В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Определяющее уравнение етого вида впервые было рассмотрено Яуманном т). Для материалов, характеризуемых соотношением (2.1), Трусделлэ) предложил термин гипоупругие материалы. Как будет вндно в п. 3 настоящеЯ главы н в пп. 1 н 2 гл. Х, определение гипоупругого поведения материала. которое на первый взгляд может показаться искусственным, содержит как частные случаи обычные определения упругого поведения прн бесконечно малых н конечных деформациях. Пусть тензор ТП характернаует мгновенное состояние напряжения для типичной частицы гнпоупругого материала, ') Дальнейшие соображения, касающиеся понятия скорости изменение напряжений, см.
Седов Л. И., ПММ, 24 (19бб), 393. т) 1 а к ш а и и О., Бплипудздгггше Алай В'гзз. Ф'гдл, (Ва), 120 (1911), 385; см. также его работу 01е Огнпй!а2еп бег Вежеккп2а1епте, (.е1раЩ, 1905. д) Т го езде!1 С., 1. йаггоп. Мегй. ела Алагузй, 4 (1955), 83, крнтрческне замечания там же, 1019. 191 2. Гипоупругие материалы и пусть за бесконечно малый промежуток времени Ф окрестность произвольной частицы Р испытывает деформацию и вращение, обусловленные бесконечно малыми перемещениями бит(х). Если величина .
о,(х) представляет соответ.ствующее поле скоростей, то справедливо равенство бит — — о, Ж. Определяющее уравнение (2.1) с учетом формул (1.11) гл. 1И и (1.7) позволяет получить бесконечно малое иаменение напряжений, отнесенное к неподвижным осям, в следующем виде: бТт) =Тт)Ж=(Т, д(ро + Т, д1ро +С, тндыют1) Ф= = Т, д1рби1+ Трд( би1+С, д<ьбип. (22) Таким образом, это изменение напряжений зависит только от бесконечно малых вращения и деформации, но не зависит от скорости, с которой совершаются вращение и деформация. Следовательно, гипоупругие материалы являются нееязними. Уравнение (2.2) показывает, что если изменить знаки всех составляющих бесконечно малых смешений, не меняя начального состояния напряжений, то изменятся и знаки составляющих бесконечно малых изменений напряжений.
Поэтому, если окрестность частицы Р, находящейся в напряженном состоянии Ттр сначала подвергается бесконечно малому вращению и бесконечно малой деформации, а затем в результате последующего бесконечно малого поворота и бесконечно малой Деформации снова приобретает свое начальное положение и свою начальную форму, то с точностью до бесконечно малых величин более высокого порядка напряжения вновь принимают начальные значения. Следовательно, бесконечно малые деформации гипоупругого материала обратимы относительно начального напряжения. Эта обратимость и установленное выше отсутствие вязкости в известной мере оправдывают использование термина ,упругий"; приставка „гипо" означает, что рассматриваемые в этой главе материалы, а также упругие и гиперупругие материалы, которые будут рассмотрены в гл.
Х, обладают признаками упругости' в повышенной мере. Предположим сначала, что в определяющем уравнении (2.1) тензор С,гта не зависит от напряженного состояния. Тогда, 192 Га УШ Гипоупруеие материалы как н в п. 5 гл. 1Ч 1см. там формулу (5.12)1, можно похавать, что зтот тензор для нзотропного материала имеет вид Сцю = Лй»Р»»+ Р (8»А»+ Щ») (2.3) где величины Л н р — постоянные. В этом частном случае тензор С»)», включает в себя еднннчный тензор Ь, н характернстическне постоянные материала, так что удовлетворяются условия симметрия (5.5) гл. !Ч н (5.5) гл. 1Ч. В общем случае, однако, этот тензор должен включать еще тензор напряжений Т, н его квадрат ф = Т, Т .
Более высокие степени тензора напряжений при этом можно не принимать во вннманне, так как их легко представить в виде линейных комбинаций тензоров 3,7 Т, н »е» (см., например, формулу (7.18) гл. Ц. Дальнейшие рассуждения ограничиваются случаем гнпоупругого материала, для которого компоненты С,)», представляют собой линейные функции компонент напряжений. Тогда тензор С,)»г представляет собой линейную комбинацию пяти тенворов 8»Р»г 5»»йр+ йн81» (2.4) 8»)7»р ТуЪ»р Ь,»78+ йи71»+ 81»Ти+ 887,», каждый ив которых обладает свойствами симметрии, выраженными формулзмн (5.5) гл. 1Ч н (5.б) гл.
1Ч. Коэффициенты двух первых тензоров (2.4) в этой линейной комбинации мбгут линейно зависеть от следа,TО> тензора напряженнй, а коэффнцненты остальных трех тензоров (2.4) должны быть константами. В результате определяющее уравнение можно записать следующим образом: Тт =Гт„+.Л Т„„Чн+ Л»Т,Р„,) 8,)+ .+ 2 (р+ р.'Т»„) У,)+ 2»У»»Т,1+ 2»' (7»»У»1+ 71»Ы»»). (2.5) Входящие в эту формулу коэффнцненты Л, Л'...., »' представляют собой характернстнческне константы материала. Следуя Ноллу '), материалы, характеризуемые уравнением (2.5), называют линейными гипоупругими мапгериалами.
Несколько более широкий класс гнпоупругих материалов можно определить следующим образом. Представим тен- ') К о! 1 %., А Каггоп, Меел. апй Апа(у»ге, 4(1955), 3. 193 2. Гилоулругие материалы ог=2схо по=из=б* (2.7) где с — постоянная. Тогда получим соотношения: д !го,1 —— с = — д(гог1, 'чгв — — чг! — — с. (2.8) а все остальные компоненты д(го)1 и (тгу обращаются в нуль. Если поле напряжений предположить однородным, то, согласно формулам (1.7) и (2.5), получим равенства Тчг! = доТ, — 2сТи — — 2с (Ле+ 2ч') Т,г, Т7г= доТгг+ 2сТП вЂ” — 2с (Л" + 2ч') Т,г, ТЬ = до Тзг = 2сйлТгг Тгг = д,Ти+ с (Тц — Т,о) = = 2с(а + 2с1а' (Тц+ Т, + ТгД+ + 2сч' (Тц+ Тж) Тчгз = д Т,з — сТоз — — 2сч'Тю, ТЬ = доТгг+ сТ и = 2сч'Тгз. (2.9) ') й!Ч1!И й.
8., ЕГ!С$СЗЕЛ Л. йч Еа йагглл. МЕСЬ. ОНИ Апа!уз!з,4(1955), ое3, см. также й!ч1!л й.8., там же,661 н 8рева сег А. Л М., й!ч1!в й. 8., Агсщое Гга!. Мега. алб Алагузпн2 (1959), 306, 435. 13 в. Пратер вор Сг!ог в формуле (2.1) как линейную комбинацию пяти тензоров (2.4) с коэффициентами. зависящими от основных инвариантов тензора напряжений.
Материал, определенный таким образом, можно назвать нзазилинейным гилоупругим малгериалом. Теорема Ривлйна и Эриксена'), доказательство которой выходит за рамки настоящей книги. показывает. что для обвгего изогпРопного гипоУпРУгого матеРиала тензоР Сгрм в формуле (2.1) представляет собой линейную комбинацию пяти тензоров (2.4) и следующих семи тензоров: 3,)4)„о д,у3„о 3,„ар+3„(),„+ арам,+3„4)„. (2.6) Тг)Т Тг)О гд)Т КЯ с коэффициентами, зависящими от основных инвариантов тензора напряжений. Чтобы проиллюстрировать использование определяющего уравнения (2.5), рассмотрим случай простого сдвига с полем скоростей 194 г л.
Р!П. Гипаупругиа материалы Если мы предположим, например, что в момент времени г= О все напряжения обращаются в нуль, то из приведен. ных пятого и шестого равенств следует тождественное обращение в нуль напряжений Тж и Ттг. Далее. подставив первые два равенства в четвертое равенство, предварительно продпфференцированное по времени, получим следующее уравнение: д, Т з+ 4св(! — 2(Р'+е)()а+ 2е) — ) "Р'1 Ти — — О. (2.10) В зависимости от того, положительный илн отрицательный знак имеет величина, стоящая в квадратных скобках уравнения (2.10), изменение касательного напряжения Тп будет иметь вид тригонометрического или гиперболического синуса от времени.
Предоставляя читателю детальное обсуждение этих случаев, рассмотрим только частный случай 1' = р' = О, т'= '/я, при котором выражение в квадратных скобках в формуле (2.10) обращается в нуль. Тогда из уравнений (2.9) и (2.10) получим компоненты напряжений Тн= 4рсМ Т =Т = О, (2.11) Тп — — 2рст, Т,з — — Тр.— — О. Рассмотрим направленные материальные линейные элементы, имеющие в момент времени Г = 0 положительные направления х, н хв. В некоторый момент времени г первоначально образованный этими элементами прямой угол уменьшится на величину (2.1 2) 8 = агс !д 2сг, а ненулевые компоненты напряжений, согласно равенствам (2.11), примут внд Т, =р!изб, Т =р!нб. (2.13) 3.
Гипоупругие материалы в окрестности ненапряжениого состояния. Соотношения, установленные в предыдущем пункте, значительно упростятся, если мы ограничимся рассмотрением окрестности ненапряженного состояния. Для изотропного линейного гнпоупругого материала тензор Сиге в общем случае представляет собой линейную комбинацию тензоров (2.4); некоторые коэффициенты, входящие в эту комбинацию, могут еще зависеть от следа Тпы Однако в не- напряженном состоянии при Т, = 0 только первые два тен- 8. Окрестность яеиояряясеяяоео еоеюяяия 195 вора (2.4) отличны от нуля н нх коэффнцненты должны быть константами. Поэтому тензор С,у„, должен иметь внд (2.3), где ) и р — характеристические константы материала.
Далее. согласно формулам (!.1) и (1.8), скорость изменения напряжений при Т,у — — 0 определяется равенством Т)у = дот<у. (3.1) Тогда для однородного ненапряженного состояния определяющее уравнение (2.1) принимает внд доТ,у —— ) Уевши<у+ 2<ьУ<у. (3.2) Таким образом, бесконечно малым перемещениям аи,(х)= = о,(х)Н из однородного ненапряженного состояния соответствуют бесконечно малые напряжения ат» = д,т» а< =).а(У„8<У+ 2р а(У„. (з.з) В этом равенстве выражение а(У<у — — У» М = д<<о а1 = д<,аиу> (3.4) представляет собой бесконечно малую деформацию, соответствующую смещениям аи, (х).
Механнческнй смысл составляющих НУ, =У< Н следует непосредственно из интерпретации механического смысла составляющих У,у. Компоненты НУп, НУтг, а(Узз называются относительными удлинениями. Например, составляющая НУп равна отношению удлинения материального элемента, параллельного оси хн к его первоначальной длине. Компоненты а(У<г, НУ,з, НУгз называются сдвигами. Например, составляющая а(у<т равна половине уменьшения первоначально прямого угла между материальными линейными элементами, направленными по положительным осям х, и хг.
Как ум<е было выяснено в связн с соотношением (4.12) гл. Ш, скорость объемного расширения Ууу представляет собой скорость возрастания объема материального элемента непрерывной среды. Соответственно НУ» = УууН представляет собой отношение увеличения объема к первоначальному объему материального элемента; это отношение называется объемным расширением. По практическим причинам деформации, которые допустимы в конструкциях н машинах, обычно весьма малы.
13* !96 Гл. ПУ. Гипиупругие материалы Уг! — — д !ги!!. (3.5) а соответствующее напряженное состояние, по аналогии с формулой (З.З), выразится следующим обрааом: у!)=) Уеейг!+ 2Р Угу (3.6) Линейное соотношение (3.6) между напряжениями и деформациями навывается законом Гуна, хотя Гук') рассматривал только частный случай одноосного напряженного состояния. Постоянные ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
