В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(4.11) В приложениях интеграл по объему 1 часто определяет такую характеристику части сплошной среды. находящейся в данный момент в объеме 1/, которая сохраняется во время движения, например массу или энергию. В таких случаях Г=О, и если это равенство должно выполняться для любой части сплошной среды, то подинтегральные выражения в (4.11) должны тождественно обращаться в нуль. В качестве примера применения соотношения (4.11) рассмотрим такой частный случай, когда тенвор Ты, зависящий от положения частицы и от времени, заменяется ска ляром 1, не зависящим от времени и координат. Тогда величина интеграла е' определяет объем сплошной среды, Е. Материальные скорости изменения 99 заполняющей в данный момент часть У пространства, и из соотношения (4.11) получаем выражение Г= ~ д!о!ЫУ.
(4.! 2) так как это соотношение справедливо для любой части пространства. то подинтегральное выражение д!о~с(У определяет скорость увеличения мгновенного объема с!У элемента сплошной среды; поэтому дивергенция дуп называется также скоросшью кубического расширения. Как видно из соотношения (4.11), операции образования материальной скорости изменения любого тензорного свойства Т», сплошной среды и интегрирования по произвольной части У пространства коммутатнвны только тогда. когда мгновенное движение среды Го»'йи»)сег л происходит при сохранении объема.
l р В заключение исследуем материальную Фйь» скорость изменения линейного интеграла и!» / У=~с, 11.;, (4.13) о» где с,=с,(х, с) — векторное свойство Рис. 14 сплошной среды, а интегрирование распространяется на те частицы сплошной среды, которые в момент г ваполняют замкнутую кривую !. с направленным линейным элементом ~И.р Пользуясь обозначениями, применявшимися при выводе соотношения (4.10), определим материальную скорость ивменення Г интеграла (4.13) следующим равенством: Ггй = ~ с (х', ь'+с(ь) гуее» вЂ” ~ с»(х. ь) Ж», (4.14) где Ж' — направленный линейный элемент замкнутой кривой Ь'. которую в момент г+Ж заполняют частицы, первоначально лежащие на кривой е'.. Как видно ив рис. 14, в течение бесконечно малого промежутка времени а1г материальный линейный элемент Ы» претерпевает изменение (Ш )'Н = Но»Ш, где величина с(о» определяется выражением (1.1).
Следовательно, линейный элемент с!е'.». входящий в уравнение (4.14), определяется равенством (4.15) ,!г,',И.,+бр» у(~ уг. 100 Ге. Ш. Мгновенное состояние двихенил С другой стороны, справедливо равенство с„(х', 1+г11)=се(х, с)+с' (х, 1)Ж. (4.16) Рассмотрим пример применения этого уравнения, положив се= па. Тогда интегРал У опРеделЯет циРкУлЯцию вектоРа скорости.
Так как в этом случае подинтегральное выражение второго интеграла, входящего в уравнение (4.18). предг'1 ставлЯет собой гРадиент д)Р пепе), то этот интегРал, Распространенный.на замкнутую линию Е, обращается в нуль, Следовательно, приходим к результату (~ и с(7.„) = ~ тг г((ы (4.
19) где тг представляет собой ускорение ае. В рассматриваемом адесь частном случае операции интегрирования вдоль Е и обравования материальной производной коммутативны, Однако, в противоположность объемному интегрированию. для линейного интегрирования не существует условия, накладываемого на поле скоростей, при котором такого рода коммутативность была бы законна для произвольного векторного поля с и произвольной замкнутой линни г..
Из уравнения (4.19) следует, что циркуляция вектора скорости вдоль материальной линии не зависит от времени, если поле ускорений является градиентным полем. Поэтому скорость изменения величины сэ Ж.е определяется формулой (с Н.е)'=с' Ые+седутгеЖ = =сеШе — тг д сеШ +д (сев ')с(7.. (4.17) При интегрировании этого выражения по замкнутой кривой Ь, целиком лежащей в односвязной области определения векторного поля сп зависящего от времени, вклад последнего члена в уравнении (4.17) будет равен нулю, так как после обхода величина снеге возвращается к своему началь; ному аначению. Таким образом, получаем соотношение Г= ~ с' сН.е — ~ тгзд с Ш .
(4.18) Глава ГУ ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ 1. Закон сохранении массы. Во второй главе были рассмотрены только вопросы статики, а в третьей главе — вопросы кинематики сплошной среды. Настоящая глава посвящена основным физическим законам. которым подчиняются рассматриваемые ниже сплошные среды. Масса, которая содержится в момент времени 1 в части У пространства, ограниченной регулярной поверхностью. определяется величиной интеграла. взятого по объему У, (1.1) где р=р(х. 1) означает поле плотности сплошной среды. Закон сохранения массы требует, чтобы для произвольно выбранного объема У выполнялось равенство ш'=О. Следовательно, согласно формуле (4.11) гл.
111, справедливо так называемое уравнение неразрывности (1.2) дар+ д! (рпу) = О. Другой способ записи этого уравнения получим, используя, второй интеграл нв формулы (4.11) гл. 111, (1.3): р'+ рдлз = О. Так как р чь О, то уравнение (1.3) можно ваписать в виде (!опр)'+дго =О. (1.4) расснотрим некоторые частные виды уравнения неразрывности. В несжимаемой среде плотность каждой частицы не зависит от времени. т. е.
р'=О. Поэтому для несжимаемой среды уравнение неразрывности (!.3) принимает вид (1.3) дан им О. Гл. 1'г'. Основные законы Следовательно, как показано в п. 3 гл. Ш. поле скоростей ч(х, 1) можно представить посредством ротора векторного поля н(х, 1), которое называется векторным потенциалом ч, ч=го1п. (1 6) Здесь следует обратить внимание на то, что соотношение (1.6) мы получили, предполагая только. что плотность каждой частицы среды не зависит от времени, но не предполагая, что все частицы имеют одинаковую плотность, т.
е. не требуя однородности среды. Движение среды называется стационарным, если поле скоростей и все другие поля в среде не зависят от времени. Следовательно. для стационарного движения имеем д,р = 0 и уравнение неразрывности упрощается и принимает вид д1 (ро1) = О. (1.7) Далее, из уравнений (1.6) и (1.7) следует, что для стациона рного движения несжимаемой среды справедливо равенство (1.3) о д р = О. Движение сплошной среды нааывается беаеихрееым, если ротор скорости такого движения всюду равен нулю.
Поле скоростей безвихревого движения можно. в соответствии с п. 9 гл. 1. представить в виде градиента скалярного поля р(х, г), т. е. в виде о =дгр. (1.9) Функция р(х, г) называется потенциалом скорости, а дви. жение такого вида называется потенциальным течением. Для потенциального течения уравнение неразрывности (1.3) принимает вид (1.10) р+рЬр=О. В случае потенциального течения несжимаемой среды уравнение (1.10) приводится к виду Ьр= О. (1.1 1) Так как уравнение неразрывности (1.2) содержит только составляющие скорости и плотность, а также первые произ«одиые зтих величин е рассматриеаемой точке, то можно д Закон сохранения массы 103 сказать, что оио формулирует приицип сохранения массы з малом. Одиако полезио сформулировать этот принцип з большом. Для этой цели вернемся к соотношению (4.10) гл, П1 и заменим в ием величину Ть, иа р и 1 иа т.
Так как ш = О, то справедливо соотношение ~ д р ~Л/+ ~ рп ь б8 = О. (1. 12) Первый иитеграл этого соотношения представляет собой скорость увеличения массы в фиксированной части У пространства вследствие зависимости поля плотиости'от времени, а второй интеграл определяет скорость, с которой масса вытекает через граничную поверхность 8 этой части простраиства. Равенство нулю суммы этих интегралов говорит о том, что масса, содержащаяся в фиксироваииой части У пространства, может увеличиться только вследствие притока дополнительной массы через поверхиость 8. Для стационарного течения уравнение (1.12) упрощается и принимает вид р%/1т! Ф8 = О.
(1.13) репе б8е репе б8е (1.14) Из этого уравнения, в частности, следует, что при стациоиариом течении несжимаемой среды скорость вдоль трубки тока изменяется обратно пропорционально площади поперечного сечения трубки. Обычно это соотиошеиие применяется к стационарному движвиию внутри элемеитариой трубки тока. По определению, трубка тока образозаиа ливиями тока, проходящими черев точки, образующие замкнутую кривую.
Пусть б8' и б8» — площади двух нормальных сечеиий трубки тока и пусть движение в трубке направлено от с(8' к б8". Применив к отрезку трубки, ограиичеииому этими нормальными сечениями, уравнение (1.13). вайлем, что нормальная скорость и т иа боковой поверхности трубки равна нулю, а в сечениях б8' и 08о аадаиа величинами и' и и", где и' и т/' — модули скорости в этих нормальных сечениях. Если соответствующие плотности обозначить через р' и р", то уравнение (1.13) упрощается и принимает вид Гл. Л', Осиовиые заковы 2.
Теорема о количестве движения. Количество движения, содержащееся в момент с в части Ъ' пространства, ограниченной регулярной поверхностью, определяется интегралом по объему (2.1) С другой стороны, результирующая массовых и поверхност- ных сил. действующих в данный момент на среду, заключен ную в объеме У. определяется равенством ) [е = ~ рРо дСГ+ ~ Т„., дЗ. (2.2) до(рое)+ д1(о1роа) = рРо+ д,Тсо. (2.4) Левую часть этого соотношения преобразуем следующим обрааом: оо [доР+ дЕ(РоС)]+ Р [двое+ о)д)ое] (2 5) В силу уравнения неразрывности (1.2), выражение в первых квадратных скобках формулы (2.б) равно нулю, в то время как выражение во вторых квадратных скобках, согласно формуле (4.2) гл.!Ц, представляет собой ускорение ае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
