В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В частности, при'достаточно больших значениях числа Рейнольдса поток будет практически безвихревым вне тонкого слоя, прилегающего к цилиндру и продолжающегося вдоль упомянутой полуплоскости. Во енешнем безеихрееолг патоне вязкость не играет существенной роли, и поэтому при его изучении можно пользоваться уравнениями идеальной жидкости. Однако при исследовании тонкого пограничного слоя, в котором вихрь не равен нулю, нужно пользоваться уравнениями Навье — Стокса. В пограничном слое линии тока практически параллельны границе поперечного сечения цилиндра, а величина скорости быстро возрастает от нулевого значения на поверхности цилиндра до величины скорости внешнего потока.
Вследствие этого факта. возможны некоторые упрощения в уравнениях Навье — Стокса для пограничного слоя, которые делают этн уравнения доступными для математической обработки. Возможность раздельного исследования внешнего потока и пограничного слоя и получающиеся упрощения уравнений Навье — Стокса для пограничного слоя впервые были указаны Прандтлем '). Прежде чем заняться теорией пограничного слоя, научим несколько точных решений уравнений Навье — Стокса. При отыскании таких решений ограничимся рассмотрением прялголинейнмх течений, которые при соответствующем выборе системы координат можно представить в виде о, = оз =- О, пз = о(хн х, !). (2.9) Тогда уравнение неразрывности (2.!) удовлетворяется тождественно, а из первых двух компонент векторного уравнения движения (2.2) получаем, что давление не вависнт от координат х, н хз.
Третья компонента уравнения (2.2) упрощается и принимает вид дзо = — — дар+ — д! !о, 1 (2. 10) Р Р ') Р! а и 4 !! 1... Чегйзпй!дя. Ш !я!егяз!. Ма!Ь. Копйтезз (Не!. йе!Ьегя, 1904), $.е!рг!я, 1905, р. 484. 2 Точнмв решения где подчеркнутые индексы прнннмают значения 1 н 2. Так как скорость и не зависит от координаты х . то нз уравнения (2.10) следует, что н величина дзр не зависят от координаты хз.
Но поскольку выше уже было установлено, что давление р не вависит от коордннат хг н хг, то в уравнении (2.10) можем положить дар = У (г). гле у(1) называется градиентом давления прямолинейного потока. В частности„ если градиент давления равен нулю, то уравнение (2.10) принимает внд двумерного уравнения теплопроводности, решениям — которого можно, следовательно. дать гндродннамнческую интерпретацию путем использования рассматриваемых вдесь прямолннейных потоков.
В качестве примера рассмотрим колебания жидкости, ваполняющей полупространство х,) О, которые вызываются гармоническими колебаниями граничной стенки х, = 0 в направлении осн х . Соответствующая термическая задача относится к температурным флуктуациям, вызываемым в полу- пространстве периоднческимн изменениями температуры граничной поверхности.
Решение этой задачи хорошо известно'). Перенося это решение на рассматриваемый случай вязкой жидкости, получаем соотношение о(хн 1)=осе-Я соз(м1 — ах,), (2.12) где аг = мр/(2Р), и — амплитуда изменения скорости, м — круговая частота колебаний стенки. Согласно формуле (2.12). каждый слой х, = сопз! жидкости колеблется гармонически с той же частотой м, но с амплитудой, равной и е-я», и сдвигом фаз — ах,. Слои, расположенные друг от друга на расстоянии ) = 2к/а, имеют одинаковые фазы. поэтбму указанное расстояние можно интерпретировать как длину волны.
Вследствие бесконечной протяженности жндкости, единственная характерная длина ') См., например, Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, часть вторая, (>НТИ, М., 1937, стр. 656. 152 Гд 'гй йлэкае ягидкосги в этой задаче задается отношением ое/м. Поэтому. число Рейнольдса (1.16) определяется здесь выражением г"о 3 Ке= —.
чн (2.13) Таким образом, безразмерная длина волны Х'= — =2я — =2я1/ — . (2.14) вв эоа г йе обратно пропорциональна квадратному корню нз числа Рейноиьдса. В качестве второго примера рассмотрим бееконечный слой жидкостн, заключенный между стенками х, = О н х, = й. В начальный момент стенки и жидкость находятся в покое. Пусть в момент 1 = О первой стенке внезапно сообщается постоянная скорость оз в направлении хз, в то время как вторая стенка остается в покое,.
Соответствующая термическая задача относится к первоначально изотермнческому слою, одна из поверхностей которого внезапно подвергается действию высокой температуры, которая в дальнейшем остается постоянной, а другая поверхность поддерживается при начальной температуре. Предоставим читателю перенести известное решение этой задачи теплопроводностн на задачу о потоке жидкости. Прн измерения вявкостн по методу Куэтта используется тонкий слой жидкости, заключенный между двумя сооснымн цилиндрами; прн этом внешний цилиндр вращается с фиксированной угловой скоростью вокруг общей осн, в то время как внутренннй цилиндр остается в покое, При достаточно малой величине отношения толщины слоя к среднему радиусу его кривизны рассмотренное выше течение аппроксимирует течение, устанавливающееся в вискознметре Куэтта. Разумеется, для опыта Куэтта не так важен поток в начальный период движения, как то асимптотнчески устанавливающееся течение, которОе н позволяет определить вязкость жндкости путем соответствующих измерений.
Для рассмотренного выше течения жидкости между параллельными стенками термическая аналогия показывает, что асимптотнчески устанавливающаяся скорость будет умеььшаться по линейному закону от значения о=о при х1 — — О до о=О при х=Ь, 2. Точные ряжения Другие точные решения вида (2.9) получаются для установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в нилиндрической трубе произвольного поперечного сечения.
В этом случае в уравнении (2.1 0) левая часть обращается в нуль, но для сохранения установившегося течения необходим постоянный градиент давления у (!)= с. Таким образом, уравнение (2,10) принимает вид д,ув = — с/р и решается при граничном условии о=0 на контуре поперечного сечения трубы. Если же нз-за формы поперечного сечения трубы эта задача не поддается аналитической трактовке, то ее,решение можно сделать наглядным при помощи сравнения с мыльной пленкой, применяемого также в других областях. Пусть тонкая мембрана. например мыльная пленка, натянута на отверстие, имеющее форму поперечного сечения трубы, и пусть равные друг другу главные напряжения в плоскости мембраны имеют величину Т.
Если затем к этой мембране приложено одностороннее равномерно распределенное давление р„ которое мало по сравнению с напряжением Т, то малые относительные прогибы и такой мембраны будут удовлетворять уравнению (2.15), если начальную плоскость мембраны принять за плоскость лн лт и отношение с/!г заменить отношением р/(Т8), где 8 в постоянная толщина мембраны. В частности, при круговом поперечном сечении трубы радиуса /с скорость о на расстоянии г от оси трубы определяется уравнением о (г) = — ()са — г') 4н (2.
! 6) которое обычно называют уравнением Пуазейля '). Средняь скорость в поперечном сечении трубы выражается в виде 1 г с!!' о = — ~ 2яго(г) а'г= о=„у 8н о В гидравлике принято пользоваться безразмерным давлением, равным отношению давления к скоростному напору ') Ро!зев!!1е А !.. М., Сотр~еа КеМ„!1 (1840),961, 1041! 12 (1841), 112 Гл. И. Мягкие жидкости ро~~/2, и безразмерной длиной, равной отношению линейного размера к диаметру трубы В= 2Я.
Безразмерный градиент давления обозначается обычно через Л и навывается коэффициентом сопротивления трубы. Таким обравом. получим равенство Л= —. 2сВ г Рио (2.18) Число Рейнольдса для течения в трубе определяется соотношением (2.19) Исключив величину с нз соотношений (2.17) н (2.18) и принимая во внимание соотношение (2.19), находим формулу Л = 64/ке.
(2.20) 3. Несжимаемая жидкость. Уравнения пограничного слоя. Чтобы проиллюстрировать, какие математические упрощения можно сделать в уравнениях Навье — Стокса для пограничного слоя, рассмотрим плоское установившееся течение несжимаемой жидкости малой вязкости вдоль бесконечно тонкой плоской пластины (рис. 19), след которой в плоскости потока хз = 0 расположен вдоль оси х, от х, = 0 до х, = С. Пусть при х, -ь — оо поле скоростей вадается соотношениями о =У, ог=О. (3.1) Эта формула прекрасно согласуется с экспериментальными данными до тех пор. пока число Рейнольдса не превосходит критического значения, равного приблизительно 2000.
Как впервые докааал Рейнольдс, при числах Рейнольдса, превышающих критическое значение, поток перестает быть ламинарным, определяемым соотношениями (2.9). а становится уже потоком турбулентного типа, т. е. на среднее прямолинейное течение налагаются нерегулярные турбулентные флуктуации компонент скорости во времени и пространстве. Как было показано в п.
2, гл. 1Ч, влияние этих флуктуаций на среднее течение можно учесть путем введения дополнительных турбулентных напряжений. Из-ва наличия этих дополнительных напряжений среднее движение перестает удовлетворять приведенным выше уравнениям. д уравнения яограничного слоя В идеальной жидкости. частицы которой могут свободно скольаить по пластине. компоненты скорости имели бы всюду значения (3.1), в вязкой же жидкости частицы, соприкасаю- щиеся с пластиной, прилипают к ией.
Из термической аиа- логии. рассмотренной в связи с рис. 18, следует, что при малой вязкости, т. е. при больших числах Рейиольдса. это условие прилипаиия оказывает влияиие только иа течение в тонком рс т ~г пограничном слое, вие которого поле скоростей будет безвихревым, как и в идеальной жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
