В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Однако, к сожалению, уравнение (5.13) не может быть использовано для описания механического поведения вязкой жидкосгли, потому что в случае. когда жидкость находится а состоянии покоя, вместе с компонентамн Уы обратились бы в нуль также и компоненты тензора напряжений Тйе Между тем, для покоящейся жидкости предполагаются возможными поля напряжений вида. рассматриваемого в п. 6 гл. 11.
Поэтому в механике вязкой жидкости обычно принимают соотношение (5.15), а соотношение (5.14) заменяют равенством,T= — р, где р(х, 1)— давление, которое предполагается не зависящим от скоростей Все другие компоненты, которые получаются из приведенных в результате перестановки индексов и применения условий симметрии (5.5) и (5.6), будут иметь соответственно те же значения, а остальные компоненты обратятся в нуль. Как легко убедиться, линейная комбинация изотропных тензоров (5.7) с коэффициентами Л и р дает как раз такие же компоненты.
т. е. мы получаем выражение Гл. 71'. Основные викины Иб деформаций. Таким образом, вместо уравнения (5.13) будем рассматривать определяющее уравнение Р ТО = — рйц+ 29УО = — Р88+ 2РУ,7 3 рУььй,р (5.16) В этом уравнении коэффициент вязкости р является единственной постоянной, характеризующей вязкую жидкость. Так как здесь введена новая неизвестная функция р (к, 1), то система (5.1), (5.2) и (5.16) состоит ив десяти уравнений для одиннадцати неизвестных функций.
Чтобы получить необходимое равенство числа уравнений и числа неизвестных, нужно еще присоединить уравнение состояния жидкости, которое представляет собой скалярное соотношение между плотностью р, давлением р и температурой зз. Например, уравнение состояния для идеального газа имеет вид (6.4) гл. 11.
Чтобы получить чисто механическую задачу, часто берут такое уравнение состояния, которое не содержит температуры. Процессы, подчиняющиеся таким уравнениям состояния. называются баротропнмми. Важнымн частными случаями являются изотермические процессы, при которых температура сохраняется постоянной, и адиабатические процессы, при которых отсутствует теплообмен.
Для случая идеального гава давление при изотермнческом процессе пропорционально плотности, а при адиабатическом процессе пропорционально степени плотности, причем показатель степени равен отношению удельных теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме. Если же предполагается. что давление пропорционально какой-либо другой степени плотности, то говорят о политропическом процессе. Однородная несжимаемая жидкость представляет другой частный случай баротропной жидкости, так как в ней плотность имеет фиксированное значение, не зависящее от времени и положения. Определяющее уравнение (5.16) обычно называется уравнением Стокса' ).
Если влияние вязкости жидкости представлено, как и в уравнении (5.16), членами, линейно зависящими от компонент скоростей деформаций, то говорят о ньютоновской жидкости, в противном случае — о неньютоновской жидкости. ') 3 1 о К е з О. Оп Тгипз. СатзгЫае Ра Тол. 3ос., 8 (1844 — 1849), 287. П7 в. Основные уравнения Положив в уравнении (5.16) коэффициент вязкости р равным нулю, получки определяющее уравнение для идеальной аиидности т„= рййв (5.
17) Так же, как и уравнение (5.16), уравнение (5.!7) нужно дополнить уравнением состояния. В заключение рассмотрим обобщение определяющего уравнения (5.16) для вязкой жидкости. Тенэор напряжений (5.16) представляет собой сумму гидростатнческого давлення — рй, н тензора напряжений вида (5.13) при ) = — 2р(8. Приняв во внимание зто замечание. запишем тензор напряжений для вязкой жидкости в виде т~, = — РЬ,1+ Н/ввй,)+ 2РУ,р (5.18) Здесь р означает статическое давление, которое, согласно уравнению состояния, определяется плотностью н температурой. Вследствие наличия двух не зависящих друг от друга коэффициентов вязкости 1 н р, входящих в формулу (5.18), отрицательное среднее нормальное напряжение можно записать в виде , — 8 та = р — —, (8)+ ъй~/ 1 1 (5.
19) Оно совпадает со статнческнм давлением р только тогда, когда Ъ' „ равно нулю, т. е. когда жидкость несжнмаема. Определяющее уравнение (5.16). которое будет прнменаться только в гл. т1, посвященной вязкой жидкости, получим нз уравнения (5.18), наложив требование, чтобы отрицательное среднее нормальное напряжение н статическое давление совпадали прн любых условиях. Глава У идедльиые жидкости 1. Уравнецня двнження н теоремы о вйхрнх. Воспользовавшнсь соотношениями (4.5) гл. Ш н (5.17) гл. Б, запншем урагненне двнження (2.6) гл. 1Ч в следующем виде: 1 2еаОшР1+ да(1/г огог)'+ дона = Ра дьР (1 1) Р В символической запаса уравнение (1.1) принимает внд 2ж Х я+нгаб ог/2+ дт/дг = Р— — втаб р. (1.2) 1 Р Здесь т обозначает скорость, ш — вектор вихря, определенный выражением (1.5) гл.
1П, Р— удельную массовую силу, р — плотность н р — давление. В большинстве приложений массовые силы Р не завнсят от времени н обладают полгенциплом (/(х), т. е. Р = — йтаб (7. Еслн, кроме того. жидкость является баропгроппой, т. е. если плотность жидкости есть функция давленая. р=р(Р), то удобно ввестн функцию Р (р), определенную уравненнем (6.15) гл.
11. Тогда уравнение движения (1.2) упрощается н принимает внд 2ш Х ч+ дт/да= — йгаб(И+Р+ 1/аот) (1.3) В этом уравнении величину (7 можно рассматривать как потенцнальную энергню, ог/2 — как кинетическую энергню, а Р— как энергию давления, отнесенную к единице массы. Как легко установить, велнчнна Р представляет собой работу. совершаемую прн движении единицы массы баротропной жидкости под действием нзменення давления от величины рз до фактического давления р (см.
определенне величины Р (6.5) гл. И). Выражение в круглых скобках в уравнении (1.3) называется полной удельной энергией н в дальнейшем сокращенно обозначается через О. Д Уравнения деииеенил и теоремы о еикрлк 119 Во многих случаях сила тяжести является'единственной учитываемой массовой силой. Тогда потенциал 0 имеет вид У=ай. (1.4) где а — ускорение силы тяжести, а й — высота по отношению к какому-либо уровню, например к уровню моря. Так как в уравнении (1.3) к потенциалу У прибавляются члены Р и чР(2, то величины а =Р(а, а = г((2р) имеют размерность ллины и называются соответственно высотой давления и скоростной высотой, а величина й в уравнении (1.4) называется в этой связи геометрической высотой.
Скоростная высота (г представляет собой, . очевидно, такую высоту, при свободном падении с которой без начальной скорости в конце падения достигается, скорость о. Предоставим читзтелю, воспользовавшись соотношением (6.7) гл. И, убедиться в том, что высота давления а равна высоте столба находящейся в равновесии баротропной жидкости, на нижнем конце которого на жидкость действует давление р, а на' верхнем конце действует давление отсчета р, принятое в определении функции Р [см. формулу (6.15) гл. 1Ц. Сумма Н=а+а +а (1.6) называется полной высотой. Введя высоту Н в уравнение движения (1.3), запишем его в виде 2ж Х ч+ дч(да= — ййтай Н„ (1.1) предполагая, разумеется, что сила тяжести является единственной массовой силой, действующей на жидкость.
В п. 2 и п. 3 настоящей главы исследуются стационарное и безвихревое течения, здесь же мы рассмотрим нестайаонарное вихревое движение. Дивергенция вихревого поля ж(х, 1) тождественно обращается в нуль [см. формулу (8.12) гл. Ц. Следовательно, согласно теореме Гаусса (9.3) гл. 1, для части У пространства, ограниченной регулярной поверхностью о' н лежащей целиком в области определения поля скоростей, выполняется соотношение (1.8) Гл. 'г'. Идеальные жидкости Где интегрирование распространяется на граничную поверхность 8, а и — единичный вектор внешней нормали к поверхности Я. Выражение, стоящее под знаком интеграла в соотношении (1.8), называется потоком вихря черев элемент б8 поверхности.
Как видно ив уравнения (1.8), поток вихря через замкнутую поверхность равен нулю. Понятие вихревой линии было уже введено в п. 1 гл.!Ц, где вихревые линии были определены как векторные линии вихревого поля. По аналогии с понятием элементарной трубки тока (см. п. 1 гл. !Ч) введем теперь понятие элементарной вихревой трубки, поверхность которой, по определению, образована вихревыми линиями. проведенными через точки бесконечно малой замкнутой кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
