В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 47
Текст из файла (страница 47)
показать, что нзотропный тензор имеет вид ЛЗ, где Л вЂ” скаляр, а 6 — единичный тензор. 1, 4.4. Доказать, что разложение тензора Т, на симметричную н антнсимметрнчную части является однозначным. 1, 5.!. Показать, что свернутое произведение 8В Т,! тенвора Т, с симметричным тензором ЮВ не зависит от анти- симметричной части Тгр 1, 5.2.
Рассмотрим физическую величину, определенную в данной прямоугольной декартовой системе координат девятью числами АВ. Пусть известно, что прн переходе к другой системе координат такого же рода величина А, о,о преобразуатся как скаляр при любом выборе вектора оо .. Доказать.
что величины вида А, + А, представляют собой компоненты тензора второго ранга. 1, 5.3. Пусть физическая величина определена в прямоугольной декартовой системе координат двадцатью семью чиаламн А, э. Пусть прн переходе к другой системе координат такого же рода величина АВ„ В!з преобразуется как вектор пря любом выборе антисимметричного тенэора Вуа. Доказать, что велнчнны вида АВа — Ат? пРедставлЯют собой компоненты тензора третьего ранга. 1, 6.1. Доказать формулы (6.5) гл. ! н (6.12) гл. !.
1, 6.2. Пусть ФВ представляет собой минор элемента Т,~ в детерминанте тензора Т второго ранга. Установить зависимость 1 э 2 в1ре г Тр Те которая показывает.. что миноры 1; представляют собой ком- поненты тензора второго ранга. Задачи 1, 6.3. Показать, что детерминант О матрицы тензора Т второго ранга можно записать в виде П 1 ~= — „„, ее! т!ет„та!. 1. 6.4. В задаче 1, 6.3 детерминант можно записать также в виде О= в!)ьТцТР Таз =е!1а Тг!Т, Тза, откуда следует равенство ердго=е!Р Т,рт!е Т„=е!1ьТе!Тд!Тгд Использовать эти формулы для доказательства того, что произведение детермнна!ьтов тензоров Я! н Т, представляет собой детерминант тензора ЮиТ! .
1, 6.5. Пусть Ь п и Ь вЂ” единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали пространственной кривой. Если рассматривать эти векторы как функции длины дуги в нашей кривой, то их производные по е задаются формулами Френе: «1!«в = яп, «п1«е= — я1+ Ь. «Ь!«е = — и. где к н т означают кривизну и кручение кривой. Пусть вершина трехгранника, образованного векторами 1. п, Ь, движется с единичной скоростью вдоль кривой в направлении возрастания в.
Соответствующее движение трехгранника 1, п, Ь можно получить наложением на параллельный перенос (определяемый движением вершины), вращения вокруг вершины. Определить вектор угловой скорости этого вращения (вектор Дарбу). 1, 6.6. В типичной точке Р пространственной кривой рассмотрим единичные силы, имеющие положительные направления касательной, нормали н бинормалн втой кривой в точке Р. Пусть Т, Х,  — статические моменты этих сил относительно начала координат. Рассматривая эти векторы моментов как функции длины дуги в, установить равенство «Т1«в = хМ, и вывести соответствующие формулы для величин «1ч)«е и «В1«в.
Задачи 1, 7.1. Рассматривая конечное число частиц, показать, что момент инерции этих частиц относительно оси, проходящей через начало координат в направлении р. представляет собой нормальную составляющую симметричного тензора второго ранга для направления р и что в матрице этого тензора инерции элементы главной диагонали представляют собой моменты инерции относительно координатных осей, з остальные элементы представляют собой отрицательные центробежные моменты.
1, 7.2. Пусть система частиц, рассмотренная в задаче 1, 7.1, вращается как твердое тело вокруг начала координат. Обозначим вектор мгновенной угловой скорости этого вращения через ми Показать, что момент количества движения системы относительно начала координат определяется формулой 1ч' = Т~7 ми где Т, — тензор инерции, введенный в задаче 1, 7.!.
Определить кинетическую энергию системы. 1, 7.3. Пусть 8,7 представляет собой симметричный тень зор второго ранга с отличными от нуля. главными значениями 8и Яш 81в. Тогла обратный тензор 8;.. определяется квк тензор с теми же главными осями и главными значениями 8~, Юй, Ящ. Доказать соотношение 8и=З Зи=йси которое оправдывает употребление выражения „обратный". 1, 7.4. Пусть Т,1 представляет собой второй тензор вида; рассмотренного в задаче 1, 7.3, а Т* — соответствующий ю7 обратный тензор. Показать, что тензоры Уп — 8, Т 1 и Э 77, = Т, 8 и которые, как правило, несимметричны, являются 1/ ге ер вбратными в том смысле, что справедливо равенство 17„и;, = 17;,и„= В,Т 1, 7.5.
Пусть 8 представляет собой тензор вида, -рассмотренного в задаче 1, 7.3. Прелставить величину У как линейную комбинацию тензоров $, В и Я', где  — единичный тензор и тензор 5' является тензором, обратным тензору $. Дать соответствующее представление' тензора О*,' обратного тензору ье = 8'. Задачи - 1, 8.1. Мгновенное поле скоростей ть(х) твердого тела можно записать в виде е, = а, + выадгха, где векторы а, и д) не зависят от положении рассматриваемой частицы. Показать.
что ротор этих скоростей равен 2дн а дивергенция равна нулю. 1,.8.2. Пусть г означает радиус-вектор типичной точки поля, а г †моду вектора г, Показать, что соотношения б)ч(г"г) = (и+ 3) г", го((г"г) = О справедливы всюду при и ~ О и всюду, за исключением начала координат, при и ч. О. 1. 8.3. Пусть в векторном поле ч(х) существует поверхность, на которой выполняется равенство о= О.
Показать. ' что в любой точке этой поверхности вектор гогч касателен к поверхности илн обращается в нуль, а б)чч определяется скоростью изменения нормальной компоненты вектора ч в направлении нормали к поверхности. 1, 8.4. Пусть векторное поле ч(х) имеет те же векторные линии. что и градиентное поле п=йтаб р скалярного поля э(х).
Доказать, что в любой точке вектор го! ч перпендикулярен вектору ч поля в втой точке. 1, 8.5. Доказать формулы (8.7), (8.11). (8.12), (8.13) гл.!. 1, 9.!. Пусть У вЂ” объем односвязной регулярной области пространства. г(о' — типичный элемент ее поверхности. и — единичный вектор вдоль внешней нормали к йо' и х— радиус-вектор гБ.
Доказать равенство ~ хр1 йо' = У 38. 1, 9.2. Показать, что центр тяжести области, рассмотренной в задаче 1, 9.1, имеет радиус-вектор'Х = (2)г) '~ х х,т,сЖ 1, 9.3. Пусть на типичный элемент ФЗ поверхности области, рассмотренной в задаче. 1, 9.1, действует сила ч гуВа Покавать, что эти поверхностные силы образуют равновесную Систему. т. е. интегралы ~ чйо и ~хХ чу обращаются в нуль..' Задачи 1, 9А.
Доказать следующее обобщение первого тождества Грина: -~ р д!ч(Хйт б Ф) дУ= ~ Хр д„д8 — ~ у йтаб р 9 аб Ф ЛУ. дф в котором р, ф и у — непрерывно дифференцируемые скалярные поля. 1, 9.5. Пусть скалярное поле у определено в односвязной регулярной области У пространства, н пусть у) О всюду в области У. Кроме того.
предположим, что скалярное поле р удовлетворяет в области У лифференциальному уравнению д)ч (у йтад ф) = О, тогда как нормальная производная др/дл обращается в нуль на поверхности 8 объема У. Пользуясь теоремой, приведенной в вадаче 1, 9.4, показать, что функция ф=сопз! всюду в области У. 1, 9.6. Пусть в односвязной регулярной области У пространства определено векторное поле ч(х), причем б!чч=' =го!ч=О всюду в области У. Показать„что это векторное поле представляет собой градиентное поле скалярного поля р(х), которое удовлетворяет дифференциальному уравйению Ьр=О.
1, 10.1. Вывести выражения для йтабр, 41чч, го!ч и Ьр в сферических координатах р. 8. ф. 1, 10.2. Пусть в окрестности плоской дуги с без точек перегиба определены криволинейные координаты и и !) типичной точки Р следующим образом. На луге с выбрано начало координат О и определено положительное направленное Пусть нормаль к- кривой с пересекает эту дугу в точке Р', а направление от точки Р' к центру кривизны дуги с принято за отрицательное направление нормали РаР: Алгебраическое расстояние Р'Р будем считать координатой а точки Р, а угол между нормалями в точках О и Р' — координатой р.
Форма кривой с задана в зиле зависимости радиуса кривизны р от координаты р. Показать. что соотношенййй дат 1 д ~ ! дт) 1 дт да~ + р+а да (р+а дд /+ р+а да выполняется для плоского скалярного поля р(а. р). П, 1.1. Пусть векторы Тн Тт, Т представляют собой векторы напряжений, которые действуют на злементарныи площалки, перпендикулярные к осям координат. Показать. Задячи что сумма -квадратов модулей этих векторов не зависит от ориентации осей координат. .П, 1.2.
Если р., — единичный вектор и 8 — положительный сквляр. то тензор напряжений Т,~ — кргр) определяет ,одноосное" напряженное состояние интенсивности о' с осью, параллельной вектору рк Напряжение, действующее на произвольный элемент поверхности с единичной нормалью тм разложим на две составляющие, одна из которых параллельна вектору тн а другая перпендикулярна к нему. Рассматривая величины этих составляющих как функции направления ч, показать, что их максимумы имеют значения 8 и 8~2 соответственно. П, 2.1. Установить вид условий равновесия (2.7) гл.
П при использовании сферических координат. П, 2.2. Рассмотреть одноосное поле напряжений с переменкой интенсивностью, но фиксированным направлением оси (см. задачу П, 1,2). Показать, что при отсутствии массовых сил градиент интенсивности должен быть перпендикулярен к ( направлению оси. П, 2.3. В облзсти Ъ', заключенной между двумя сферами, общий центр которых совпадает с началом координат О, а радиусы равны а ) О и Ь ) а, определено поле напряжений следующим образом. Напряженное состояние в прондвольной точке Р области одноосно, его интенсивность яе зависит от положения точки Р, а ось направлена по радиусу-вектору ОР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
