В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 23
Текст из файла (страница 23)
тогда как в общем случае решение дифференциального уравнения (3.20) чрезвычайно осложняется вследствие того. что поле течения состоит из дозвуковых и сверхзвуковых областей, границы которых заранее неизвестны. Теперь рассмотрим случай безвихревого течения несжимаемой и однородной жидкости. Тогда дивергенция поля скоростей такого течения тождественно равна нулю и потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа Ьр=о. (3.25) В п. 3 гл. Ш было показано. что иа единственного условия равенства нулю дивергенции вихревого поля следует, что вектор вихря, в соответствии с формулой (3.7) гл. И1, можно представить как векторное произведение градиентов двух скалярных полей, поверхности уровня которых образованы д Беввиеревве течение 131 вихревыми линиями. Аналогично для рассматриваемой здесь задачи из условия б!т ч = 0 следует, что вектор скорости может быть представлен в виде ч = йтаб ф = игад ф Х 8таб Х, (3.26) Рис.
!6 где'6 — угол, показанный на рис. 16. С другой стороны, согласно формуле (3.26), модуль скорости в точке А определяется равенством о= !8тад ф ( ~дгаб Х~ з!п 6, (3.28) где величины !8тапф! — +, ~дгадХ)= — „т (329) в'ф вХ представляют собой модули градиентов функций ф и в точке А. Из соотношений (3.27), (3.28) и (3.29) получим равенство Рв е(о = Р «ф пХ. (3.30) Левая часть равенства (3.30) определяет массу, протекающую в елиницу' времени через поперечное сечение йв причем поверхности уровня скалярных полей ф(к) и Х(к) образованы линиями тока.
В п. 3 гл. !П было доказано, что существует значительная свобода выбора этих поверхностей тока. /4'1~ Пусть плоскость рис. 16 / / перпендикулярна к вектору ско- Х рости в точке А и пусть кривые, обозначенные через ф и Х, пред/ / стазляют собой следы в плоско- / сти рисунка поверхностей тока. проходящих через точку А, а кривые, обозначенные через / ф+ Фф н Х+ ИХ вЂ” следы со- ' /' ) - !/'4)е седних поверхностей тока. Рас- /а стояния последних поверхностей У от точки А обозначим через ЫР и ~!» соответственно.
Тогда площадь поперечного сечения трубки, ограниченной четырьмя поверхностями тока, выразится в виде с(о=пРЬ!з!пв, (3.27) Гл. 1'. Идеальные ясидкосги рассматриваемой трубки тока, и называется потоком массы в трубке тока. Если для любых двух соседних поверхностей тока ф=сопз1 и соответственно )(= сопз1 разности дф и соответственно бу имеют одно и то же значение, то, согласно равенству (3.30), поток массы ео всех трубках тока, ограниченных парами соседних поэгрхкостей тока, одикакоэ. Разделим зги трубки тока поверхностями уровня потенциала скорости на ячейки таким образом, чтобы разность потенциала для каждых двух соседних поверхностей имела постоянную величину дф. Если обозначить длину такой ячейки в направлении потока через <Й, то мадуль скорости определится выражением о=~йтад ф~=Я При помощи равенств (3.30) и (3.31) кинетическую знергию, содержащуюся в такой ячейке, можно записать в виде ао2г'= 2 о(Роно)д),= 2 с(фбфа)(.
(3.32) Следовательно, рассматриваемые поверхности тока и потгнииалъкые поверхности делят поле течения на ячеаки, содержащие одинаковую кинетическую энергию. Наконец, на равенств (3.30)'и (3.31) получим соотношение а3 аф их (3.33) а1 гт Отсюда видно, что отношение площади поперечного сечения ячейки к ге длине имеет одинаковую величину для всех ячеек. Только что изложенные результаты.
так же как и геометрические результаты, которые излагались в п. 2, принадлежат Мизесу '). Применим зти результаты к случаю плоского установившегося потенциального течения несжимаемой жидкости. Для етого выберем ось хз в направлении, перпендикулярном к плоскости течения; так как плоскости хг=сопз1 являются ') М!з ее й., Т)ьеог!е йег Вагзеггайег, ).е1рг!й, 1908.
8. Беееихрееое течение плоскостями тока, то функцию )( можно взять в виде )(= ха. Н качестве второго семейства поверхностей тока можно рассмотреть цилиндры у(хп хз) =сопз1, имеющие своими направляющими линии тока, расположенные в характерной плоскости тока хз= О. а своими образующими — прямые параллельные осн хз. Покажем, что такой выбор является законным. Так кек вагаб у представляет собой единичный вектор в направлении хз, то равенство (3.26) принимает внд (3.34) о;=дев=в, д ф.
Следовательно. можно записать равенства -ог — — д1р= двт', оз — — дар= — д,ф. (3.35) Если эти соотношения рассматривать как дифференциальные уравнения в частных производных для величины у, то соответствующее условие интегрируемости приводит к уравнению Лапласа для величины р, которое удовлетВоряется в силу равенства (3.25). Функция ф(хн хв) называется функцией тока.
Прн заданной гармонической функции р(х,, хз) функция тока определяется соотношениями (3.35) с точностью до несущественной адаптивной постоянной. Как видно из равенства (3.34), цилиндры у=своза и ф=сопзг пересекаются под прямым углом. Так как образующие этих цилиндров перпендикулярны к плоскости )(= сопзй то рассматриваемые выше ячейки представляют собой теперь прямоугольные параллелепипеды. Поскольку (с()(( есть длина одной из сторон прямоугольного поперечного сечения а8, то из соотношения (3.33) следует, что при выборе йр= гйу линии тока и эквипотенциальные линии делят плоскость течения на бесконечно малые квадраты.
Если мы будем рассматривать потенциал скорости р и функцию тока у как прямоугольные декартовы координаты в плоскости потенциала, то эта сетка квадратов в плоскости течения и сетка квадратов в плоскости потенциала„ соответствующая тем же значениям в и .ф, определят конформное отображение одной из этих плоскостей на другую. Следовательно, колеилексный потенциал (3.36) Ф = р+ еу Гл.
'е'. Идеальные ясидеости представляет собой аналитическую функцию комплексного переменного х = х, + 1х . ' (3.37) Этот результат можно получить аналитически. ваметив, что соотношения между величинами р и ф, определенные равенствами (3.35), имеют вид уравнений Коши — Римана для действительной и мнимой частей аналитической функции комплексного переменного (3.37).
Эти уравнения получаются путем исключения функции Ф'=НФ/Иг из соотношений д,Ф=Ф'д1я=Ф'. дгФ=Ф'дгг=1Ф' (3.38) и отдельного приравнивания действительных и мнимых частей полученного равенства. Из первого уравнения (3.38) и соотношений (3.33) следует соотношение Ф' = др+ (д,ф = о, — 1ог. (3. 39) Отсюда находим, что комплексная снорослгь (3.40) 1ог есть производная комплексного потенциала (3.36) по комплексному переменному (3.37) и поэтому представляет собой аналитическую функцию этого переменного. Если величины о, н — ог выберем в качестве прямоугольных декартовых координат в плосносши годографа, то функция чв= Ф'(я) определит конформное отображение плоскости течения на плоскость годографа.
С другой стороны. функция Ф = Ф (я) определяет конформное отображение плоскости течения на плоскость потенциала, поэтому. произведя последовательно первое отображение и затем отображение, обратное второму. получим конформное отображение плоскости потенциала на плоскость годографа. Если соответствуюшая функция отображения Ф=чв(Ф) известна, то. проинтегрировав уравнение Ж= и'Ф (3.
41) которое следует из соотношения чв=ИФ/с(в, установим связь межлу величинами Ф и г. д Безеихрееое течение В качестве примера применения комплексного представления установившегося плоского течения несжимаемой жидкости рассмотрим истечение жидкости из верхней пблуилоскости х, ) 0 череэ шель — Ь ( х,( Ь, расположенную т- В1 т. У 1 С 1 Рис. 17 вдоль действительной оси симметрично относительно начала координат 1рнс.
17, а). При этом не будем учитывать силу тяжести, предполагая, что истечение происходит только вследствие ивбытка давления в верхней полуплоскостн. Пусть Гл. г'. Идеалькме хидкосги в полуплоскости ля ) О иа большом расстоянии от щели жидкость покоится при заданном давлении р', а в нижней полуплоскости вне струн жидкости давление имеет постоянную величину р", При отсутствии массовых сил уравнение Бернулли (3.12) для иесжимаемой жидкости имеет вид р+ роз/2 = сопз1.
Применив это уравнение к линии тока АВС (рис. 17, а), получим. что скорость вдоль границы струи постоянна и равна величине (3.42) На большом расстоянии от щели границы струи стремятся стать параллельными оси х,, а скорость иа всем поперечном сечении струи СР (рис. 17, а) будет параллельна оси хз и будет иметь постоянную величину, определяемую формулой (3.42). Следовательно, иа всей линии СР справедливы равенства о,=дзф=О, оз —— — д,ф= — оз, т. е. функция тока ф возрастает вдоль линии СР на величину 2аое, где 2а — асимптотическая ширина струи.
При заданном течении потенциал скорости и функция тока определяются с точностью до произвольной аддитивиой постоянной. Поэтому, ие нарушая общности, значение потенциала можно положить равным нулю з точке В, а также, вследствие симметрии потока относительно оси хю и в точке Е. Функцию тока вдоль линии тока АВС также приравняем нулю; Тогда из приведенных выше рассуждений следует. что на линии тока 0ЕЕ функция тока будет равна 2аоз.
Вдоль ветви линии тока ВА, уходящей в бесконечность. потеициал скорости неограниченно уменьшается, а вдоль ветви ВС неограниченно увеличивается. В плоскости потенциала поле течения отображается на полосу, ограниченную линиями ф = О и ф= 2аоз и изображенную иа рис. !7, б. С другой стороны, границы ВС и ЕР струи, иа которых скорость равна постояииой величине оз, отображаются в плоскости годографа на дуги В"С" и Е"Г" (рис. 17, а) окружиости радиуса ое с центром в начале коордииат. Прямые линии тока АВ и ВЕ, вдоль которых величина скорости возрастает от нуля до оз, соответствуют радиусам А"В" и О"Е" упомянутой окружности.
Таким образом, все поле течения отображается в плоскости годографа иа внутренность полукруга, представаенного на рис. 17, в. д Безеихрееое течение 137 Теперь нужно определить конформное отображение полосы в плоскости потенциала (рис. 17, б) на полукруг в плоскости годографа (рис. !7, а). Для этого отобразим сначала полосу плоскости Ф посредством функции Ф*=ехр( — — ) (3.43) (3.45) В самом деле, при ш = ре'х кругу радиуса р = пз, 0-(у (2к соответствует контур Ф'=сову разреза. С другой стороны, радиусу АнВ", заданному значениями 0 (р (оз, )( = О, соответствует часть А"'Вте положительной действительной оси плоскости Ф*, определенная значениями со) г) 1, 3 = О. Аналогично радиусу ВлЕе соответствует часть ее'"Е' Отрицательной действительной оси.
на нижнюю половину вспомогательной комплексной плоскости Ф'. В самом деле, прн Ф' =ге'е (см. рис. 17, г) нв равенства (3.43) получим соотношения г=ехр~ — т!, 3= —— (3.44) 2ива 1 ' 2иее Полоса плоскости Ф, в которой переменные р и у изменяются в пределах — со ( р ( оэ и О ( ф ( 2апе, соответствует, таким образом, нижней полуплоскости Ф', в которой переменные г и 9 изменяются в пределах О (г ( со и О ) 6) — к. В частности, точки В' и Е' плоскости потенциала соответствуют точкам Ф' = + 1, обозначенным на рнс. 17. г через Вте и Е"-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
