП!, 1.5, Показать, что основные инварианты тензора напряжений. рассматриваемые как функции времени, для частицы стационарны, если скорость изменения напряжений Яуманна для втой частицы обращается в нуль. ЧШ, 1.6.
Показать. что в отличие от результата, полученного в задаче Ч1П, 1 6, обращение в нуль скорости изменения напряжений Грина илн Трусделла не является критерием стационарного поведения основных инвариантов тенвора напряжений для частицы. ЧП!, 2.1. Исследовать простой сдвиг линейного гипоупругого материала, для которого выражение в скобках Задачи в уравнении (2.10) гл. УШ положительно или отрицательно, и выразить компоненты напряжений в этом уравнении через угол 3, определенный по формуле (2.12) гл. Ч!П. ЧШ, 2.2. Исследовать механическое поведение типичных линейных гипоупругих материалов прн совместных растяжении и сдвиге. определяемых стационарным полем скоростей о,= 2ах,+2дх,, оз = — ах где а и Ь вЂ” постоянные.
ЧШ, 3.1. Чтобы отразить комбинированное действие напряжений Т,~ и возрастания температуры !т, нужно модифицировать уравнение (3.7) гл. ЧШ путем добавления к его правой части члена а63,р где и†коэффициент линейного расширения. Разрешить полученное соотношение относительно Ти. Ч1!1, 3.2. Предположим, что материал, определяемый уравнением (2.5) гл. ЧШ, находится в однородном гидростатическом напряженном состоянии — рЬ,. Когда материалу сообщаются бесконечно малые перемещения и, = а;гхр где коэффициенты а, — постоянные, он принимает напряженное состояние Т,р Выразить величину ТЧ через коэффициенты а, и давление р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
