В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 30
Текст из файла (страница 30)
21, а линией ВСС'В'. Поэтому для не слишком больших положительных значений х, из формулы (2.7) получим соотношение до= — ~Ь вЂ” 2х — 2 — ). с l Кт 2и 1 (2.12) Это соотношение не удовлетворяется там, где д,о=О, т. е. при х,=х,= — — —. ' (2.13) Интегрируя соотношение (2.12) при начальном условии о(0)=0, мы получаем следующее распределение скоростей: о= — ~х,(Ь вЂ” х,) — 2 — х,~ для 0~(х ~(х. (2.14) К 2н с 1 г Если координата х, превысит' величину хн то значение касательного напряжения (2.7) станет ниже предела текучести К; в котором и вависит только от хг Интегрируя это уравнение, найдем следующее распределение скоростей (рис. 21, б): о= — х,(Ь вЂ” х,), 2и (2. 10) 8. Уравнения аогранинного слоя 173 тогда вязко-пластический материал будет двигаться как твердое тело со скоростью о = — хзп (2.
15) 2р. и Это зизчекие скорости получается иа формулы (2.14) при -х, = хг По условиям симметрии этот жесткий слой простирается только иа величину х, =Ь вЂ” х,. На рис. 21, в представлено типичное распределение скоростей, соответствующее тому же коэффициенту вязкости и тому же градиенту давления. что и распределение, представлеииое иа рис. 21, б.
Средняя скорость движения вязко-пластического материала определяется соотношением ,=ф(~ — ф) ( + — "„). (2П6) При К= О соотношение (2.16) переходит в формулу (2.11). При К+ О средняя скорость (2.16) уже пе будет пропорциоиальиа градиенту давления. Соотиошеиие (2.16) справедливо только для тех значений. градиента давления, для которых выражение, стоящее в первой скобке, положительно, т.
е. для с > 2К/а; для с < 2К/Ь течение ие существует. 3. Уравнения пограиичпого слоя. В этом пункте излагается теория пограничного слоя для вязко-пластического материала, развитая Олдройдом '). Для простоты ограничимся рассмотрением плоских установившихся течениЯ при отсутствии массовых сил. Ход рассуждений близок тому, который был использован в п.
3 гл. Ч1, Помимо числа Рейиольдса Ве= — ' (3.1) которое характеризует отиошение кииетическоя энергии и эиергии вязкой диссипации, мы вводим еще одно характеристическое число, которое позволяет сопоставить пластическую и вязкую диссипации. Это число иазваио в честь Биигама В1 '); оио определяется следующим образом: В! = —. КЬ ри' (3.2) ') О!агоуй А О., Ргос. Сатагигбе Раков. Бос., 43(194У),383. ') См. Праге р В., Коиечиме пластические деформации, сб. реологиа, ИЛ, М., 1962.
!74 Гл. Узй Вязко-ллаетиееек. и идеально-ллаетичеек материалы В аависимости от относительного порядка величин зтих характеристических чисел могут возникнуть пограничные слои различного типа. Для их совместного рассмотрения введем безразмерные независимые и зависимые переменные Ф «3 Е' З ей (3.3) Р ° Р— Ро Ре оф и ' е1Г' где з представляет собой малую положительную' величину, точная зависимость которой от чисел Ке и В! пока остается неопределенной.
То обстоятельство, что в определение безразмерных переменных хя и о' введена одна и та же величина е, связано с тем, чтобы уравнение неразрывности в безравмерных переменных имело такой же вид. как и в п. 3 гл. Ч1. а именно (3.4) Вопрос о выборе характерного давления р„в равенстве (3.3) будет рассмотрен ниже. Прежде чем выписать уравнения движения в безразмерной форме, выразим величины У~ и У*<и в безразмерных переменных.
Из уравнения (3.4) следует равенство д*о.' = — д',о,г Поэтому компоненты У, не обращающиеся тождественно в нуль, выражаются в следующем виде: 2д;о', У„=-'— — 'а* " то~+а зоз 1 — 2д*о* 1 1 1 кГ = — — до 2е Е (3.5) дзо 2з —,, й ° Ф о1из 1+ зз —,„ дявз Ф д,вз 1+ вз —,, дев, д1оз — 2е— ° е дзи 8. Уравнения пограничного алая 175 Таким образом, с точностью до членов высшего порядка относительно е получим следующие соотношения: 1 'еел(и = — У/гУ/а = 2 / ° Ф з Ф ° ( дао( дзо( (3.6) (3.7) 1 — 2ег д|о, 2е —,, дзо( /3 рр'а (з( зяп д'о(.
(3.8) 1 — 2зз д(о( — 2е —,„ дзо, Теперь можно записать безразмерные уравнения движения для установившегося плоского течения. Если предположить, что величина дзо( всюду в пограничном слое положительна и пренебречь членамн высшего порядка относительно е, то из соотношения (2.2) получим следующие уравнения: е~ (се (о(д(о(+ оздао() = — з Р' д(р*+ дюо1+ + 2е В( д~ —,, — д~ —... (3.9) ч ° ' 0= — е — дар'+е джор — 2з В! 33~ — ) ° (3 10) — — ','и д*о' з ( В этих уравнениях все инерционные эффекты представлены левой частью формулы (3.9), а вязкие эффекты — вторыми членами в правых частях формул. Первые члены в правых частях уравнений (3.9) и (3.10) отражают действие давления, а последние члены — пластические эффекты.
Уравнения написаны таким образом, что члены, отражающие действие давления, имеют одинаковые коэффициенты. При е, стремящемся к нулю, эти уравнения будут содержать, кроме члена в формуле (3.9), и другие члены, 116 Гл. Лг. Вязка-плаетическ. и идеально-пластическ. материалы выражающие влияние вязкости. лишь в том случае. когда числа Ее и В1 стремятся к бесконечности. Обсудим теперь два предположения об относительном порядке величин этих характеристических чисел.
В обоих случаях мы выберем характерное давление' ре таким образом, чтобы в уравнениях (3.9) и (3.10) сохранились члены, учитывающие влияние давления. 1) Если В1 а~~ Ее ', то можно пренебречь членами, учитывающими влияние пластичности. В этом случае малую ве'л личину е следует отождествить с величиной Ее ', а характерное давление выбрать в виде ре= рЖ Тогда общий коэффициент при членах, учитывающих влияние давления, станет равным единице, ее йе = 1.
Полученные таким образом уравнения вязкого пограничного слоя уже были рассмотрены в п. 3 гл. Ч1. Соответствующее внешнее течение определится уравнениями, которые получатся иэ формул (2.2), если при этом ограничиться рассмотрением плоского установившегося движения и отбросить члены, учитывающие влияние Вязкости и пластичности. Разумеется, в этом случае мы придем к уравнениям плоского установившегося течения идеальной жидкости. 2) Если Ее((В1л то в уравнении (3.9) можно пренебречь инерционным членом. Тогда малую величину е можно отождествить с величиной В! ~', а .характерное давление принять равным еК, так что общий коэффициент,при членах, учитывающих влияние давления, можно записать в виде ггВ1=1. То обстоятельство, что в формулу для характерного давления входит величина е, кажется на первый взгляд неожиданным.
Однако фактически условия, наложенные на порядки величин ((е и В1, требуют не только очень малого значения вязкости р, но также н очень больших значений предела текучести К. Вследствие этого равность давлений, возникающая в течении, должна быть скорее порядка еК, чем порядка К. Если записать полученные таким образом уравнения пластического пограничного слоя в исходных, не отмеченных звеадочками, переменных, то при дго, ) 0 получим соотношения д,Р=Рдгго,+2К(д,(3а') — дг(~ ) 1, (3.11) 4.~Плоское иеостичесиое течение Соответствующее внешнее течение определяется уравнениями, которые получатся иэ формул (2.2), если при этом ограничиться рассмотрением папского установившегося движения и отбросить члены, учитывающие влияние вявкости и инерции. Эти уравнения записываются в виде ~5» д»р = Кду — ' (3. 13) (э1 где подчеркнутые индексы принимают значения 1 и 2.
Всли рассмач риваемое установившееся плоское течение прямолинейно и параллельно направлению хп то из уравнения неразрывности следует равенство др, = О. Легко установить, что уравнения (3.11) и (3.12) пограничного слоя з этом случае совпадают с точными уравнениями движения. Поэтому для течения, представленного на рис. 21, в слои, заключенные между жестким средним слоем и степками, можно рассматривать как пластические пограничные слои. Другие примеры пластических пограничных слоев рассмотрены в цитированной в начале етого пункта работе Олдройда.
Обратимся теперь к рассмотрению уравнения (3.13) для внешнего течения. 4. Плоское пластическое течение. Уравнение (3.13) было получено из уравнений плоского установившегося течения вязко-пластического материала путем отбрасывания инерционных н вявких членов. Следовательно, уравнение (3.13) описывает кваэистатические плоские течения идеально-пластических материалов. Поскольку массовые силы не принимаются во внимание, то уравнение (3.13) получится из уравнения равновесия (2.7) гл. П, если.
согласно формуле (1.8), представить тензор напряжений следующим образом: УΠ— рй, +К вЂ” „. Для рассматриваемого здесь плоского течения среднее давление р не зависит от хз и матрица скоростей деформаций имеет внд (4. 2) 12 в. нр ер 178 Гя. тП. Вязко-ляастичсск. и идеально-пласт)снеек матсрялям который свидетельствует о несжнмаемости материала.
Величины а и р подчинены условию совместности, которое следует из соотношения (3.19) гл. 1П, а именно условию — дна+ дата — 2днр = О. (4.3) Подставляя формулу (4.2) в соотношение (4.1), получаем для тензора напряжений следующее выражение: Ка - КР (и 1 Вь)ш (*+в' КВ Ка ("+В)ьь (ай+ рь)ьч О О Тц- . (4.4) При выполнении условий В = — соз 2В (4.3) (аь ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
