В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если течение ограничено фиксированной или известным образом движущейся твердой поверхностью, например поверхностью пропеллера. имеющего заданные осевую и угловую скорости, то последнее требование будет удовлетворяться при геометрическом подобии обоих течений и ра. .венстве безразмерных частот. Однако во многих случаях движение граничной поверхности заранее не задано и зависит от сил. с которыми жидкость действует на эту поверхность.
Это имеет место, например, при полете снаряда. Если такого рода граничные ~еловка записать в безразмерных переменных, то получатся другие безразмерные характеристики, которые будут содержать дополнительные величины, например массу снаряда. Для подобных течений эти характеристические числа также допускы иметь одинаковые значения. Наряду с механическими граничными условиями иногда нужно учитывать также термические граничные условия. Если, например, речь идет о направляющих поверхностях, поддерживаемых при фиксированной температуре, то для подобных течений безразмерная температура 6* этих поверхностей должна иметь одну и ту же величину. Условия подобия, выраженные через различные безразмерные характеристические числа, могут не быть согласованными друг с другом.
Предположим, например, что в некотором опыте с моделью нужно использовать тот же газ и при том же исходном состоянии, что и в большом сооружении. Тогда. если сократить линейные размеры до одной четверти от проектируемых, то равенство чисел Фрулл требует уменьшения скорости в два раза, в то время как равенство чисел Рейнольдса трубует увеличения скорости в четыре раза. В таких случаях нужно отказаться от строгого подобия и заботиться только о равенстве тех характеристических чисел, которые особенно важны для рассматриваемой задачи. Так.
например, при определении подъемной силы крыла разница давлений на нижней и верхней сторонах крыла, обусловленная весом воздуха, мала по сравнению с разницей давлений, ной силы крыльев в аэродинамических трубах. 2. Несжимаемая жидкость. Точные решенняь Рассмотрим несжимаемую однородную жидкость с постоянной плотностью р без учета силы тяжести. Тогда уравнения (1.4) и (1.5) принимают вид д1о~ — — О.
(2. 1) дою»+ о д1о» = д»р + д1р» (2 2) 1 и Отношение р/р, входящее в уравнение (2.2), называется кинематической вязкостью. Три уравнения, заданные соотношением (2.2), называются уравнениями Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. Система четырех уравнений, состоящая из уравнений Навье — Стокса н уравнения неразрывности (2.1), содержит четыре неизвестные функции координат и времени, именно давление и три компоненты скорости. За исключением последнего члена в уравнениях (2.2), эти уравнения совпадают с уравненияии для несжимаемой идеальной жидкости без учета массовых сил. Последний член уравнения (2.2), следовательно, является характерным для вязкой жидкости.
Так как этот член содержит производные от компонент скорости более высокого порядка, чем остальные члены, свойственные также и идеальной жидкости, то в случае вявкой жидкости можно удовлетворить большему числу граничных условий для компонент скорости. чем в случае идеальной жидкости. Частицы идеальной жидкости из-за отсутствия трения могут скользить по граничной стенке, тогда как соприкасающкеся со стенкой ча стицы вязкой жидкости прилипают .к ней. Таким образом, при наличии неподвижной стенки в идеальной жидкости требуется, чтобы обращалась в нуль только нормальная составляющая скорости, а в случае вязкой жидкости требуется, чтобы обращались в нуль все составляющие скорости на стенке, Прежде всего.
заметим, что любое безвихревое течение несжимаемой однородной идеал»ной жидкости удовлетворяет уравнениям Кавьс — Стокса. Для такого течения существует Позтойу из уравнения (2.1), которое характеризует только несжимаемость и имеет один и тот же вид как для идеальной, так и для вязкой жидкости, получаем равенство дыр=0; следовательно, в уравнении (2.2) исчезает единственный член. содержащий вязкость. Однако из-за различия граничных условий для вяакой и идеальной жидкостей в общем случае нельзя использовать такие безвихревые потоки идеальной жидкости для решения задач о вязких жидкостях.
Левая часть уравнения (2.2) определяет ускорение, позтому, согласно формуле (4.6) гл. 111. это уравнение можно ваписать в следующем виде: 2тч Х ч+ — = — йтад ! — + — ~+ — Ьч. (2.3) дт гр в*1 дг 1р 2/ р Применяя к уравнению (2.3) операцию ротора и используя третье соотношение (8.7) гл. 1 и определение (1.5) гл. 111 вектора чг. получаем следующее уравнение: ~(ч ° йтад) Ф+ д, ~ — (тч ° йтад) ч = —" Ьж. (2.4) Согласно уравнению (4.8) гл. Ш, выражение в квадратных скобках в формуле (2.4) представляет собой материальную скорость изменения вихря, которая, следовательно, определяется выражением ш' =(а~. 8тад) ч+ ~ Ьж. (2.5) Р Первый член правой части выражения (2.5) можно интерпретировать следующим образом.
Чтобы определить мгновенный вихрь вг для частицы Р. выберем бесконечно малую фиксированную длину дз и соседнюю частицу Р' таким образом, чтобы вектор'РР' был равен величине ждз. Тогда, в соответствии с формулой (1.!) гл. 1П, частица Р' имеет относительно частицы Р скорость Ич=(пг птад)чдз, которую можно считать материальной скоростью изменения вектора РР'. Таким образом, если последний член уравнения (2.5) обратится в нуль, то и в любой последующий момент времени вихрь частицы Р будет определяться отношением материального переменного вектора РР' к фиксированной длине дж 10в Гя. И.
Вязкие хидкоети 148 о,.=о,(яп хз, Р), от=от(лп хз, Р), оз=О (2.6) в уравнении (2.5) член (иг Втаб)т обращается в нуль, так как величина твз является единственной ненулевой компонентой вихря иг. а скорость т не зависит от координаты хз. Следовательно, для плоского движения при твз= м справедливо уравнение я "' = — АР~ Р (2.7) в котором подчеркнутые индексы принимают значения 1 и 2. Полученное выше уравнение называется ураенелием пе.реноса вихря.
Оно имеет тот же вид, что и уравнение виергии, получаем~)е из уравнения (1.6) при рассмотрении плоского течения несжимаемой жидкости, поле температур которого не зависит от хз, а нагреваиием за счет вязкого трения. можно пренебречь, т. е. опустить последний член в уравнении (1.6). Таким образом, получим уравнение энергии в виде (2.8) где с — удельная теплоемкость несжимаемой жидкости. Так как перенос тепла, определяемый уравнением (2.8), легче представить себе, чем перенос вихря, определяемый уравнением (2.7), то часто оказывается полезной аналогия между этими уравнениями. При этом.
разумеется, нельзя забывать, что для полкой аналогии между двумя процессами необходимо совпадение не В случае идеальной несжимаемой жидкости, для кбторой, вследствие равенства р = О, последний член уравнения (2.5) выпадает, эта теорема уже была доказана другим способом в конце п. 1 гл. Ч. Из уравнения (2.5) следует, что это наглядное представление иамеиения вихря частицы остается справедливым для вязкой жидкости при условии, что компоненты вихря в любой момент времени являются гармони, ческими функциями координат. Однако в общем случае, когда Ьж чь О. вихревые линии в вязкой жидкости, как правило, не будут оставаться материальными линиями. При ляоском течении 148 й Точные решения только дифференциальных уравнений, но н граничных условий. Строгое выполнение этого требования может быть сопряжено с большими трудностями.
Так, например, на стенке, ограничивающей жидкость, может быть задана любая постоянная температура, в то время как вихрь и в уравнении (2.7) уже определен полем скоростей, от которого зависит конвективный член в выражении и . Если, например, на бесконечно длинный цилиндр с поперечным сечением обтекаемой формы набегает равномерный поток, направленный перпендикулярно обрааующим цилиндра (рис.
18), то вследствие прилипания жидкости к поверхности Р и с. 18 цилиндра вихрь м на верхней стороне поверхности будет положительным, а на нижней стороне — отрицательным. Но, не вная поля скоростей, нельзя точно указать распределение и вдоль цилиндрической поверхности. Следовательно, применяя термическую аналогию, нельзя точно установить разность температур между верхней и нижней сторонами цилиндра. В случае рассматриваемого здесь стационарного течения жидкости локальная скорость изменения температуры до6 равна нулю и выражение для величины 6' в уравнении (2.8) сводится к конвективному члену о~д~6.
Уравнение (2.8) определяет связь между конвективным переносом тепла (левая часть) и теплопроводностью (правая часть). При достаточно малой скорости 0 набегающего потока, т. е. при малых значениях числа Пекле (1.17). конвекцня будет играть меньшую роль по сравнению с теплопроводностью. Следовательно, от ° личие температуры стенки от температуры набегающей жидкости будет заметно внутри жидкости далеко от цилиндра. Напротив, при достаточно больших значениях скорости У, т.
е. при больших значениях числа Пекле, конвекция будет Рл, И. Йязиие жидзасти играть более важную роль, чем теплопроводность. Поэтому влияние температуры стенки будет сказываться только в тонких слоях, прилегающих к верхней и нижней сторонам цилиндра, а также в области продолжения этих слоев вдоль полуплоскости х, ( О, ха=О. Аналогичного поведения следует ожидать и от завихренности м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
