В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 32
Текст из файла (страница 32)
4. Плоское пластическое течение ликии скольжения ие может сушествовать иаолироваиио: если одна линия скольжения имеет прямолинейный отрезок. то соседняя линия скольжения также должна иметь прямолииейиый отрезок. Так как вдоль прямой линни скольжения угол 6 постояиеи, то формулы (4.21) и (4.6) показывйют, что давление р и напряженное состояние также постояикы вдоль втой линии. Таким образом. область. в которой оба семейства линий скольжения прямолииейиы, является областью постоянного напряженного соетояииа.
с Глава УШ ГИПОУПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ !. Скорость изменении напряжений. Определяющие уравнения, рассмотренные в гл. Ч1, УП, связывают тензор напряжений с тензором скоростей деформаций. Чтобы получить определяющие уравнения более общего типа, введем в рассмотрение третий тенэор, представляющий собой скорость изменения напряжений. Если поле скоростей о,(х, Ф) и поле напряжений Т (х, !) заданы. то выражение (1.!) Т!« = о~д;Т, «+ д«Т!«, имеющее тот же вид, что и формула (4.8) гл..Ш, определяет материальную скорость изменения компонент напряжения относительно неподвижной системы координат. Первый член в правой части.
соотношения (1.1) представляет собой конвективную часть, а второй член — локальную часть втой скорости изменения. Как будет показано ниже, тензор (1.1) нельзя использовать для выражения скорости изменения напряжений в определяющих уравнениях. Рассмотрим, например, призматический стержень, в котором однородное напряженное состояние создается посредством приложенных к его концам осевых сил. Когда стержень вместе с действующими на него силами вращается как твердое тело. то компоненты напряжений, отнесенные к неподвижной системе коорлинат, будут изменяться; хотя относительно системы координат, связанной с материалом, напряженное состояние останется постоянным.
Тензор скоростей изменения напряжений, который можно использовать для построения определяющих уравнений, разумеется, следует определить таким образом, чтобы он обратился в нуль в данном примере. Поэтому определение скорости изменения напряжений, помимо входящих в выраже- 1 Скорость изменения налрязсений 187 ние (1.1) конвективного и локального членов, должно включать врал(ительный член.
Наличие этого члена учитывает то обстоятельство, что компоненты напряжений в неподвижной системе координат х, изменяются даже тогда, когда не изменяются компоненты напряжений. относительно координатной системы х', которая мгновенно вращается вместе с окрестностью рассматриваемой частицы. Так как нас интересует только вращательный член, то мы будем пренебрегать переносом типичной частицы'Р и выберем Р в качестве общего начала двух систем координат хс и х'.. В начальный момент времени 1 эти системы совпадают; Г первая из них неподвижна, а вторая вращается вместе с окрестностью частицы Р. Это вращение не влияет на бесконечно малые координаты с(х' соседней частицы ф тогда как координаты с(хс втой частицы изменяются со скоростью ссос = есьттеь с("т = еЦе™е ссзс7 где тее — мгновенный вектор вихря частицы Р [см.
формулу (1.8) гл. Ш]. Таким образом, в момент времени 1+йг справедливы соотношения дх, = дх' — з, чвь ~И сух' =(Ь, — е, ьтиьЖ) дх'. (1.2) Сравнивая формулы (1.2) н (2.8) гл. 1, мы получим коэф фициенты преобразования Фх,=с, Ых'„при помощи которых можно в момент 1+ с(1 перейти от движущихся координат х' к неподвижным координатам х,; используя формулу ().7) гл. И1, находим вид этих коэффициентов е =Ь, — е, ьчо сИ=Ьс — д(стт71 с(г. (1.3) Чтобы определить скорость изменения напряжений, используемую в определяющих уравнениях, нам нужно для частицы Р сравнить нещтрихованные компоненты напряжений в момент 1 с штрихованными компонентами в момент 1+И.
Нештриховзнные компоненты напряжений для частицы Р в момент 1+И имеют вид т„+т;,да, Гл. 'г711. Гилоуиругие материалы где величины Т<1 и 7<1 относятся к частице Р в момент 1. Выражения для штрихованных компонент тензора (1.4), в силу формул (4.4) гл. 1 и (1.3), имеют следующий внд: 7<1 — ср<сд1 (Трд + 7рд сй)— = (Ьр< — д ро<, сй) (Ьду — д[до1! сй) (Грд+ 7"рд <й).
(1.5) Пренебрегая членами высшего порядка относительно ~й, получаем следующую формулу: 7<1= ТО+ «Т<1 — Тыд до1! — Тр д[ро<!< <И, (1.6) где левая часть представляет типичную штрихованную компоненту тензора напряжений для Р в момент 1+<й, а первый член в правой части — соответствующую нештрихованную компоненту в момент 1. Выражение в скобках в формуле (1.6) представляет собой. таким образом. надлежащее определение скорости изменения напряжений 7<1. Вследствие симметрии тензора напряжений, соотношение (1.6) можно также записать следующим образом: 7<1 = 7г1 — 7грд,роу[ — 71рд[ро<!. Определение (1.7) скорости изменения напряжений принадлежит Яуманну'). В современной литературе часто используются иные определения скорости изменения напряжений. Так,' Трусделла) вместо правой части равенства (1.7) использует выражение 7<1+ 7<1дрор — 7<рдро1 — 1'1рд ром (1.8) а Грина) применяет выражение, получающееся из последНего ') Л а и га з в в О., Б<сеилйзбеггсаее Алас<.
[г'<зз. [Тг<еп (Ва), 120 (1911), 385. Эта работа осталась, по-видимому, малоизвестной; определение (1.7) выводилось заново другими исследователями, см., например, г г о ш т Н., 1пиел<еиг-Агса<о, 4 (1933), 452; 2 а гегеЬа 8., Маваг[а! Нез Зс[епсез Ма<ватзпяиез, га 82, Раг<з, 1937; Тноваз Т. У., У. йа!<ол. Мес». ало Ала<уЪ<з, 4 (1955)[ [Чо!! 'ч<., там же, 4 (1955), 3; Н ! ! ! й., А Меев. апа Рауе. Зо<гс<е, 7 (1959), 209, русский перевод етой статьи: сб.
Механиха, га 3(61), (1960), 75 — 79. е) Т г и ее Не!! С., А <1а<!оп. Мес». алй Ало<узы, 2 (193), 604, уравнение (55Ь.2). е) Одеев А. Е., Ргос. <шоу. 5ое <А) 234 (1956), 46; русский' перевод: сб. Механика, Уй 4(38), (1956), 109. д Скорость иэаенения напряжений 189 путем отбрасывания второго члена. Коттер и Ривлии') также опускают этот член, изменяют эиаки двух последних членов и вамеияют каждый множитель при этих членах его траиспоиировапкым выражением. Если окрестность рассматрвваемой 'частицы движется как твердое тело, то величины д о» и д »со)» обращаются в нуль; в этом случае выражения Трусделла, Грива и Коттер и Ривлииа переходят в выражение Яумаииа.
Равиость между выражением Трусделла (1.8) и правой частью формулы (!.7) записывается в виде где»г,) есть скорость деформации. Как указал Оядройдэ), разность между двумя приемлемыми определениями скорости иэмеиеиия напряжений содержит члены, которые так или иначе могут войти в определяющее уравнение, выражающее скорость изменения напряжений как функцию напряжений и скоростей деформаций. В определяющем уравнении этого вида отличие между разными определениями скорости измеиеиия напряжений несущественно.
В дальнейшем мы будем пользоваться ' исключительно яумаииовским определением скорости изменения напряжений, так как оио иепосредствеиио следует из того требования, что в имеющем механический смысл определении скорости измеиения напряжений компоненты напряжений должны быть отнесены к координатной системе.
принимающей участие' в мгновенном вращении материала. Другие определеиия скорости изменеиия иапряжеиий, помимо вращательного члена, входящего в яумапвовское определение, содержат такие члены, которые удобнее непосредственно вводить в определяющее уравнекче. Другое преимущество яумаиновского эпределеиия можно видеть иэ следующего замечания. Пусть А и  — теиэоры, определенные для произвольиой частицы Р, а величины Аре и Вре — их скорости ивмеиения, определеииые отпосительио движущегося материала.
Естественно потребовать, чтобы эти ') С о»»ее В. А., й 1 т 11 и й. 8., 0иаг». Аррд Ма»Л., 13 (1955), е77; русский перевод: сб. Механика, гй 4 (62) (1960), 151 — 157. е) 0»бгоуб Х О Ргос. т»оу. Юое., (А) 200 (1950), 523. Га 'дПЛ Гплоулругид материалы скорости иэменення были определены таким образом, чтобы выполнялись равенства (АрдВрд) ' АрдВрд+ АрдВрд АрдВрд+ А Врд' (1 10) Легко видеть. что яуманновское определение этому требованию удовлетворяет.
а другие определения не удовлетворяют '). 2. Гнпоупругне материалы. В настоящей главе н в гл. Х рассматриваются трн вида определяющих уравнения, которые. в тоЯ или иной мере соответствуют такому механическому поведенню, представление о котором связано со словом „упругий". В интересах более ясного представления механических зависимостей, исследуем только случаЯ изотермическнл деформация. Для того чтобы можно было рассматривать материал в некотором смысле как упругий, он должен удовлетворять следующему минимальному требованию: прн данном напряженном состоянии компоненты скоростей изменения напряжений должны быть однородными линейными функциями компонент скоростей деформаций, например следующего вида: тП= СПМКМ, (2.1) где тензор СПан как правило, зависит от тензора напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
