В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вт)Ъ = з1п29. (ат+ рт)ьт тензор напряжений (4.4) можно записать следующим образом: — р+ К з1п 29 — К соз 29 О Т, = — Ксоз29 — р — Кз1п2В О . (4.6) О О Р Чтобы выяснить механический смысл угла 9, рассмотрим круг Мора для элементов поверхности, параллельных оси хз и проходящих через произвольную точку Р плоскости ди хз. На рис. 22, а изображены три таких элемента: элемент РХг нормаль к которому имеет направление хн и элементы РА~ и РАп, для которых касательное напряжение Тз имеет соответственно наибольшее и наименьшее из всех значений касательных напряжений для любого элемента, проходящего через точку Р.
Следы двух последних элементов в плоскости хн хз определяют соответственно первое и второе направления скольжения в точке Р. Линия. которая в каждой из своих точек имеет первое направление скольжения, называется первой линией скольжения; вторая линия скольжения определяется аналогичным образом. Выбор положительных направлений на линиях скольжения, проходящих через Р, производится таким образом, чтобы первое и второе положительные направления скольжения были связаны 4.
Ллоснос эластическое течение 179 друг с другом таким же образом. как положительные направления х, и хз соответственно. Пусть на рис. 22. а прямая РА, представляет собой первое положительное направление скольжения, а прямая РАп — второе положительное направление скольжения. Угол Х,РА~ обозначим через 9. х, А б Р нес 22 Согласно равенству (4.6), круг Мора для точки Р имеет центр в точке А4 с координатами — р, 0 и радиус К.
Пусть Р' на рис. 22.б будет полюсом этого круга, а Х;, А~ и Ап — точками напряжений для элементов поверхности, изображенных на этом рисунке. Так как прямая Р'Х1 параллельна прямой РХ» а прямая Р'А7 параллельна прямой РАР то центральный угол, стягиваюпгий дугу Х~Р'А» имеет величину 29.
Таким образом, координаты точки Х1 определяются равенствами Ти=Тп= — р+Кз)п29. Т = — Т„=Ксоз29. (4.7) Так как эти формулы согласуются с выражением (4.6), то угол 9, введенный условиями (4.5), можно рассматривать как угол между отрицательным направлением хз и положительным направлением первой линни скольжения. Ординаты точек А~ и Ай на рис. 22,б определяют величины касательных напряжений вдоль линий скольжения. Вдоль первой и второй линий скольжения касательное напряжение Тз равно К и — К соответственно. Направление касательного напряжения в любой точке первой линии скольжения получается иэ положительного направления нормали 180 Гл. ПВ Везли-иластичеси.
и идеально-илостичеси материалы Чтобы получить частное реш ение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных для функций Р и 8, положим 8=8(хз). Тогда уравнения (4.8) принимают вид — д,р — Кдз(сов 28)=0. — дзр — Кд, (з!и 26) = О. (4.9) Исключая Р, получаем уравнение дтз (соз 28) = О. (4.10) Исследуем частное решение следующего вида ! 'л сов 28= —, з!п28= ~1 — — ь), (4.11) где Ь вЂ” постоянная.
Тогда из первого уравнения (4.9) получим соотношение Р= — К л'+У(хз). (4. 12) Второе уравнение (4.9) дает выражение р= — К(! — —,, 1 +д(х,). (4.13) В этих выражениях для давления функции )' и К представляют собой произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат хз и х, соответственно. Из соотношений (4.12) и (4.13) следует формула ь ~д Р=Ро К л — К !!! ль) . (4,14) путем поворота против часовой стрелки на 90'. Для второй линйи скольжения переход от направления положительной нормали к направлению касательного напряжения требует поворота на 90' по часовой стрелке.
Подставив компоненты напряжения (4.6) в уравнения равновесия (2.7) гл. П. получим уравнения — д,р+2К(д,8соз26+д,8 яп26)=0, ~ — д р+2К(д!6з!п26 — д йсоз28)=0. (4. 8) 1В! 4. Плоское алистическае течение где ре — постоянная. Теперь ив выражеиия (4.6) получаются следующие аиачеиия ненулевых компонент иапрюкеиий: т„= — р,-,к[р'-рр !р — „',) 1. т = — Ре+1( — „, х, (4. 16) хг тг= — К вЂ” * И ' т = — р,.рк~'р'.р(р — р',) ]. Чтобы получить поле скоростей.
совместимое с этим пог лем напряжений, в соответствии с формулами (4.6) и (4.11) положим т '/р а= (1 — — ) (аг-+6~Ус, р = — — г(аг+рг)УР. (4.16) Подставляя эти выражения для а и р в условие совмест- ности (4.3), получим дифференциальное уравнение -в частных производиых для величины (аг+рг) ', которое удовлетво- ряется, иапример, следующим значением: г -ррр (иг+ Рг)УР ( 1 (4.
17) где с — постоянная. Поле скоростей, соответствующее соотношению (4.17), можно получить следующям образом. Согласно формулам (4.2) и (1.11) гл. Ш, справедливы. равенства 1 а = дгог = — дгог р = (дгог+ дго ) (4 18) (4.19) С другой стороны, из равенств (4.16) и (4.17) следуют зависимости 182 Гл. УВ. Вязко-пластическ. и идеально-пластинеск. материалы Сравнивая формулы (4..!8) и (4.19), получаем дифференциальные уравнения для составляющих скорости. Легко убедиться, что составляюшие „з 1'д1 о,=с — + 2 1 — — ) ~, от= — с — (4.20) представляют собой частное решение этих дифференциальных уравнений. Из-за наличия квадратного корня в равенствах (4.15).и (4.20) области определения полей напряжений и скоростей ограничены полосой — й ~( хз ~<, й.
На границах х~ = — и и ха †й втой полосы имеем Т,~ =К. пз= с н Т,з = — К, зт = — с соответственно. Таким образом, найденное выше решение характеризует сжатие бесконечного пластического слоя толщиной 2Ь между параллельными шероховатыми жесткими плитами, если при этом соответствующим образом осуществлено плоское состояние течения ').
Соответствуюшая этому решению сетка линий скольжения может быть получена следующим образом. Пусть на рис. 23 Р— произвольная точка поля напряжений, а хз — ордината этой точки в интервале ( — й, й). Проведем через точку Р окружность радиуса Ь, центр которой лежит на оси х, и имеет абсцнссу, величина которой не меньше, чем абсйисса точки Р. Тогда прямая. соединяющая этот центр и точку Р, образует с положительным направлением хз угол 26, определенный равенствами (4.11). Линия, соединяющая точку Р с нижней точкой А круга. показывает, таким образом, первое направление скольжения в точке Р.
Если круг будет катиться по прямой хт= й, то точка Р опишет циклоиду я,. нормаль к которой в точке Р проходит через мгновенный центр вращения, т. е. через высшую точку В круга-. Следовательно, касательная к циклоиде я, в точке Р имеет первое направление скольжения. Так как это утверждение справедливо для любого положения точки Р, рассматриваемая циклоида представляет собой первую линию скольжения; следующая первая линия скольжения палучится из нее путем переноса в направлении оси хн Аналогично циклоида гя, описанная Р при качении рассматриваемой линни ь) Р г а и й 11 1, а. апйеш. Маса. ипй Месйн 3 (1923), 401.
4. Плоское пластическое течение скольжения по линни х, = — й, представляет собой вторую линию скольжение, и следующая вторая линия скольжения получается из нее путем переноса в направлении осн х,. Рис. 23 При хз-+й скорость сдвига р в формуле (4.19) неограниченно возрастает. Бесконечно большая скорость сдвига не противоречит концепции идеально-пластического материала; однако в вязко-пластическом материале при любом конечном значении коэффициента вязкости р бесконечно большая скорость сдвига соответствует бесконечно большим касательным напряжениям.
Поэтому для рассматриваемой задачи пренебрежение влиянием вязкости вблизи сжимающих плит недопустимо, и полученное выше поле скоростей представляет, строго говоря, только свободное течение вне пограничного слоя, исследование которого выходит ва пределы этой книги. В ааключение втой главы выведем важные геометрические свойства сетки линий скольжения (сетии Генки — Прандтля) для плоского пластического течения.
Если в рассматриваемой точке Р угол О равен к/2, то операторы д, и дт означают дифференцирование по первому и второму направлениям скольжения соответственно. При этом уравнения (4.8) принимают вид д,(р+ 2КО) = О, де(Р— 2КО) = О. (4.21) Ив уравнений (4.21) видно, что сумма р+2КО остается постоянной вдоль первой линии скольжения, а разность р — 2КΠ— вдоль второй линни скольжения, Из этой теоремы 184 Гл.
г!1. Вязко-класгикеск. и идеально-лласгическ. ииткриакы принадлежащей Генки' ), можно вывести следу!ощие геометрические свойства сетки линий скольжения. Пусть на рис. 24 АВ и С2) — дуги первых линий скольжения, на которых сумма р+2К0 равна постоянным величинам а и Ь соответственно. Аналогично' пусть АС и ВΠ— дуги вторых линий скольжения, на которых разность р — 2К0 равна постоянным значениям с и б соответственно.
Тогда в точке А имеем р+2К8= а и р — 2Ке= с, поэтому угол 0 в этой точке равен е 0 л — 4, . (4.22) Аналогично находим вначения угла 0 для другик точек: В Р+2КВ а Е а й Е Ь вЂ” с и чз л 4К ' с 4К (4.23) зь 0 4К В. св. Из формул (4.22) и (4.23) следует Рис.
24 равенство е, — в„= в, — е,; «.24) следовательно, угол, образованный касательными н двум первым линиям скольжения (АВ и СО) в точках их перксвчкния (А и С или В и 0> со второй линией скольжения (АС или В2)). нв зависит от выбора второй линии скольжения. Так как равенство (4.24) можно записать в виде е, в, = е, е„, (4. 25) то в только что сформулированном утверждении слова „первая" и „вторая" можно поменять местами.
Важный частный случай возникает тогда, когда отрезок АС линни скольжения прямолинеен. Тогда, в силу теоремы Генки, отрезок В0 линии скольжения также должен быть прямолинейным. Следовательно, прямолинейный отрезок ') Неве)!у Н., 2. алйееь Маг». ипй Мвса., 3 (1923), 241; р г а и й ! 1 1., там же, 401. результаты, содержащие выводы Генки и Прандтля как частный случай, см. в классическом труде Массо по механике грунтов (м аз з а и 1., Мащо!ге зиг !'!и16игл!!оп йгарыЧие йез Ьииапопз аих йаг!таез рагнеиез, Ейн!оя йи Сев!еиа!ге, Вгизве!з, 1%2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
