В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть б8' и био — площади соседних нормальных сечений элементарной вихревой трубки, а вектор вихря направлен от НЮ' к юЮ". Так как поток вихря через боковую поверхность вихревой трубки равен нулю, то, применяя уравнение (1.8) к участку вихревой трубки, ограниченному рассматриваемыми нормальными сечениями, получаем равенство (1.9) где чи' и тгг" означают модуль вектора вихря в сечениях б8' и бЯе соответственно. Следовательно, модуль вектора вихря изменяется вдоль вихревой трубки обратно пропорционально площади ее поперечного сечения. Из равенства (1.9) видно, что вихревая трубка не может оканчиваться внутри жидкости, она либо должна быть замкнутой, либо должна оканчиваться на поверхности, ограничивающей жидкость. Согласно теореме Стокса (9;10) гл. 1, удвоенное значение левой или правой части равенства (1.9) равно циркуляции вектора скорости вдоль контура элемента с!Ю' или б8и соответственно.
Таким образом, согласно уравнению (1.9), циркуляция вдоль контура любого из нормальных сечений вихревой трубки имеет одно и то же значение; эта величина, характерная для данной трубки, называется интенсивностью вихревой трубки. Отметим, что. согласно такому определению, интенсивность вихревой трубки аадается выражением 2те йЯ, причем бЯ вЂ” площадь поперечного сечения вихревой трубки, з се†модуль вектора вихря в этом сечении. Е Уравнения движения и теоремы о еихряк 121 Вихревые линии, проходящие через точки кривой, которая сама не является вихревой линией, образуют вихревую поверхность. Согласно этому определению, вектор вихря в любой точке вихревой поверхности касается этой поверхности; другими словами, поток вихря через вихревую поверхность равен нулю.
Следовательно. по теореме Стокса циркуляция вектора скорости вдоль контура любой односвязной области вихревой поверхности равна нулю. Обратно, если циркуляция вектора скорости вдоль контура любой одно- связной области' поверхности равна нулю. то эта поверхность является вихревой поверхностью.
так как поток вихря через произвольный элемент этой поверхности равен нулю. Линия пересечения двух вихревых поверхностей является вихревой линией, так как в любой общей точке двух вихревых поверхностей вектор вихря касается каждой поверхности и, следовательно, касается их линни пересечения. Все предыдущие теоремы о вихревых линиях. вихревых трубках и вихревых поверхностях имеют чисто кинематическое содержание. Они основываются на определении вихря, равенстве нулю его дивергенции и теоремах Гаусса и Стокса. Рассмотрим теперь теоремы о вихрях Томсона (Кельвина)') и Гельмгольцаз), которые имеют динамическое содержание. Они относятся к баротропной идеальной жидкости и получены в предположении, что удельные массовые силы консервативны, т.
е. обладают однозначно определенным потенциалом. Тогда, согласно формуле (1.3), уравнение движения можно записать в виде а = — йтай (У+ Р), (1. 10) где а — ускорение, определяемое выражением (4.6) гл. Ш. Скаляр — ((г'+Р) можно, следовательно, рассматривать как потенциал ускорения.
Имея в виду формулу (1.10) и замеяание, сделанное в конце п. 4 гл. Ш, заключаем, что в баро. тронной идеальной жидкости, находягцейся под действием консервативных массовых сил, циркуляция вектора скорости вдоль замккутой материальной линии не зависит от времени. Из втой теоремы Томсона следует, что поток, свободный от вихрей в данный момент, будет и ') Т11отзов %., Рапид Тгаик 71оу. 5ос.
Еейпигйа, 25 (1889), 217. ь) Не! та о!~з Н., Сгейее гоигпиГ, 55 (1858), 25. Гл. е'. Идеальные яеидносги впредь оставаться безвихревым в указанных условиях. Из теоремы Томсона можно вывести теоремы о вихрях, которые. были до Томсона установлены Гельмгольцем. Пусть в момент времени 1 существуЮт вихревые поверхности Р и О, пересекающиеся по вихревой линии 1. Частицы жидкости, находящиеся в момент 1 на поверхности Р или О, в момент 1+И заполнят поверхность Р' или соответственно поверхность О'. линия пересечения которых, обозначаемая через Р, состоит из тех же частиц, что и линия 1.
Поскольку в момент г поверхность Р является вихревой поверхностью, то, следовательно, в этот момент времени циркуляция вектора скорости вдоль контура любой одно- связной области поверхности Р равна нулю. Так как в рассматриваемой жидкости эта циркуляция вдоль замкнутой материальной линии остается постоянной во времени, то в момент 1+ Ж циркуляция вектора скорости вдоль контура любой односвязной области поверхности Р' равна нулю.
т. е. в момент Ф+ Ю поверхность Р' является вихревой поверхностью. Это справедливо также и для поверхности О'. Поэтому линия !' как линия пересечения вихревых поверхностей Р' и О'. является в момент 1+ йс вихревой линией. Поскольку 1 и Р представляют последовательные положения одной и той же материальной линии, то отсюда вытекает, что вихревые линии являются материальными линиями. Это обстоятельство выражают также посредством утверждения, что вихри „вмораживаются' в вещество. Вместе с вихревыми линиями вихревые трубки также представляют собой материальные образования, и теорема Томсона показывает, что интенсивность вихревой трубки сохраняет свою величину ири движении трубки. Этот реаультат можно объединить с принципом сохранения'массы следующим образом.
Пусть элемент вихревой трубки, имеющий в момент а длину б! и поперечное сечение бЗ, в момент с+А обладает длиной бР и поперечным сечением аЮ', а величины р, р' и чи, тв' — соответствующие значения плотности н модуля вектора вихря. Закон сохранения массы выражается соотношением рй1бЮ=р'б!'йЮ', а сохранение интенсивности вихревой трубки — соотношением св йЮ = чв' сБ'. Отсюда следует равенство — "б1= ~', й1е, (1.1!) 2. Установившееся движение 123 пал Рис. 15 т.
е. при движении длина элемента вихревой трубки изменяется пропорционально тв/р. В несжимаемой жидкости длина элемента вихревой трубки наглядно представляет изменение величины вихря во времени. 2. Установившееся движение. При установившемся движении производная дч/д1 обрашается в нуль. Обозначив полную удельную энергию. т. е. выражение в круглых скобках в уравнении (1.3), через О, запишем уравнение установившегося движения в виде в г 2ч Х тч = йтаб О. (2.1) / г / Из этого уравнения еле- (шгр)ар дует, что в любой точке Р I Ф поверхности уровня О = сопз1 гА вектор скорости и вектор вихря касательны к этой поверхности.
Линни тона. проведенные из точек вихревой линии, образуют поверхность уровня полной удельной энергии О. Так как при установившемся течении траектории частиц совпааают с линиями тока, то вихревая линия, которая должна рассматриваться как материальная линия, заметает в процессе своего движения поверхность О = сопз1. На рнс. 15 изображены линии тока и вихревые линии на поверхности уровня полной удельной энергии.
Пусть кривые АА' и ВВ' представляют соседние линии тока, а пунктирные кривые АВ и А'В' изображают два последовательных положения вихревой линии. При этом направленный линейный элемент АА' равен вектору скорости в точке А. умноженному на бесконечно малую величину а),, а линейный злемент АВ равен вектору вихря в точке А, деленному на плотность. и умноженному на бесконечно малую величину йр. Множитель а). означает, очевидно, промежуток времени. в течение которого материальная вихревая линия передвигается из положения АВ в положение А'В'1 множитель др не имеет такой наглядной интерпретации. Умножив вектор скорости в точке В на величину йь, получим направленный линейный элемент ВВ' и, следовательно, можно сформулировать теорему: расстояние между соседними вихревыми линиями на иоверхиосши уровня 124 Гл..К Идеальнме яеидкости полкой удельной энергии пропоркиональко состаеляюпгей скорости, нормальной к вихрю.
Согласно теореме. доказанной в конце предыдущего пункта, направленный линейный элемент А'В' можно получить, разделив вектор вихря в точке А' на плотность в этой точке и умножив частное от деления на величину йр. Отсюда следует вывод: расстояние между соседними линиями тока иа поверхности уровня полной удельной энергии пропорииональио отношению, получаемому путем деления компокеитм вихря, нормальной к вектору скорости, ка плотность.
Представим теперь себе, что на рассматриваемой поверхности уровня О=с проведена такая сеть линий тока и вихревых лини», для которой всюду справедливы высказанные выше теоремы при одних и тех же множителях пропорциональности й). и йр. Из указанного выше физического смысла величины ~й следует, что рассматриваемые вихревые линии совпадают с последовательнымн положениями одной и той же материальной линни в моменты времени, разделенные между собой постоянным промежутком времени Ф.
На соседней поверхности О = с +йс проведем подобную же сеть линий тока и вихревых линий, причем будем исходить из линий, проведенных через точку А', близкую к точке А. Элемент поверхности О = с+йс, соответствующий элементу АВВ'А' поверхности О = с. обозначим черев / Р А'В'В' А" . Если черев йт обозначить расстояние точки А' от поверхности О с, то из уравнения (2.1) получим скалярное соотношение 2отэ з1п О = —, (2.2) где о и чи †моду вектора скорости и вектора вихря в точке А, а 8 — угол между этими векторами, Восемь рассматриваемых точек представляют собой вершины пространственного элемента, объем которого выражается в виде й)Г = (очи/р) з1п 6 ~й ф. йт; согласно формуле (2.2),: масса, содержащаяся в этом элементе, равна р й1 Г= птийп б й. йр йт = — й) йр, йс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
