В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 35
Текст из файла (страница 35)
10) Р и обозначим дезиатор этого тензора через Ац. Тогда по аналогии с формулами (3.1) и (3.2) гл. Н получим соотно- шение Гл. Уl!Д Гилоуаругие материалы наше подинтегральное выражение всюду в объеме У должно обращаться в нуль, т. е. поля деформаций для обоих решений должны совпадать друг с другом. Вследствие конечности )„из закона Гука (3.6) следует совпадение полей напряжений.
Если же поля перемещений различны, то их разность и*,— и, должна представлять собой перемещение твердого тела. так как в противном случае не могли бы совпасть деформации Ут и (Ут7 (см. рассуждения в конце д. 3 гл. П!). Если краевые условия содержат только напряжения, то поле смещений определено с точностью до поля, соответствующего бесконечно малому движению твердого тела.
Однако наложение такого поля в общем случае невозможно. если граничные условия содержат также и смещения; в последнем случае поле смещений будет вполне однозначно. Заметим далее. что подинтегральное выражение в уравнении (4.5) является скалярным произведением величин ~ее аяте * ег т1" — т1" и иг — ит и поэтомУ не зависит от выбоРа направлений осей координат.
Следовательно, не нарушая правильности нашего доказательства единственности решения, мы можем отнести напряжения и смещения в каждой точке поверхности к любой, координатной системе, заданной в этой точке. Можно задать, например, нормальную составляющую напряжения на поверхности и тангенциальные составляющие смещения. Первый вид основных уравнений статики упругого тела мы получим, заметив, что уравнение (4.3) справедливо для любого элемента объема 'тела.
Эти уравнения имеют вид рд11и, + (Х+ р) дыи1+ рКг — — О. (4.13) е. е;„),,и„=б, (4.14) Компоненты приведенного векторного уравнения образуют систему трех линейных уравнений в частных производных для компонент смещений иг Чтобы вывести систему дифференциальных уравнений в частных производных для компонент напряжений, будем исходить из условия совместности для бесконечно малых деформаций. которое, по аналогии с формулой (3.15) гл. 111, имеет вид 4. Огнагнме уравнения ггапгни улругаго гела 203 Если затем мы выразим деформацни через напряжения при помощи соотношения (3.7) н используем третье уравнение (6.5) гл.
1, то получим соотношение Х е, г1„др,Тг,+ зх+2 (ООТ вЂ” йд1др Т ) =О. (4.15) Компоненты этого снмметрнчного тензорного уравнения второго порядка образуют снстему шести лннейных уравнений в частных производных для компонент симметричного тензора напряжений. Поля напряжений. определяемые с нспользованнем полей перемещений по формулам (3.5)' н (3.7). должны удовлетворять шести уравнениям (4.15). Разумеется, поле напряженна должно.
кроме того. подчиняться трем условиям равновесия (2.7) гл. И. Уравнения (4.15) можно рассматривать как условия совместности для компонент напряжений. Систему таких условий, удобную для применения, можно получить следующим образом«Умножим соотношение (4.14) на величину еш г1ы, затем воспользуемся третьим уравнением системы (6.5) гл. 1 н, положив рл = п, получим уравнение д Удг+ дддУ вЂ” дд„,(7, — д,, («' „= О. (4.! 6) 2(Л+и) д Тд,+ 3!+2 дыТ вЂ” 31+2 д „Тддйдг+ р(ддКд+ ддКд) = О.
(4. 17) При 1=1 равенство (4.17) дает соотношенне между величинами д Т„„н даК . Еслн это соотношение мы подставим в третий член равенства (4.17), то получим уравнение д Тдг+ 31+ 2 — дыТ + р (ддКд+дКд)+ 2(А+и) А + д .2„рддКнйдг=б (4 18) Выразив в уравнении (4.16) деформации через напряжения по формуле (3.7) н заменив. например, величину д Т согласно формуле (2.7) гл. 11, велнчнной — рддКп получим равенство 204 Гл. !ЧП. Гииозирйгиг материалы Кроме этих уравнений. обычно называемых уравнениями Бельтрами !) — Мичелла з), компоненты напряжений должны еще удовлетворять условиям равновесия (2.7) гл.
1!. В ваключение отметим следующий частный случай. Пусть массовые силы отсутствуют. Если возьмем производную от уравнения (4.13) по хп то обнаружим, что объемное расширение дгиг является гармонической функцией координат. Имея это в виду и взяв вторую производную от уравнения (4.13) по хю заметим, что каждая составляющая смещения является бигармонической функцией координат. Аналогичным образом из уравнения (4.1 8) следует, что при отсутствии массовых сил среднее нормальное напряжение Тн(3 представляет собой гармоническую функцию координат, а каждая составляющая напряжений †бигармоническ функцию координат. 6. Кручение цилиндрических стержней. В качестве примера решения вадачи статики упругого тела рассмотрим кручение цилиндрического стержня произвольного односвязного поперечного сечения.
Пусть в начальном ненапряженном состоянии образующие боковой поверхности цилиндра параллельны оси хз, а торцевые поверхности лежат в плоскости хз = О и соответственно ха=1. Пусть на поверхности стержня составляющие напряжений и смещений заданы следующим образом: на цилиндрической поверхности все три составляющие поверхностных усилий обращаются в нуль; а на торцах равна нулю только составляющая Т„. Далее, пусть в сечении ха= О составляющие смещений и, и ат равны нулю, а в сечении хз — — 1 эти составляющие имеют значения и, = — 8(хг и из=8!хм где 8 — бесконечно малая постоянная. Так как эти граничные условия не содержат сведений относительно значений из на концевых поперечных сечениях, то вполне возможно, что в деформированном состояний стержня эти сечения не останутся плоскими.
Если осевые смеШения из положить равными нулю, то из граничных условий для величин и, н и следует, что поперечное сечение лз —— О должно оставаться в покое, а сечение хз= 1 ') В е ! ! г а пг ! Е., ЯепЛгопн Ас. 1гпгег (5), 1 (1892), 141. а) М'! с в е !'1 д Н., Ргог. ьоппоп МаГд. 3ог., 8! (1899 — 1900), 100. й Кручение цилиндрических стержней которые удовлетворяют граничным условиям для величин и н иг на концевых сечениях. Функция р(хо хг). которую нужно определить, характеризует идентнчное искривление (депланацию) всех поперечных сечений. Согласно формуле (3.5), деформацнн, соответствующие смещениям (5.1).
имеют внд им=и„=и =о. и„=о, 1 1 (5.2) 2 (дР Вхг)' ию 2 (д~р+ Вх')' ~ Закон Гука (3.6) позволяет получить следующие компоненты напряжений: Тн=т =Т =О, (5.3) Т„= р (д,р — Вх,), =о, Таа = р (дг р + Вх,). ') Зз!и! че пав! В., матэ!гее ргазенгез раг йгтеге затая!в а ГАс. 3с! та!6. е! раув., 14 (1856), 233. должно поворачиваться против часовой стрелки вокруг осн ха, причем бесконечно малый угол поворота равен 61.
Величина В называется относительным углом закручивания. Приведенная краевая задача принадлежит; очевидно, к виду, рассмотренному в п. 4. Если ее решение существует, то поля напряжений н деформаций вообще будут единственными. Однако поскольку граничные условия для перемеще ний не содержат составляющую и, то поле перемещений определяется только с точностью до переноса в направлении ха. Как указал впервые Сен-Венан'). краевые аадачн этого вида часто. удается решить следующим образом. Задаются выражения для смешений, которые удовлетворяют соответствующим граничным условиям для смещений, хотя н содержат достаточное количество произвольных функций координат.
Используя основные уравнения теории упругости, втн функции пытаются определить такам образом, чтобы удовлетворялись все граничные условия задачи. В аадаче о кручении можно, например, задать для составляющих перемещения следующие выражения: и, = — Вхгха, и! = Вх,хг. иг= <р(хг, хД, (5.1) 2бб Гл. »'»П, Галоулруеие материалы Как видно из формул (5.3), граничные условия для составляющих напряжений Тзз на концах ха=О и ха=1 удовлетворяются. Третья составляющая»з вектора внешней нормали», к цилиндрической поверхности равна нулю. Согласно формулам (5.3), равны нулю первая и вторая составляющие поверхностных усилий Т~ч=,Т, в любой точке этой поверхности. а третья составляющая будет также равна йулю, если выполнено условие »гд1 у+»здзу = — 0 (хг»а — хз»,).
Левая часть условия (5.4) представляет собой производную ду/д» функции у(хн хз) по направлению внешней нормали к границе произвольного поперечного сечения. Условие отсутствия напряжений на цилиндрической поверхности стержня будет выполнено, если функция деилакации у(хохД выбрана таким образом, что ее производная по нормали принимает на контуре поперечного сечения значения, заданные формулой (5.4). Теперь нам нужно установить; можно ли удовлетворить основным уравнениям статики упругого тела (4.13) путем выбора функции депланацин при одновременном удовлетворении граничного условия (5.4).
Так как мы пренебрегаем массовыми силами и так как из формулы (5.2) следует равенство нулю объемного расширения д,ин то уравнения (4.13) показывают, что для задачи о кручении каждая составляющая смещения должна быть гармонической функцией координат. В силу формулы (5.1), это условие уже выполнено для величин и, н и и приводит к уравнению дур= О (5.5) для функции депланации. причем подчеркнутые индексы принимают значения 1 и 2. Таким образом, функция депланацин <р(хн хД должна быть гармонической во всей области поперечного сечения, а ее нормальная производная на контуре поперечного сечения должна принимать значения, заданные равенством (5.4).
-Как нввестно. эта краевая задача типа задачи Неймана допускает решение, если интеграл от нормальной проивводной дед», взятый по контуру рассматриваемой области, обращается в нуль. Предоставляем читателю показать, что это условие выполняется. Итак. с точностью до алдитивной Д Кручение цилиндрических стержней постоянной, решение задачи Неймана будет единственным, т. е. поле смешений (5.1) определится однозначно с точностью до осевого переноса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
