В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 44
Текст из файла (страница 44)
1Х и (3.9) гл. 1Х. йолучим равенства В,=С,=В,, У =3* У >= — 3, У< >=1 Так как естественное состояние свободно от напряжений, то производные упругого потенциала по основным инвариантам В должны удовлетворять следующим соотношениям: — — 2 — + = О, (2.28) дЕ дЕ дЕ дУГО дУ(а> дУ(а> которые справедливы для естественного состоянии мате- риала. 3.
Несжимаемые гиперупругие материалы. Механическое поведение многих практически важных материалов, например конструкционных металлов, можно рассматривать как ') Р <вйег Л., 8<!лагг. Ааа(<. (Гг<аа. )а'<еп (Па), !03 (1894), !О!3. 8. Неолгамаемыа гаперупруеие материалы 257 Для несжимаемого материала, 1г„=О и из равенства (3.1) и формулы (3.12) гл. !Х находим соотношение В,Рй, =б. (3. 2) Так как допустимые скорости деформаций РзП, теперь ограничены условием (3.2), то первый член в уравнении (2.5) больше нельзя 'принимать равным нулю; можно лишь заключить, что он пропорционален величине ВВ.
Поэтому для несжимаемого гиперупругого материала равенство (р.8) заме нится зависимостью дЕ 5,) — — —. — рВгр (З.з) биц, где р — ' произвольный скаляр. Подставляя выражение (З.З) з формулу (4.8) гл. !Х и пользуясь соотношениями (3.12) гл.
1Х м (2.2) гл. 1Х, получаем формулу Т, = — рЗВ+ = Р,х,Р,х . дБ д7(гг (3.4) При.образовании в выражении (3;4) производных дЕ(дй„ девять компонент деформаций, как и прежде, следует считать независимыми переменными. Понтону последний член в выражении (3.4)' можно преобразоиать так же, как преобразована 17 В. Првгга упругое только при очень малых деформациях, Задачи„отт носящиеся к. упругому поведению таких материалов, вообще говоря, укладываются в рамки классической теории упругости, в которой деформации считаются бесконечно малыми. Однако такой упрощенный подход оказывается.
как правило. неприемлемым для некоторых других материалов, напрлмер реаины, которая допускает большие деформации. Многие из этих материалов являются, однако, практически несжимаемыми. Поэтому в данном пункте мы займемся упрощениями предшествующей теории, вытекающими из несжимаемости гиперупругого материала. Умножая формулу (2.16) гл. !Х на величину д,а,д,а) и используя соотношение (2.2) гл. 1Х, получаем равенство 1 „= а,а,Д,а)Рзй, . ' (3.1) 258 Га Х.
Упругие и енлеруеругие материалы которое получено Рнвлином '). Если ввести обозначення дЕ дЕ а=2 —, р=2-~ —, д,йр 1>> е.йр >е> (3.6) то уравнение (3.5) можно записать в таком виде: Т, = — рВ + аВ 1 »- ~С>Г (3.7) Как заметил Муна г), уравнение вида (3.7), в котором а и р являются характеристическими постоянными материала, с достаточной для практики степенью точности опнсывает упругое поведение резины. Соответствующий упругий потенциал имеет внд 1 1 Е= 2 а(Ян> — 3)+ 23(Яу<г>+3).
(3.8) Для естественного состояния. в силу формулы (2.27), этот потенциал обращается в нуль. В дальнейшем, однако. мы будем считать коэффициенты а н 3, входящие в формулу-(3.7), определенными равенством (3.6); онн будут считаться постояннымн только в случае, когда делается специальная ссылка на теорию Мунк. Из уравнения (3.7) следуют важные соотношения между главными напряжениями Т>, Тп, Тш н главными коэффнцнен- й>т1>я И.
3., Ранее. угала >!оУ. Бое., А241 (1948), 379. М оо п.еу М:, е. еаррь Рйуе„11 (1940), Й2. ' правая часть формулы (2.8). Вследствие несжнмаемостн материала, мы теперь имеем р/р=! и Я<з> — — 1 (см. формулы (3.15) гл. !Х н (3.17) гл. 1Х), так что велнчнна Е завнснт только от инварнантов Я1>> и лр>з>. Так как в выражении (3.4) скаляр р произволен, то можно считать, что члены с ковффнцнентом Вы нз формулы (2.26) содержатся в члене — рВ, выражения (3.4). Тогда для несжимаемого , гилерунругого материала равенство (2.26) заменится более простым определяющим уравнением дБ дЕ Т, = — рВ, +2 — В + 2 — С, (3.5) дЯ<н дУм> 8. Нееаагмаемме еилеруиругие материалы 259 Согласно формуле (3.10) гл.
1Х, матрицы тензоров В н С, отнесенные к главным осям, аадаются выражениями л', о о о лц о 0 6 ЛТ5,й л - о о хй' 0 хялй . (3.10) 0 0 Тогда ив уравнения (3.7) получаем главные напряжения Т, = р+ а',+3Л,-', Тц —— — р+ ахти + рлйт, Тц,= — Р+Л Лй'+РЛЯ,, (3.11) При Л, = Лц величину р можно выбрать так, чтобы главные напряжения Т~ и Тц были равны нулю. Для соответ ствующего однооеного напряженного состояния получим равенства Лц, — — Зч 'Лй = Л~ = )ч| н Т,ц — а(Л1и — Лйи~)+ р (2чи — Ли1) = = Лщ (Лию — Лщг) (а — Лй~ ф).
(3. 12) С другой стороны, величину р можно выбрать так, чтобы обратилось в нуль третье главное напряжение, т. е. чтобы Т,ц=О. Для соответствующего плоеного напряженного состояния получим тогда равенство Т, = а (Л~~ — Л~ Лй~) + р (Лй — Лзлй) = =(Л~~ — Л~ тлц )(а — Л~цр). (3. 13) Аналогичное выражение получается для Тц'. Простому сдвигу .
х, .а, '+ 27а . хя .ат,, ха —— а~ .. (3.14) 17е тами длин Ль Лц. Лци Вследствие несжнмаемостн материала; справедливо равенство Л,Л Хц = 1. (3.9) 260 Га 76 этпругие и гиперупругие материалы согласно формулам(3.9) гл. !Х и (3.1) гл. !Х. соответствуют тензоры деформаций 1+ 47г 27 О 1 — 27 О )уг! = 27 1 О, Сг! — 27 1+ 47т О . (3.15) О О 1 О О 1 Если в формуле (3.7) выбрать величину р так, чтобы обращалась в нуль составляющая Т,, то этот определяющий вакон приводит к равенствам Тн — — 4зТз, Т = 4~7г, Т„= О, (3.!6) Тг — — 2(а — р) (, Т, =Т, = О. Чтобы сравнить эти формулы с соотношением (2.11) гл. Н!!1, нужно положить Т = с!.
Для совпадения формул (3.16) с соотношением (2.11) гл, Н!!! необходимо, чтобы выполнялись равенства и=9, р= О. Частный случай теории Муки, когда р=О, рассматривался Ривлином '). В качестве менее тривиального примера рассмотрим изгиб прямоугольного параллелепипеда т). Помимо прямоугольных координат ан аг, аз, оси которых параллельны ребрам не- деформированного параллелепипеда, используем цилиндрические координаты р, 0, ь. Предположим, что рассматриваемая деформация изгиба преобразует материальные плоскости а, = сопя!, ггэ = соне! и аг = сопщ начального состояния в, цилиндры р = сопз! и плоскости 0 = сопз! и ь= сопя! мгновенного состояния. Ортогональным направлениям возрастающих значений ан ам аз в начальном состоянии соответствуют также ортогональные направления возрастающих значений у, 8, ь, которые представляют собой главные направления тензоров В и С.
Так как рассматриваемая деформация описывается уравнениями вида р=р(а,), 0=0(а,), ь=ь(аг), (3.17) то главные коэффициенты длин задаются соотношениями Л,=В,р, ),=рв,0, ),=О,(, (3П6) ') й !т1! п 8. 8., Р8!!аг. Тгапа йоу. Бес., А240 (1948),459. г) 8 ! т1! в й. 5., Ртосг Аоуг 8ас. Ьоп!(оп, А195 (1949), 463. Я. Несжимаемые еииеруиругие материалы М1 где оператор О, означает дифференцирование по аг Вследствие несжимаемости материала, справедливо равенство )гт)ч"с = Ф)тр) Фзб) Фз") = 1 (3 19) Поскольку величины в скобках.
входящих в равенство (3.19). зависят от разных переменных, то это равенство будет удовлетворено только в случае, если выражение в каждых скобках равно постоянной величине. Таким образом, получим соотношения Р=(2Аа,+В)', . О-Сам С=а,7(АС), (3.20) где А. В, С вЂ” постоянные интегрирования. Согласно формуле (3.10) гл. !Х, тензор В имеет следующие главные- значения: Ат з 1 Врр — — —,, Вы=Сер~, Вц — — А'С' ' (3.21) При заданных значениях величин а, Ь, с деформация (3.20) однозначно определяется значениями р', О', ч'.
Действительно, последнее равенство (3.22) определяет величину ре', а постоянные А, В, С можно найти из остальных равенств (3.22). Из определяющего уравнения (3.7) получим главные напряжения А' рт Т = — р+и — +р —. ре Ае' Сер ' (3.23) 18 в. пзагер а главные значения тенвора С обратны главным значениям тензора В. Согласно формулам (3.21), основные инварианты ,Вгп1и Я<я> не зависЯт от величин 6 и 1; то же вамечание относится к упругому потенциалу Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
