В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(6.4) Пусть Тц и Тц — два поля напряжений, определяемые полями деформаций Уц и Уц на основании закона Тука(3.6). Согласно формуле (6.2), неравенство (6.4) можно записать следующим образом: 6й — би ) ~ (Уц — Уц) Тц ~Лг, где бгг и бц представляют собой величины энергии, соответствующие деформациям Уц и Уц. Предоставляем читателю установить соотношение В; — В, > ~ (Т'ц — Т, ) Уц ж, (6.6> где Ьг и мг определены аналогичным образом.
Обращаясь к общей краевой задаче статики упругого тела, о которой говорилось в начале этой главы, мы предположим, что эта задача. допускает решение. Как было показано в п. 4, это решение оказывается единственным. Пусть решения ип Уц и Т, определяют соответствующие поля перемещений, деформаций и напряжений. Далее, э пусть и~ — поле смещений. удовлетворяющее кинематическим граничным условиям н отличное от поля иь а Уц— соответствующее поле деформаций. отличное от У,. Так как поле напряжений Т,, которое является решением, удовлетворяет уравнению равновесия (4.3), то мы можем записать соотношение ~ рК (и' — и )гЛ/+~ч,Т, (и' — и )йБ= = ~ Тцдс(и~ — и~)лба= ~ Тц(УУ вЂ” Уц)гЮ, (6.7) 214 Гл. (гШ Гипоупругие материалы где при переходе к последнему интегралу использована симметрия тензора напряжений.
Из соотношений (6.5) и (6.7) следует неравенство Пй — ьо > [ рКг(иг — иг)б)т+ [ гТгг(йг — иг)б8, (6,8) Так как смещения иг и и удовлетворяют кинематическим граничным условиям, то для составляющих, входящих в вти условия, разность и'.
— и обращается в нуль в любой 7 ! точке Р поверхности о'. Дополнительные составляющие тгТг представляют собой компоненты поверхностных усилий Т~~'. заданные в точке Р. Поэтому последний интеграл в соотношении (6.8) можно записать в виде ~Т~~(иг — иг)1 бо, (6. 9) где штрих означает, что при суммировании по немому индексу 7 следует учитывать только те компоненты, которые входят в статические граничные условия в рассматриваемой точке поверхности. Таким образом, неравенство (6.8) эквивалентно неравенству $й — [' [Т7иЯ' б8 — ~ рКгйг б)Г > > Фи — ~ [7ятйиг1 йЮ вЂ” [ рКгиг б(г.
(6.10) т. е. разность между енергией деформации и виртуальной работой массовых сил и заданных поверхностных усилий на перемещениях будет наименьшей для поля перемещений, являющегося решением краевой задачи, по сравнению с любым другим полем перемещений, удовлетворяющим кинематическим граничным условиям. Предоставляем читателю аналогичным способом установить неравеНство Ц[тгтгги ~" бз — 6т > Я,тгги,1''бз — Ц. (6.11) .Здесь Тя — поле напряжений, являющееся решением задачи. а ТД вЂ” любое другое поле напряжений, удовлетворяющее условиям равновесия (2.7) гл. 11 с заданными массовымн б. Экстремальные принципы 215 силами и дающее на поверхности ваданные составляющие поверхностных усилий; величины Ьт н Ьт представляют собой соответствующие значения энергии напряжений; два штриха означают, что суммирование должно проводиться только по тем составляющим, которые входят в кинем матические граничные условия в рассматриваемой точке поверхности.
Неравенство (6.11) выражает следующий экстремальный принцип: разность между виртуальной работой поверхностных усилий на заданных перемещениях поверхности и энергией напряжений принимает наибольшее значение для поля напряжений. являющегося решением задачи, по сравнению с любым другим полем напряжений, которое находится б равновесии с заданными массовыми, силами и удовлетворяет статическим граничным условиям.
Неравенства (6.10) и (6.11) можно преобразовать следующим образом. Из определений (6.2) и (6.3) следует соотношение йо+Ьг=~бУ~(тцйиц+ Ц,йтц) =~тцицбУ. (6П2) Вследствие симметрии тензора напряжений, решение рассматриваемой краевой задачи удовлетворяет равенству Во+Юг — — ~ Тцд,и йУ = ~ «,Т, и йБ — ~ д,ТцигбУ = = ~ «,Т и бБ + ~ рК и йУ, (6. 13) в котором при переходе к последнему равенству было использовано условие равновесия (2.7) гл. П. Поскольку как величина бо. так н величина Фг определяют упругую энергию, накопленную в деформированном теле, т.
е. Йо †вЂ, то, в силу формулы (6.13), получим равенство йо — Жг — 2 ~ ~ «,Тци) йБ + ~ РК)и~ йУ )(. (6.14) 1 Далее, так как справедливо равенство ~ «Гци)йБ= ~~Т~~'и1~ йБ+Я~~ид~бБ, (6.16) 216 Га 'гШ. Гииоулругиа материалы то правая часть формулы (6.10), а также левая часть соотно- шения (6.11) равны выражению — ~Яч~ТОиД г)$ — ') Я(Т) и~) ЙБ — ~ рК)иф~~. (6.16) Согласно формулам (6.10), (6.11) и (6.16), получим соотношение бЬ вЂ” ~ рК)я) гПà — ~ ~т1яяЯ г18 > > — , '®.,Т„я,'1' 1З вЂ” ~'(Т',"'яДгуЗ вЂ” 1 рК,л, т~ > > Я7цп!]" гЗ вЂ” Ьт ° (6;17) Чтобы проиллюстрировать типичное применение этих неравенств, вернемся к задаче о кручении.
рассмотренной в п. 5. Вследствие линейности основных уравнений статики упругого тела, крутящий момент. напряжения и депланация поперечного сечения пропорциональны удельному углу закручивания 6. Кроме того, крутящий момент и напряжения пропорциональны модулю сдвига. Чтобы избежать введения несущественных постоянных, в дальнейших выкладках примем, что удельный угол аакручивания 9, модуль сдвига р и длина стержня 1 равны 1., Так как массовая сила К1 и заданные компоненты поверхностных усилий Т~~~ равны нулю.
то в формуле (6:17) можно вычеркнуть все члены, содержащие эти величины. Заданные компоненты поверхностных смещений обращаются в нуль в сечении хз — — 0 и соответствуют повороту на едийичный угол в сечении хз =' 1. Поэтому работа ~ 1» Т, и 1" ФЗ поверхностных усилий т,ТО на заданных поверхностнык смещениях и) равна крутящему моменту Мз при единичном удельном кручении, т. е. жесткости на кручение О. Аналогично выражение ~ ~т~Т~~и1~ Н5 определяет момент Мз относительно оси лз поверхностных усилий т1Т~), приложецЯьп)'6 Сеченш) х~ — — ), 217 6. Экстремальные приллзяы Поле смещений ип удовлетворяющее кинематическим граничным условиям, аадается соотношениями лг= — хзхю из=х~хз.
из=т (хм ха) (6.18) Все кЪмпоиеиты деформации, за исключением величии Уй = У~~ = — (др' — хз). Узз = Узз = — (др'+ х,), (6.19) равны нулю. так что, согласно формуле (6.2), справедливо равенство 26й= ~ 1(др' — хф+ (дзур* + х,)Ч ИА, (6.20) где дА означает элемент площади поперечного' сечения. Поле напряжений Тц, удовлетворяющее статическим гракичным условиям, можно определить с помощью функции напряжений ф" (хп х,), которая обращается в нуль иа контуре поперечного сечения (см. формулы (5.7) и (5.10)1.
Все компоненты напряжений. кроме величин Тыз= Тз~ = д~ф ° Ты = Таз = — дгф ° (6 21) обращаются в нуль, и из формулы (6.3) следует соотношение 26т =~ [(д~ф )з+(дзф ДНА. (6.22) По' аналогии с соотношением (5.17) получим равенство Мз =2~ ф 0А (623) Таким образом. для задачи о кручении соотношение (6.17) принимает вид ~ 1(дР' — хз)т+(дгсР + х )г) ИА,) П > ) 4 ~ ф ИА / Ндф )з+(дф )з)ИА (6 24) Вти неравенства остаются справедливыми при замене величин ~р' иа ау' и ф" на рф . Определим постоянные а и р таким образом, чтобы промежуток между границами для 218 Ггь ЧИ/. Гиаоилрйгие лагериаем жесткости на кручение 0 в неравенствах (6.24) был как можно меньшим. Для краткости введем обозначения Фа = ~ 1(др')Я+ (дар')з) г(А, %'= ~ 1хздгр' — х,дзе'1 ИА, (6.25) )р= ~ (х',+ хт) ИА.
где ур — полярный момент инерции поперечного сечения хз = О относительно начала координат. Если в формуле (6.24) произвольную функцию р' заменить на ар', то верхняя граница для величины В примет вид аафз — 2айг+lр — — (аФ вЂ” — 1 + 7р — —. (6.26) Квадрат выражения, заключенного .в скобки в формуле (6.26), не может быть отрицательным. Для выбранной функции депланации р' наименьшая верхняя граница в формуле (6.26) соответствует выражению Ур — гут/Фз. Определяя аналогичным .образом наибольшую нижнюю границу, находим следующее соотношение: ~ ~ 1хед1т' — ходете)дА~ 4~ ~ Р~НА~ ~ 1(д,т )е+(а,т )е1 ЛА ~ 1(д,Ф ) +(д,,р*)е)„А (6.
27) Применим эти неравенства к задаче о квадратном поперечном сечении, ограниченном прямыми х, = ~ 1, хт = ~ 1. Это поперечное сечение симметрично относительно прямых х,=О, ха=О, х,— ха=О и х,+х =О. Легко видеть, что относительно этих прямых функция напряжений должна быть симметричиа, а функция депланации антисимметричиа. функция депланации вида <р*= х,х 1'хя1 — хя (6.28) удовлетворяет этому условию антисимметрии. Согласно соотношению (6.27), верхняя граница для жесткости на кручение равна величине 2,2519.
Функция напряжений ф" = (1 — хз) (1 — х~~) 219 7. Упругие волны обладает необходимыми свойствами симметрии и обращается в нуль на контуре поперечного сечения. Для нижней границы она получает значение 2,2222. Как видно из формулы (5.23), жесткость на кручение поперечного сечения увеличится в а4 раз, если линейные размеры сечения увеличатся в а. рав.
Следовательно, жесткость на кручение квадратного поперечного сечения со стороной квадрата 2а заключена в пределах 2,2519 рае ) В ) 2,2223 ра".. (6.30) Более близкие границы для жесткости на кручение можно получить путем введения в выражения для функций р' и ф некоторых параметров, которые определяются так, чтобы границы были более близки друг к другу. а поперечная волна имеет впд и =Ае ! з!и 2п (! х — сг) — грг е (7.3) 7. Упругие волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
