В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 34
Текст из файла (страница 34)
и р называются постонннылги Лалгег). Чтобы выразить деформации через напряжения, произведем свертывание в формуле (3.6), подставим полученное значение Уее в (3.6) и разрешим полученное уравнение относительно Уг1; в результате получим соотношение 1 ! У„= —,~ту —, Т,„З„). (3.7) В качестве примеров применения равенства (3.7) разберем некоторые частные случаи. Одноосному напряженному состоянию, в котором отлично от нуля только напряжение Тц, соответствует деформированное состояние.
определяемое следующими равенствами: 1+я Мт2)г ' )) и )е. 2 ги"' )3'8) Все остальные комйоненты деформации равны нулю. Отношение одноосного напряжения Тц к соответствующему относительному удлинению Уц называется модулем упругости ') Неоне й., Ре ро!еица геиг!!инта, 1.аидов, 1678. ') 1. а ш а 0.,1есоии зи! !а або!!е ша!пеша!!йие бе 1!в!зз!!снй деи согри ео1!йвз„рагы, 1862. Например, очень малые прогибы балок могут вызвать нежелательные трещины в штукатурке потолка, а малейшее увеличение диаметра ротора турбины может привести к контакту ротора с корпусом и оказаться причиной аварии. В подобных случаях малые конечные перемещения иг(х) из однород-.
ного ненапряженного состояния обычно рассматриваются как бесконечно малые. Соответствующая им дефорлгаиин. по аналогии с формулой (3.4), определяется в виде д Окрестность яенаяряжеяяого состояния 197 Гидростатическому напряженному состоянию Т, = — рй, соответствует состояние деформаций рвы г! ЗЛ+2и ' (3.10) Отношение давдения р к выаванному им объемному сжалгию — У называется модулем объемного сжатия и в технической литературе обоэначается через К. Согласно формуле (3.10), получим равенство К= Л+ — Р.
2 3 (3.1 1) Наконец, напряженному состоянию простого сдвига, в котором отличны от нуля только напряжения Т, = Тт, соответствует состояние деформаций. определяемое соотношением У„=Ую=т,,)(2 ), (3.12) тогда как все остальные компоненты деформации равны нулю. Отношение касательного напряжения Тж к соответствующему иаменению угла 2У,г называется модулем сдвига и обозначается через О. Следовательно„из формулы (3.12) получим равенство О=р. (3.13) Можно ожидать. 'что гидростатическое давление не приведет к увеличению объема.
С другой стороны, уменьшение ') у о и ай Т., А Соигее о1 $.есюгег оя Ха!иге! РЬПогорЬу апй гве Месвав!са1 Агы, Ьовйоя, 1807. г).р.огаеоц 3.'0., Ма~о е'е(е г. 3 д, (Р ге), 8 (1323), 337. (модулем Юнга ')). Как видно ив равенств (3.8), относительное удлинение Уп в осевом направлении сопровождается относительным сжатием — У г= — У г в обоих поперечных направлениях; отношение последней из этих величин к первой навывается коеффициенлгом Пуассона г).
В технической литературе модуль упругости и коэффициент Пуассона обычно обозначаются через Е.илр соответственно. Согласно формулам (3.8), выражения для этих величин имеют вид и(ЗЛ+2„) Л Л+ ' 2(+ )' ('? Гл. (тШ. Гилоулругие материалы объема должно быть конечным. Следовательно, модуль объемного сжатия может принимать только положительные значения.
Аналогично следует ожидать. что направление сдвига, вызванного напряженным состоянием простого сдвига, всегда совпадает с направлением касательного напряжения. Поэтому модуль сдвига должен быть положительным. Наконец, для несжимаемого материала величина К, а, следовательно, и величина )„ должны неограниченно возрастать. Эти условия приводят к слелующим неравенствам для постоянных Ламе: 3 1* 2 (3.
14) В силу приведенных неравенств и формулы (3.9) для модуля упругости и коэффициента Пуассона имеют место следующие неравенства: 0(Е(3р, — 1(а( —. 1 2' Следовательно. простое растяжение не может вызвать укорочения в направлении действия растягивающих напряжений. однако полученные неравенства не накладывают ограничения на знак изменения поперечных размеров.
4. Основные уравнения статики упругого тела. Все примеры, разобранные в предыдущем пункте, Относятся к однородным напряженным и деформированным состояниям; поэтому в рассмотренных примерах при начальном ненапряженном состоянии компоненты смещений линейно зависят от координат. Исследуем теперь общие поля смещений. причем, как и прежде. смещения будем считать бесконечно малыми. . Рассмотрим изотропный гипоупругий материал, который в олнородном ненапряженном состоянии заполняет часть У пространства, ограниченную регулярной поверхностью Ю. Поставим перед собой следующую вадачу: для заданного в объеме У поля смещений и,(х) требуется определить массовые и поверхностные силы, которые действуют на элемент объема и на элемент поверхности тела соответственно и при которых он в деформированном состоянии может оставаться в равновесии. Пусть любая частица в начальном однородном ненапряженном состоянии ванимает положение Р с координатами хг, 4.
Основные уравнения статики унругиго тели - 199 а в деформированном состоянии заиимает соседнее положеиие Р' с координатами х,+ип Деформация У, окрестности этой частицы определается из равенства (3.5), а соответствующее напряженное состояние — из уравиеиия (3.6). Строго говоря, это напряженное состояиие относится к точке Р', однако в рамках нашего исследования, где перемещения считаются бесконечно малыми, это напряженное состояние можно отвести к точке Р.
Таким образом, согласно уравиеииям (3.6) и (3.6), поле напряжений имеет вид Тчу — — Лдлилй, + р(дчн +дти,). (4.1) Чтобы тело в деформированном состоянии осталось„в равиовесии, к элементу поверхности Ы8 с единичной внешней нормалью ч нужно приложить силу (см. формулы (1.2) и (2.9) гл. 1Ц Т7И8=Тнч д8=фдитч,+р(ди +д и)«1]д8, (4.2) а к элементу объема «У приложить силу рК,НУ= — дгТдд '= — ((Л+р)д,1н +рдея,\дУ. (4.3) Поскольку перемещения 'частиц в наших рассуждениях считаются бесконечно малыми, плотность р в формуле (4.3) можно считать постоянной и равной плотности рз в одиородиом иачальиом сдстояиии. Простейшая проблема статики упругого тела состоит в, обращении приведеиной выше аадачи: для заданных поверхиостиых напряжений Т)' и удельных массовых сил Кг требуется определить перемещения н,(х).
удовлетворяющие соотношениям (4.2) и (4.3). Сейчас мы рассмотрим более общую задачу. В то время как внутри объема У задаются все три составляющие удельиой массовой силы, иа поверхности 8 ие обяаательио должиы быть заданы все три составляющие поверхностного напряжения Т~~'. Если в какой-либо точке поверхности ие заданы некоторые составляющие Т)", то вместо иих должны быть задаиы соответствующие компоиеиты ин Требуется л«пределить такое поле смещений ич(х), которое всюду в объеме У удовлетворяет соотношению (4.3); иа поверхиости 8 компоиеиты смешений и вычислеииые из формулы (4.2) компоненты йб Тл. РШ. Гилоупрйгаа лптерилла (Т, '— Т™,)(и* — и".) т, = О.
(4.4) Легко показать, что для рассматриваемой общей краевой за- дачи равенство (4.4) справедливо в каждой точке поверх- ности 8. Отсюда следует соотношение ~ (Т;> — Т))(и'. — и",) «„л8 = О. (4.5) Преобразуя это соотношение по формуле Гаусса. получаем уравнение ~ (д Т; — д,Т, )(и', — а"*)А~ + + ~ (Т", — Т, )(дги' — д и")й('=9. (4.6) поверхностных напряжений должны принимать заданные значения. В приложениях особенно часто встречаются следующие частные случаи этой краевой задачи: а) на всей поверхности тела заданы напряжения ТЙ б) на всей поверхности тела заданы смещения и;, в) на части поверхности 8, заданы напряжения Т)', а на остальной части поверхности Яз заданы смещения ин Доказательство существования решений сформулированной выше общей краевой задачи при соответствующих предположениях о непрерывности граничных значений выходит ва рамки настоящей книги.
Предполагая, что решение су- Ф ществует, исследуем его единственность. Пусть имеются два решения для полей смещений й и и~, и пусть У; и У, — соответствующие поля деформаций. а Т*, и Т," — поля напряжений. Допустим, что рассматриваемый гипоупругий материал является сжимаемым, т. е. что его молуль сжатия К и, следоваФельно, постоянная Ламе Х, конечны. Если, например. в какой-либо точке поверхности заданы составляющая напряжения Т~~ и составляющие смещений из ги и из, то в этой точке должны выполняться соотношения Т;,», — Т"„'ч, = О.
и', — а, = О, и', — вз = О, и, следовательно. справедливо равенство 4. Основные уравнения статшш упругого тела 201 1 Ац — — 3 Аггйц+Ац (4.1 1) и выражение (4.9) можем записать в виде ( ° ) 2 г / + 3 рт) А«Аи+2рА„А</. (4. 12) Это выражение представляет собой сумму квадратов. Коэффициентами в формуле (4.12) служат положительный модуль сжатия (3.11) и положительный модуль сдвига (3.13).
Следовательно. сумма квадратов (4.12) неотрицательна и может обратиться в нуль только тогла, когда обратятся Ф в нУль одновРеменно Ан и А<7', тогла, в 'силУ соотношет ния (4.11), Ац — — О. а это означает, что и<1= игр Выражение (4.12) было получено путем преобразования подинтегрального выражения уравнения (4.7). Это подинтегральное выражение неотрицательно и обращ<ется в нуль Только при и<7 = иц. Чтобы было выполнено уравнение(4.7~, Так как поля напряжений Т; и напряжений Т, должны удовлетворять условию равновесия (2.7) гл.
11 при заданных массовых силах К<, то 'величина. стоящая в первых скобках первого подинтегрального выражения, обращается в нуль и уравнение (4.6) упрощается н принимает вид / (Тц — Т<))(дси' — д и )<ВЫ=О. (4.7) Вследствие симметрии тензоров напряжений Т; и Т, подинтегральное 'выражение в формуле (4.7) можно записать в следующем виде: (Т; — Тц)(д<,и~* — д<,и, 3=(Т; — Т<"')(и;. — и,;") (4.8) Согласно закону Гука (3.6). правая часть уравнения (4.8) равна следующему выражению: ) (и;, — ии)(и*„— и"„)+2Р (и;, — и,",)(и;, — и,",), (4.0) Для простоты положим Ац = и'ц — и,", (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
