В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Области, заштрихованные на плоскостях пт и Ф*, дополним их отражениями относительно действительных осей. Таким образом, в плоскости мт получим полный круг с радиусом ттз и центром в начале координат. В плоскости Ф' будем иметь полную плоскость с разрезом вдоль действительной оси от точки В" до точки Е™. Окружности круга ВнСнЕебн плоскости пт соответствует контур В"С"'Е"Отн разреза в плоскости Ф*.
Но конформное отображение внутренности круга плоскости че на плоскость Ф', разрезанную от Ф'= — 1 до Ф'= 1, хорошо известно. Оно осуществляется функцией Гл т'. Идеальима жидкости Если контур полукруга. заштрихованного на рис. 17, в, будем обходить в направлении АоВ"С"Р"'Е"П', то внутренность полукруга' будет находиться слева; точно так же прн обходе соответствующей этому контуру действнтельной осн в плоскости Ф' в направлении А'"В"С"Г'"Е"О" нижняя заштрихованная полуплоскость будет расположена слева.
Следовательно, прн отображении посредством функции (3.45) имеет место взаимное соответствне заштрихованных областей. Предоставим читателю выразить комплексную скорость ш через комплексный потенциал у прн помощи выражений (3.43) н (3.45), а затем посредством интегрирования соотношения (3.41) определить линии тока и эквкпотенцнальные линни в плоскости л. Вычислим теперь так называемый ноаффициент сжатия, т. е. отношение а7Ь асимптотической ширины струи к ширине щели (рис.
17, а). Левая граница ВС струи соответствует положительной действительной осн цлоскостн Ф. Вдоль этой границы имеем р) О и ф= О. Если длину ее дугн. измеряемую от точки В, обозначить череза, то с(фй=ео н поэтому р= аоь, поскольку в точке В как у, так и з равны нулю. Таким образом, согласно соотношению (3.43), вдоль ВС справедлнво равенство Ф'= ехр( — —,). (3.46) 1л чв=юо(ехр( — 2 ) Ы~1 — ехр( — — )1 ~.
(3.47) Если з-ь со, то тв-к Ьпь; поэтому в равенстве (3.47) следует брать знак плюс. Кроме того, вдоль гранины струи ВС вы- полняется соотношение (3.48) Прн этом значении Ф' нз равенства (3.45) получим со- отношение Ь. Зеааихревое течение Отсюда, согласно формуле (3.47~, получим равенство х, = — Ь + / ехр ( — — ~ Иа = 2й) 3 .= — Ь+ — ~1 — екр ( — —,) ~', - (3.49) (3.50) где уже учтено начальное условие: х= — Ь при а=О.
Так как х,-ь — а при а — ~ со, то из равенства (3.49) получаем коэффициент сжатия Ь 2-1-я ' Глава 1Гг вязкие жидкости 1. Основные уравнения н закон подобия. При выводе основных уравнений ньютоновских жидкостей освободимся от упрощающего предположения о баротропности жидкости и вернемся к полной системе уравнений (5.1), (5.2), (5.3) гл. 1Н. Рассмотрим совершенный газ, уравнение состояния которого запишем следующим образом: р=У(с — с )ри, (1.1) Где à — механический эквивалент тепла.
а с и с — удельные Я Ф теплоемкости при постоянном давлении н постоянном объеме соответственно. Выражение для удельной внутренней энергии имеет вид (1.2) е = /с„и. а поток тепла залается уравнением (4.3) гл. 1Ч. для упрощения математических выкладок удельные тепло- емкости ср и с„ коэффициент теплопроводности ), и коэффициент вязкости р будем считать постоянными. Так как в действительности эти величины зависят от температуры, то систему уравнений. которую мы получим, нельзя применять к потокам, имеющим значительные разности температур. Наконец, предположим, что учитывается единственная массовая сила — сила тяжести.
Если координатную ось хз направить вертикально вверх, то для этой силы получим выражение в следующем виде: (1.3) д Основные уравнения и закон нодобия , 141 Пользуясь определяющим уравнением (5.16) гл.!Ч, запишем уравнения (5.1), (5.2), (5нй) гл. !Ч в следующей форме: дар+ ду(ро ) = О, (1.4) рдоо»+роуд,о»= брйз» дьЬ+р. (дно»+ о ду»ог), (1.5) 1 Ус,рд,6+Ус,рв д 6 — Лд е) = — р д о + 4ру,„, (1.6) где 7 ш — второй основной инвариант девиатора скоростей деформаций. При выводе уравнения (1.5) тензор скоростей деформаций в определяющем уравнении выражался, согласно уравнению (1.11) гл.
Ш, через векторный градиент поля скоростей. а при выводе уравнения (1.6) было использовано следующее преобразование: У!РЛ =~ рй!»+2!" (1'~» я "гиду»)))Гу»= / = — Р~'г;+2,) ?,~Р„+ з Р„й,»)= I = — рдго~+ 2?Дг»Ъ'~» = — рд ог + 4рун<~, (1.7) в котором девиаторы обозначены штрихами. Скалярные уравнения (1.1), (1.4), (1.6) н векторное уравнение (1.5) образуют систему шести уравнений, содержащих шесть неизвестных функций координат и времени, а именно давление, плотность, температуру и три компоненты скорости. Вследствие нелинейного характера приведенной системы уравнений, отыскание точных решений нестационарной пространственной задачи оказывается малоперспективным, поэтому мы обратимся к задачам с меньшим числом независимых переменных. Однако общие уравнения оказываются полезными при установлении условий подобия двух течений: Типичное применение этих условий подобия обычно связано со следующим вопросом: возможно ли применение результатов опытов.
выполненных в малом масштабе, к проектируемому сооружению большого масштаба? Лля сравнения течений различного масштаба рассмотренные уравнения удобно записать ц безразмерных переменных. С этой целью все линейные размеры отнесем к некоторой длине»'., характерной для рассматриваемой задачи, время— Г*. И. Вязкие исидкосги и безразмерные зависимые переменные о" =о,./О. р =р)р, Р*=Р/р. В'= 8/6. (1.9) В дальнейшем дифференцирование по х' и с' будем обозначать при помощи операторов д* и д' соответственно.
В принятых безразмерных переменных уравнения (1.1), (1.4), (1,5) и (1.6) принимают вид (1. 10) (1.1 1) . К' = РВ'. утес доР +д~(Р Оо)= 0 — р'д;,оо-+ р'и" д'и* = — р*дой*+ р'о'д'6* — я д* 6" = — и'д* *+ 4 " . ~~ Р,*„', (1.1З) УсеРоио 1 1 Ро1Г1' серио где х означает отношение с /с, удельных,теплоемкостей, а зависимость величины У'от> от компонент д'о' имеет с такой же вид, как и зависимость величины 7 По от компонент д1о„. Для того чтобы уравнения, ааписанные в безразмерных переменных, совпадали для двух потоков, безразмерные коэффициенты, не содержащие величин, отмеченных звездочками, к характерному времени Т, а все компоненты скорости— к характерной скорости У. Например, для пропеллера самолета в качестве характерных величин можно выбрать радиус, время одного оборота и скорость полета.
Давление, плотность н температуру отнесем к их значениям ро. Ро, Во в определенной точке отсчета. Величины рм ро и Во удовлетворяют, следовательно. уравнению состояния (1.1). Таким образом, получим безразмерные независимые переменные х* = х ./1., г* = 1(Т 1 1 ся= — =я— пР Р Фг (1,14) Ро сз 2 (1.15) 1ВУ У где се — скорость звука в точке отсчета. Принимая во вии. мание условие подобия, сформулированное во втором пункте, приходим к заключеиию. что отношение У(се должно иметь одно и то же зиачеиие для подобных потоков. Если характерная скорость в точке отсчета имеет величину У, то безразмерное число У/се представляет собой число Маха в этой точке.
Для подобиых течений числа Меха должиь) быть равиыми, дельиости. 1) Величину ЦТУ можно рассматривать как безразмерную частоту. Для приведенного выше примера с пропеллером величина, обратная втой частоте. пропорциональна относительной поступи У/(м)с), где У вЂ” осевая скорость, м — угловая скорость и )с — радиус пропеллера. Из приведенных уравнений видно, что безразмериые характеристические числа такого вида появляются только в задачах о иестациоиариых течениях. Для подобных течений безразмерные частоты должны быть равными.
2) Согласно уравнению' состояния (1.1), величину рс((/с,ре8з) в уравнении (1.13) можно представить в виде (с /с ) — 1. Для подобных течений отношение х = с /с удельных теплоемкостей должно, следовательно, иметь одно и то же значение. Если в обоих случаях речь идет об одном и том же газе и если в рассматриваемом диапазоне температур удельные теплоемкости можно считать постояииыми, то это условие автоматически выполняется.
3) Величину рс/(реУэ1 в уравнении (1.12) преобразуем следующим образом. При вычислении скорости звука с в рассматриваемом-идеальиом газе можно предположить, что измеиеиие состояния происходит адиабатически. Так как для адиабатического процесса давление р пропорционально степени плотности р", то справедливы равенства Гл.
УВ Вязкие жидкости 4) Величина ВЕ/И, входящая в уравнение (1.12), называется числом Фруда и может рассматриваться как мера относительной значимости потенциальной и кинетической энергия. Для подобных течений числа Фруда должны быть равными. 5) Величину р/(рс(ц.), входящую в уравнения (1.12) и (1.! 3), аналогично предыдущему можно считать мерой относительной значимости вязкой диссипации энергии и кине- тическоЯ энергии. Обратная величина г~(га (1.16) называется числом Рсйнольдса. Для подобных течениЯ числа Реянольдса должны быть равными. 6) Величина, обратная отношению Х/(с ро(тЬ), входящему в уравнение (1.13), называется числом Пекле Ре= сягс(гь (1.17) Эту безразмерную характеристику можно записать как произведение числа Репнольдса (1.16) и числа Прандтля Рг = —. сри А (1.
18) В кинетической теории газов показано, что число Прандтля зависит только от отношения к= с /с удельных теплоемкостей. Равенство чисел Пекле для подобных течений вытекает, следовательно, из равенства чисел Рейнольдса и отношения теплоемкостеЯ. 7) Велиуина (7т/(зс Йс), входящая в уравнение (1.13), может интерпретироваться как мера относительной значимости кинетической и внутренней энергий. Согласно уравнениям (1.1). и (1.14), справедливо соотношение й 0з — = (к — 1) —. (1. 19) Усяпо Дв Поэтому требуемое здесь равенство рассматриваемого безразмерного числа для подобных течений следует из равенства чисел Маха н отношения теплоемкостей. Резюмируя, отметим, что дифференциальные уравнения для двух течений, записанные в безразмерных переменных, ровпадут в том случае, если будут выполнены условия только'упомянутые уравнения, но также н граничные условия, записанные в безразмерных переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
