В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. )г,э — — О. Если же абсолютная величина касательного напряжения Тц превысит предел текучести, то предполагается, что скорость деформации сдвига Ъ', будет иметь тот же знак. что и величина Тпн а ее модуль будет пропорционален равности 1 Тгэ( — К. При помощи коэффициента вязкости р и функции Р=1— К (Т 1 (1. 1) д Определяющее уравнение 167 указанную зависимость между касательным напряжением и скоростью деформации сдвига можно записать в виде ' 0 при Р< 0, РТ„при Р> О. (1.2) Р=1— К ,~Чз Ф (1.3) которая приводится к виду (1.1) при простом сдвиге. Соотношение Бингама П.2) для простого сдвига можно при этом рассматривать как частный случай определяющего уравнения 0 при Р < О, РТ» при Р,, О, (1.
4) Ф в котором Т» означает девиатор напряжений, а Р задается формулой (1.3). Согласно соотношению (1.4), тензор скорости деформаций для этого вязко-пластического материала представляет собой девиатор, т. е. материал является несжимаемым. Отрицательным значениям функции текучести (1.3) соответствует поведение материала как твердого тела; положительным значениям отвечают конечные скорости деформаций. ') В!виват В. С., р!и!дпу апд р!ввцспу, !Чем уогп, 1922, р. 215. ') Уравнение (1.2) еще раньше было предложено Е. Швеловым, поэтому правильнее говорить о материале Шведова — Бингамв.— Прим. ред.
') Нов епетвег К., Ргвяег *йг., Хе!!леде!у! у. алует. Магд. и. Меев., 12 (1932), 216. См. также Р г а 9е г )У., Масвп!цие дев во!!дев по!горев аи де!В ди дота!пе р!авпцзе, Рвг!в, 1937, р. 27 н О! дгауд А О., Ргае. Сатэг!дле Руи!ов. 3ое., 43 (1947), 196. Это определяющее уравнение для простого сдвига было впервые использовано Бингамом '), поэтому рассматриваемый вязко-пластический материал называется его именемв). Гоге- немзер и Прагерв) обобщили соотношение Бингама на случай произвольного напряженного состояния следующим образом: для простого сдвига основной инвариант ~', девиатора напряжений равен квадрату касательного напряжения.
Поэтому представляется естественным ввести функцию текучести 1бй Гл. Пт. Вязче-лластичсск. и идсальнс-лластичсск. млтсряллы Напряженные состояния, удовлетворяющие условию текучести Р = О. образуют границу текучести, на которой возникает нли прекращается вязко-пластическое течение в зависимости от направлення пересечения границы текучести.
Разумеется, соотношение (1.3) не представляет собой единственно возможного способа обобщения функции (1.1). л(ействительно, так так прн простом сдвиге Дз1 = О, то входящий в соотношение (1.3) основной инвариант ту,э можно. например. заменять любой функцией ннвариантов,у"> и,у,', с которая прв,1<а>=О обращалась бы в Дть Если не ставить требования об использовании исключительно аналитических функций для составляющих напряжений, то можно в соотношении (1.3) заменять величину Д'„'~' максимальным касательным напряжением, т, е.
половиной наибольшей разности между двумя главными напряжениями. Мы не станем развивать эту возможность, так как даже при использовании простейшей определяющей зависимости (1.4) и функции текучести (1.3) решение практнческн важных задач наталкивается на значительные математические трудности. Для разрешення второго уравнения (1.4) относительно девнатора напряжений возведем каждую часть этого уравнення в квадрат и, используя функцию (1.3), получим соотношенне 4рту. =РЦ", =(Д"'д — К)', где т щ — второй основной инвариант тензора скорости деформаций. Из соотношений (1.3) н (1.5) следует формула лд % 3п1 К+2нтф (1.
6) Таким образом. второе уравненне (1.4) можно запнсать в виде / К Тс1= 2р.+ —,) УО. р%) (1.7) Это соотношенне, справедливо, разумеется только для не равных нулю скоростей деформаций. Прн У, = О, т. е, прн жестком поведении материала, девнатор напряжений подчн- 169 2. Уравнение движения няется только условию Р ( О; таким образом, при жестком поведении материала сусл ( К . 2 Положив р = 0 в уравнении (1.7).
получим определяющее уравнение (1.8) для идеально-пластического материала, впервые рассмотренное Мизесом'). Это определяющее уравнение также справедливо только для ненулевых скоростей деформаций. Возведя каждую часть соотношения (1.8) в квадрат, получим, что прн отличных от нуля скоростях деформаций девиатор напряжений должен удовлетворять условию швкучесшп Мизеса Кгл =К . (1.9) Следовательно, определяющее уравнение (1.8) при не равных нулю скоростях деформаций должно быть дополнено требованием Д~ (К~.
Определяющие уравнения для вязко-пластического н идеально-пластического материалов связаны друг с другом таким же образом, как н определяющие уравнения вязкой и идеальной жидкостей. Поэтому для вязко-пластического материала с малой вязкостью эффекты вязкости должны проявляться в пограничном слое подобно тому, как это имеет место для жидкости с малой вязкостью. Однако, как мы увидим в п. 3, в вязко-пластическом материале могут встречаться пограничные слон различных видов.
2. Уравнение движения. Для несжимаемого вязко-пластического материала с определяющим уравнением (1.7) уравнение неразрывности (5.1) гл. 1Ч и уравнение движения (5.2) гл. 1Ч при отсутствии массовых сил принимают вид дупг — — О, (2.1) рдеюв+ро дую,= — д„р+рд уо +Кд ((г /7$). (2.2) Уравнение движения (2.2) применнмотолько тогда, когда не равны нулю скорости деформаций; оно отличается от уравнения Навье — Стокса (2.2) гл. Ч! только наличием нелинейного ') М! зев й., Гуляйпйег г1асагГсдсеп, тася. раув, Кд, (1913),582. 170 Г*. 'тП. Вязко-нластикеск.
и идеально-пластическ, материалы последнего члена в правой части. Этот член обращается в нуль в некоторой области течения, в которой имеет место зависимость 1, (х, 1) = р (х, 1) ~'зт ®. (2.3) где у(х. 1) — положительный скаляр, а 11т! (1) — симметричный девиатор. Действительно, из уравнения (2.3) следует, что выРажение Ът~е/3 <7! = Ю'~е/Ж'!з! зависит только от вРемени, ч так что последний член в уравнении (2.2) обращается в нуль. Любые движения ньютоновской жидкости, для которых выполняется соотношение (2.3), могут иметь место также для рассматриваемого здесь вязко-пластического материала.
Примеры таких движений можно найти среди прямолинейных течений. рассмотренных в п. 2 гл. Ч1. В случае е! — юз — О* т'з — Ф (х! ) (2.4) все компоненты скорости деформаций обращаются в нуль, ва исключением о, = о, = дгп(2. Соответственно атому Tп! = (В о/2)з и 1д У Й= 2! А~!. (2.5) Как и в п. 2 гл. Ч1, из анализа первых двух слагаемых в формуле (2.2) следует, что при прямолинейном движении (2.4) давление не зависит от координат х, и хз. При дзот О третье уравнение (2.2) упрощается и принимает вид рдоо= — дар+ рдпо+Кд!(адпдзо), (2.6) где заид!о равно +1 при дзо > О и — 1 при дзо < О. Так как в формуле (2.6) скорость о зависит только от х, и 1, а давление Р— только от хз и 1, то гРадиент давлениа дз)т может. самое большее, зависеть от времени.
Если градиент дзо имеет один и тот же знак во всей области течения и в любой момент времени, то последний член уравнения (2.6) обратится в нуль и тогда уравнение (2.6) совпадет с уравнением Навье — Стокса для прямолинейного движения (2.4). В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение, соответствующее начальному течению в вискозиметре Кузтта.
Для ньютоновской жидкости зто течение 2. Уравнение двиаеенил б А х~ Ф и Рис. 21 Для исследования этого течения запишем уравнение (2.6) в виде — др+д,Т, =О, нлн д,Т, = — с. Пря х,=й(2, в силу симметрии, касательное напряжение Т,з равно нулю. Поэтому сразу получим соотношение Т,з= 2 (Ь вЂ” 2х,). (2.7) Такое распределение касательных напряжения имеет место как в вязкой жидкости, так н в вязко-пластическом материале.
Пользуясь этим уравнением, определим сперва распределение скоростей в ньютоновской жидкости. Согласко было кратко рассмотрено в п. 2 гл. Ч1. Для этого течения производная д1о всюду н в любой момент времени отрицательна. Рассматриваемый здесь вязко-пластический материал будет двигаться такнм же образом, но абсолютное значение касательного напряжения в этом материале превысит соответствующее касательное напряжение в вязкой жидкости на величину К. В качестве примера течения вязко-пластического материала, отличного от соответствующего течения вязкой жидкости, рассмотрим установившееся прямолинейное течение между неподвижными параллельнымн стенками. Обозначим расстоян ие между стенками через й, а градиент давления через с (рис. 21, и). 172 Гл. У(Ь Вязко-пластическ.
и идеально-нластическ материалы формуле (5.15) гл. 1Ч, касательному напряжению (2.7) соответствует скорость сдвига т„с )утз = др = = — (Ь вЂ” 2.т,). 2 2и 4и Это распределение скоростей сдвига представлено на рис. 21, а прямой АА'. Из соотношения (2.8) получим дифференциальное уравнение дто = — (Ь вЂ” 2хт), 2и (2.9) где учтено начальное условие о (0) = О. Средняя скорость определяется выражением с аз ттс = 12и ' (2. 11) В силу формул (1.1) и (1.2). положительному касательному напряжению Тц) К в вязко-пластическом материале соответствуют скорости сдвига Ъ'ц — — (Тц — К)/(29). Это распределение скоростей сдвига представлено на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
