В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При помощи равенства (1.3) выражение (2.13) можно записать в виде (1.1). 2. Тензор деформаций Грина Выражение (2.13) явно показывает преимущество лагранжевых переменных: материальная скорость изменения получается в результате простого применения оператора Оо. Например, ускорение частицы с начальным положением аг имеет вид Ошхр Чтобы получить важное выражение для материальной скорости изменения Е)оУВ тензора деформаций Грина, исполь зуем соотношение (2.6), которое, согласно формуле (2.7), запишем следующим образом: г(х,Ьх~ — Иа~Ьаг — — 26, йа,йа. (2.14) Материальная скорость изменения первого члена левой части определяется соотношением (1.10) гл. 111, а материальная скорость ивменения второго члена равна нулю. Таким образом, вследствие формулы (1.11) гл.
1П, получим равен- ство У~1 г'хг 3хТ =, ')о Уц г(и~ йир (2. 15) ОоУц УреудРрРТхе. (2.16) 'Сравнение соотношения (2.16) с соответствующей формулой (1.23) весьма показательно, Как видно из формулы (1.23), если окрестность рассматриваемой частицы в данный момент движется как твердое тело и, следовательно, для этой частицы величина У,Т обращается в нуль, то материальная скорость изменения У)7 тензора деформаций Альманси не обязательно равна нулю. По этой причине величину Угй нельзя использовать в определяющих уравнениях в качестве меры скорости изменения деформаций. Скорость деформаций Альманси У~т7, пригодную для этой цели, нужно.
определять отдельно [см. (1.25) ). Из соотношения (2.16) следует, что материальная скорость изменения ОоУ,~ тензора деформаций Грина обращается в нуль, если окрестность рассматриваемой частицы движется как твердое тело. Следовательно, материальную скорость Выражая величины в(хг и йх~ при помощи равенств (2.1) через величины Фа, и йаг и учитывая, что полученное равенство справедливо при любом выборе гав, н Зар находим соотношение Гл. 1Х, Канееиыв деформации нвмененва ОеУбь котоРУю мы назовем скоРостью дефоР- маний .Грина, можно непосредственно использовать в определяющих уравнениях. Этот результат — еще одно преимущество переменных Лагранжа.
3. Другпе тензоры деформаций. Если окрестность тнпичной частицы Р не кспытывает, деформаций, то тензоры деформаций. введенные в п. 1 н п. 2, обращаются в нуль. Если нам нужно рассмотреть тензоры деформаций, которые определяют отсутствие деформаций иным способом, то можно авеста следующне тенворы деформаций: (3.1) С, =д,а„даа С,1 —— л),ха0 ха. (3.2) Этн тензоры будем навывать твнзоралеи Коши' ).
Иа сравнения выражений (3.1) н (3.2) с формулами (2.4) в (2.5) можно получить соотношения д (драв) С0= — д(В „е) (З.З) д (Р~хв) (3.4) Согласно формулам (1.6) н (3.1), справедливо равенство С„=8„2У„. (3.5) Следовательно, прн отсутствии деформации С,~ — — Ьер Далее, нз уравнения (3.5) следует, что любая система главных осей тензора У, является также системой главных осей тенаора С,р Как было показано в п.
1, такая система определяет в мгновенном состоянии три взанмно ' ортогональных материальных направления, которые были ортогональны н в начальном состоянии. Соответствующие главные значения тензороз С, н У, свяваны друг с другом соотношеннямк вида (3.6) С~ — — 1 — 2Уь ') Сакс вт А., Еяегс~зев де шащашанйиез, ю 2, Расы, 182~, р. 1, 42, 60, 106; т. 3, Рагы, 1828, р. 160, 188, 213, 237. 241 8. Йругие тенэорм деформаций Такнм образоьь согласно формуле (1.19), коэффициент длины для главного направления ф тенаора СВ равен Л =С (3.7) По определению, ковффнциент длины представляет собой конечкое положительное. число. Поэтому тензор СВ имеет единственный обратный тензор В0, такой, что выполняется равенство СгрВр1 = ВгрСр1 = 30. Легко убедиться, что вто равенство удовлетворяется прн условии ВВ Овлг1)ал1 (3.9) я 1 1 )Ч 1 2у С Вн (3.10) Соотношения между соответствующими главными вначениямн.
тензоров О. С н В. определяемые равенством (3.10), можно использовать для того. чтобы выразить основные инварианты одного на этих тензоров через основные инварианты другого. Так. например, находим зависимость в <з! (С~Сц + СпСш +СшС|) в,+вп+в1п,яуп! (3.11) Предоставляем читателю провести аналогичные рассужде- ннЯ длЯ тенвоРа СВ. ТензоР.
обРатный тензоРУ Сби имеет внд В — — даагдва~. (3,12) 1бв.пр р Тенвор В, имеет те же главные осн. что н тензор С,, н его главные аначення равны обратным величинам главных значеннй тензора С,. В силу формулы (3.7), главные значения тензора ВВ равны квадратам коэффициентов длины для главных направлений. Таким образом. имеем формулу 242 Гд СХ. Конечные деформации Тензоры Вс! и Вс~ мы назовем снензорами деформаций Фингера'). Сопоставление выражений (3.9) /с (3.12) с форс мулами (2.4) и (2.5) приводит к равенствам' д (!)еху) д (дсае)  — д (денс) )7 д(В)хе) ' (3.1 4) Учитывая соотношение (7.9) гл.
1, а также формулу (1.17) и первое уравнение (6.5) гл. 1, детерминант сбссз) тензора Всу можно записать в виде 1 ЯС ) б есгеер ВсрВС Вес 1 =-осеессаардсдсасдсард асд а д„аед„а 1 б (есгедсасд агд„ае)(еед,дса д а д„а,)= =.5- (ес „да) (ес,„да) = (да)г. 1 (3.
15) Аналогичным образом получается формула ~сз) ()'.)х) (3.16) Якобнаны в формулах (3.15) и (3.16) можно также выразить через отношение р/р плотностей частицы в мгновенном и начальном состояниях. Действительно, из соотношения (1.18) и вакона сохранения массы следует равенство да = р/р; (3. 17) обратно Ох = р/р. (3.18) Чтобы выяснить геометрический смысл шензоров деформаций Фингера, вновь рассмотрим исходящие из типичной частицы Р материальные линейные элементы РР' и РР", которые определяются в начальном состоянии векторами с7ас и бап а в текУщем состоЯнии — вектоРами асхс и бхс.
Тогда модуль векторного произведения Нрс = ассе асх с бхе (3.19) ') рсябег А, Бсугвег, Алисс. ФЪз. срсел (!!а), !03 (1894), 1073. Ю. Другие тенэоры деформаций (3.25) а р 1 Л=С= —. (3.26) Вг ') Т Г Е ЕЕ и Е11 С., ГЕиаег. Арр!. МаИ., 15 (1958), 434. 16е представляет. собой площадь ЙР параллелограмма. определяемого мгиовег)(гыми положеииями Р, Р' и Р". а иаправлеиие этого векториого произведения ортогоиальио к плоскости упомяиутого пара(глелограмма. Векторное произведение ЙР, = е, Йа йае (3.20) можно интерпретировать аналогичным образом. Подставляя формулу (1.4) в равенство (3.20).
находим соотношение ЙР,= е, ед'а~д а„Йх йх,. (3.21) Умножая соотношение (3.21) иа величину дра, и используя формулы (1.17) и (3.17), получаем зависимость' д аЙРг=даЙР = БАЙР . е В силу формул (3.22) и (3.15), квадрат мгновенной площади определится выражеиием ЙР~= ЙР ЙР =, д гггд а.ЙР, ЙР = Ц ЙРгЙРР (3.23) Югзг Структура последней формулы близка к структуре формулы Йат=Йх Йх =О,х 0 х ЙагЙа1' — — С, Йа,дар (3.24) которая следует ив соотношения (2.1). Таким образом, теивор Вг1/У характеризует ивмеиеиие площади точно таким же образом. как теизор Сг1 характеризует измеиеиие длины.
Аналогичные выводы справедливы и для теизоров Вг1/Я <з> и Сць Эти результаты получены Трусделлом'). Из формулы (3.24) следует. что коэффипиеит длины для главного направления Сг1 связаи с соответствующим главным аиачеиием этого теизора уравнением вида Л7= Сь Так как В — теизор. обратный теизору Сер то можно завис ть авеиство Гм е'Х Конечнае деформации Сравнение формул (3.10) и (3.26) показывает. что тенворы СВ и ВВ имеют одни и те же глазные значения. В то же время эти тензоры друг от друга отличны. так как их главные оси не совпадают.
Действительнэ, когда главные направления тензора В, представляют собой материальные направления. то они преобразуются при рассматриваемой деформации в главные направления тензора Сер Из равенства главных значений тензоров ВВ и СВ следует, что равны друг другу соответствующие основные инварианты этих тенворов. То же относится к соответствующим основным инвариантам тензоров ВВ н С,. 4. Тензоры напряжений Лагранжа и Кнрхгофа. В п. 2 были отмечены различные преимущества переменных Лагранжа. Применение этих переменных влечет за собой, естественно, и некоторые неудобства.
Они связаны с тем обстоятельством, что напряжения, отвечающие мгновенному состоянию. теперь приходится относить к начальному состоянию с помощью физически искусственного, хотя и математически последовательного метода. Если тензор ТВ представляет собой тензор напряжений, отнесенный к мгновенному состоянию, то бесконечно малая сила дРр действующая на элемент поверхности е(р, [см.
(3.19) [, имеет вид дР =Т, г)ри (4.1) Равенство (4.1) подсказывает следующий способ определения тензора напряжений Т,. отнесенного к начальному состоянию: дР,= Тчдрг. (4.2) В формуле (4.2) начальный элемент поверхности «1Р, определяется посредством соотношения (3.20). Для удобства тензоры ТВ и ТВ будем в дальнейшем называть ейлероеым и лагранжееым лгензорами нанряженай соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
