В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 19
Текст из файла (страница 19)
например, медленное пластическое течение испытуемого металлического образца. Хотя работа деформирующнх сил превращается в тепло, высокая теплопроводность металла предотвращает появление больших разностей температур. Любые температурные напряжения, которые могут возникнуть в образце, будут поэтому малы по сравнению с напряжениями, производимыми пластическим течением.
н ими можно пренебречь. Даже в том случае, когда игнорирование термомеханических аффектов менее обоснованно, чем в приведенном примере, часто приходится решаться на это, чтобы набежать слишком больших математических трудностей. Поэтому в дальнейшем не учитывается взаимодействие между механическими и термическими лроцессами, если особо не озоворено обратное. Математически это означает, что используется только уравнение неразрывности и уравнение движения, а уравнение энергии не рассматривается, причем поле температур, которое, например, будет влиять на поле плотностей, считается заданным из немеханических соображений. Скалярное уравнение (5.1) и три составляющих векторного уравнения (5.2) образуют систему четырех уравнений для десяти неизвестных функций координат и времени.
а именно: плотности р, трех компонент скорости оу и шести компонент напряжений Т~ь. Из сравнения числа уравнений с числом неизвестных видно, что нам необходимо еще шесть соотношений между упомянутыми неизвестнымн. Такие соот ношения можно найти, если учесть, что уравнение неразрывности (5.1) и уравнение движения (5.2) не содержат никаких данных о характерных механических свойствах рассматриваемой сплошной среды. Эти свойства описываются так называемым определяющим уравнением; оно представляет собой тензорное уравнение, устанавливающее свяаь между статическими и кинематическими величинами, 112 Га Л~. Основные законы В,качестве примера величин первого вида упомянем тензор напряжений и тензор скоростей изменения напряжений, который будет определен позднее.
В качестве примера величин второго вида назовем тензор скоростей деформаций и определяемый позднее тензор деформаций. Коэффициенты этого тензорного уравнения, вообще говоря, зависят от температуры. Однако эта зависимость не вводит новых неизвестных в наши уравнения, поскольку, как было упомянуто выше, предполагается, что поле температур задано. Остальную часть данного пункта посвятим обсуждению некоторых соображений, часто используемых при выводе определяющих уравнений. Так как применяемые рассуждения нетрудно использовать для получения соотношений между любыми двумя симметричными тензорамн второго ранга, будем здесь рассматривать только соотношения между тензором напряжений Т, и тензором скоростей деформаций )Г,Г Предполагая, что компоненты напряжений представляют собой линейные однородные функции компонент скоростей деформаций, запишем следующее уравнение: Т„= С„„,)Г,п (5.4) В этом уравнении коэффициенты С,1е, определяются свойствами среды, которые при известных условиях могут зависеть от температуры, но не зависят от напряжений и скоростей деформаций.
Из симметрии тензора напряжений следует равенство (5.5) . С1!И=сйю. Кроме того. вследствие симметрии тензора Уеп бев ограничения общности можно положить С, „,=Сбч (5. 6) Так как правая часть равенства (5.4) представляет симметричный тензор второго ранга Т,~ при любом выборе симметричного тензоРа Унп то коэффициенты С,)ап подчиненные Условиям симметрии (5.5) и (5.6). образуют тензор четвертого ранга. Вследствие общих условий симметрии (5.5) и (5.6).
этот теизор вместо 9)( 9=81 компоненты имеет самое большее 6)е,'6=36 различных компонент. Во многих случаях это число еще уменьшается благодаря спелиальныле условиям симметрии, отражающим структуру среды. Тзк. например, Из 5. Основные уравнения э случае поперечнод инилотропии сплошной среды существует такая ось, что тензор СОес имеет одинаковые компоненты во всех системах координат, которые получаются в результате вращения вокруг этой осн нли отражения относительно плоскости, содержащей эту ось илн перпендикулярную к ней. Наибольшее сокращение числа отличных друг от друга компонент получается для нзотропной сплошной среды.
Прн этом тензор С,ы имеет одинаковые компоненты в любой правой или левой прямоугольной декартовой системе координат. Тензор такого вида называется изотропным (см. задачу 1, 4.3). В силу нзотропнн единичного тензора 3,.~ следует, что тензоры четвертого ранга йцЬег и Ъ Ъ)г + йгсЬа (5.7) нзотропны н обладают .свойствами симметрии (5.5) н (5.6).
Покажем теперь, что любой нзотропный тензор четвертого, ранга. обладающий этимн свойствами симметрии, можно представнть как линейную комбинацию тензоров (5.7). Сначала ваметнм, что, вследствие произвольной нумерацнн осей координат, все компоненты, полученные из заданной компоненты путем перестановки индексов 1, 2, 3, должны иметь то же значение, что н исходная компонента. Так, например„ Сцю — — Сцзз — — Сшц —— Стш — — Сезц — — Савы, (5.3) Сгмв — — Сжж — — Смм — — Сазп — — Сзпп — — Сюю. Теперь рассмотрим преобразование х,'= — хн х'=ха, х'= хз, для которого коэффициенты с, равенства (2.4) гл. 1 имеют следующие вначения: сц= — 1, ею= с, =1 н с, =0 для ! чь /. Тогда нз общей формулы пр разования (5.6) гл.
1 следует, что для данного отражения относительно плоскости хм ха штрнхованные компоненты, содержащие индекс 1 нечетное число раз, равны н противоположны по знаку соответствующим нештрнхованныь) компонентам. Но так как, вследствие нзотропни, эти. компоненты должны быть равны, то приходим к заключению, что онн равны нулю. То же 8 в. прагеу 114 Гд /'г' Основные законы самое справедливо и для всех компонент, содержащих нечетное число раз индекс 2 или индекс 3. Так, например, С„„= С„„= С~„= 0. (5.9) В результате этого максимальное число отличных друг от друга компонент сведено к трем.
а именно Сцц-. Сцтл Сжж. Наконец, рассмотрим преобразование х' =(й, +г19 а, ) лц представляющее собой поворот вокруг оси хз на бесконечно малый угол дй. Формула преобразования (5.6) гл. ! при см — — 80+ ИО зм1 приводит к следующему соотношению: Р Срам — Срчж + ~10 [азглСыж+ ззыСлм~ + + ез,„С „+ ззмСр „1, (5.10) в котором не учтены члены более высокого порядка малости по сравнению с величиной М.
Если тензор С „ — изотропный, то С „,=С „ и поэтому выражение в фигурных скобках соотношения (5.10) должно равняться нулю. Это условие при р = 1, и= г= з= 2 приводит к равенству — С,+Сц +Спи +С,,=0. Учитывая формулу (5.6), приведенное равенство можно записать следующим образом: Сами —— Сцю+ 2С,я,з. (5.11) В результате число различных компоиент становится равным двум. Предоставим читателю убедиться в том, что другой выбор численного значения индексов р, д, г, г в формуле (5.10) либо дает то же самое соотношение между величинами трех типов компонент, либо приводит к тождественным соотношениям в силу условий симметрии и изотропии. Так как переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к любой другой такой же системе с тем же началом можно выполнить путем повторения бесконечно малых вращений вокруг координатных осей. сопровождаемых.
если это требуется, отражением относительно координатной плоскости, то соотношения (5.8), (5.9) и (5.11) представляют собой единственные условия, налагаемые изотропией среды на тензор Сбы. Поэтому можно построить схему компонент тензоРа Сыаг полагаЯ. напРимеР Сиза — — Х, С,жз —— Р и, следовательно, согласно (5.11), Саип — — Л + 2р. 115 6. Основные уравианял Сцы — — Л303аг+р(й,.айуг+йнйта).
(5.12) Используя это выражение для Сцен запишем определяющее уравнение (5.4) для случая изотропии в виде Т» — — ЛУаа30+ 2рУ0. (5. 13) Из формулы (5.13) в результате свертывания получаем соотношение Т„„=(ЗЛ+2р)Уаа, или, используя выражение для среднего нормального напряжения Т и средней скорости удлинения л' [см.
(3.1) гл. 11 и (1.20) гл. НЦ, находим равенство У=(3Л+2р) У. (5.14) Следовательно, между девиаторами Т0 и У~7 [см. (3.2) гл. 11 н (1.21) гл. ИЦ существует соотношение Р ТО = 2рУг). (5. 15) Шесть компонент тенэорного уравнения (5.13) и четыре уравнения (5.1) и (5.2) могли бы образовать систему десяти уравнений для перечисленных выше десяти неизвестных функций координат и времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
