В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Основные уравнения нинелгини упругого ягела легко получаются из формул (4.13), если дог пустить, что бесконечно малые перемещения и! зависят. пе только от положения, но и от времени, и если заменить удельную массовую силу К, величиной — дшии Таким. образом, получим соотношение Рдшиг — — Рддиг+ (Л+ Р) дйир (7.1) Чтобы исследовать распространение плоской упругой волны в бесконечной упругой среде, выберем направление оси хз ортогональным направлению распространения волны и обозначим через 1, единичный вектор, имеющий направление .распространения волны. Мы будем говорить о продольных или поперечных волнах в зависимости от того, колеблются ли частицы в направлении распространения волны или в перпендикулярном направления.
Если типичная частица испытывает гармонические колебания. то продольная волна с направлением распространения 1и амплитудой А, длиной волны Л и скоростью распространения с определится в виде 2н (!рхр — ег) и,=А1,з!и (7.2) Гд г111. Гвлеулругие материалы Из соотношений (7.2) и (7.3) следуют равенства Э12зтв 12ч тэ дщи, = — сэ ~ — ! ип д~1а„= — ~ — ) 1~11иа. (7.4) Чтобы выражения (7.2) и (7.3) удовлетворяли уравнению (7.1), скорости распространения волн должны иметь следующие значения: сс — — НЛ + 2Р)/Р1'а (7.8) — для продольных волн и сг (р/Р) (7.8) — для поперечных волн.
Заметим. что для рассматриваемых здесь гармонических волн бесконечно малой амплитуды скорости распространения (7.8) и (7.6) не зависят от амплитуды А и длины волны й. Это положение справедливо и для более широкого класса волн. которые можно получить путем суперпозиции гармонических' волн, например при помощи рядов Фурье .или интегралов Фурье. Отношение скоростей сс н сг можно записать в виде ~2(1 — а) ~а ст (7.7) оно вависит только от коэффициента поперечного удлинения а. но не зависит от модуля упругости Е н плотности р.
В неограниченной упругой сплошной среде каждый из двух видов волн может возникнуть отдельно. Однако в ограниченном объеме сплошной среды граничные условна. как правило. требуют одновременного появления волн обоих видов. Покажем это на примере упругого полупространства х; ( О, граница которого свободна от поверхностных усилий. -Таким образом, на плоскости х, = 0 компоненты напряжений Тц, Т, и Т, равны нулю в любой точке и в любой момент времени. Рассмотрим продольную волну 2з(1 х — е 1) и,'= А,1, з(п (7.8) да с амплитудой Ас и длиной волны Лы распространяющуюся в-направлении единичного вектора 1н который предполагается 221' 7. Улругяг волны ортогональным осн хз.
Легко видеть. что эта волна не удовлетворяет граничным условиям на свободной от усилиЯ границе х, = О. Действительно, деформации. соответствующие формуле (7.8), имеют вид 2лА 2л(! х — г Г) и„=1,1, ' соз (7.9) с д Так как сг1г=1, то, в силу закона Гука (3.6), напряжения можно записать следующим образом: 2лА 2л(С х — г Г) Тг — (Л80+ 2рЦ) — соз . (7.10) д д Таким образом, при х, = 0 мы получим соотношения з, 2лА 2л(1 х — г Г) — Т, = (Л+ 2911) — -~- соз с с 2лАс 2л(1 х — г 1) Тж — — 29(,1з — с соз с д Тгз= О.
(7.1 1) 2л(г х — гсс),, 2л(1 х — гса) и,= Ас(г з(п +Ассг з(п ", + с дс 2л(е. х — г Г) + Аге, зяг в(п ° (7.12) Тождественное равенство нулю зтих составляющих напряжений при. любых значениях х, и г возможно только в случае, когда амплитуда Ас равна нулю. Следовательно, если в полупространстве х, ~(0 возникает падающая волна (7.8) .с отличной от нуля амплитудой. то для того чтобы были удовлетворены граничные условия при х, = О, одновременно должны появиться олграженные волны. Наложим на волну (7.8) продольную волну с направле- Р Ф г нием распространения 1ь амплитудой Ас и длиной волны Лс и поперечную волну с направлением распространения гпп амплитулой Аг и длиной волны йг, причем примем. что / 1з=тз=О. Тогда получим выражение Гл УШ.
Гипоупругие материалы Аналогично предыдущему из выражения (7.12) определим поверхностные усилия 2яА 2п(! х — е Г) ум =() + 2рф — г сов +(),+ 2 1~в~ 2пАг 2п(ггхг — евг) + Р г ) , сов , + ~в дс 2яА, 2п (гл х — стг) + 2ршгпьг — т сов ' ' т, (7.!3) 1 дт дт 2яАв 2е(1 х — е Г) Т,г — — 291г(г в соз г г с + ,1, 2пАс 2я (ггхг — ссг) + 291г)г, соз д,' дт 2пА. 2е(ы х — етт) +'р (тг — тг) сов ' ' т, (7.14) ~т л-т т, =о. (7.15) Компоненты напряжений (7.13) и (7.14) будут равны нулю при любых значениях хг н Ф лишь в том случае, когда будут совпадать аргументы у трех функций косинуса. Таким образом, получаем равенства св ес (7.16) л д дв д га е е г г г т (7.17) Ив равенств (7.16) следуют соотношения 1г=(,', Л,=Л;. (7.18) Так как 1г и 1г представляют собой единичные векторы с третьей компонентой, равной нулю, то нз первого соотношения (7.18) получим равенство 1 =+1.
(7.! 9) 7. Улрягяе эолкм Если положить 1г=1г, то обе продольные волны можно скомбинировать и из граничных условий найти равенства Ас= — Ас. Аг = О. т. е. и,и- О. Поэтому полагаем 1 = — 1г. (7.20) Тогда ив равенств (7.17) следует соотношение гз дс сс (7.21) г 'г В соответствии с рис. 26 введем в рассмотрение углы а, а' и р между осью л, и направления и распростраиения волн. Тогда первое равенство (7.18) и равенства (7.20) и (7.21) можно х, скомбинировать следующим обра-, у~~,;~,~ ° зом: з!Па йс с а=а', — = — с = — с.(7.22) А~'~~ Приравнивая нулю касательные ф напряжения (7.14) и используя равенства (7.18) и (7.22), получаем уравнение г 2 (Ас — Ас) соз а з1п 6— — Аг соз 2() = О.
(7.23) г'Г 1 Аналогично, приравнивая нулю иормальные напряжения (7.13), находим уравнение (Ас+ Ас)(Л+ 2р,созва) в!и р— — Агр з(п 26 з!п а = О. (7.24) Преобразуем это уравнение, записав выражение во второй скобке в виде Л+2р — 2рйпзк и заменив, в салу формулы (7.6) и (7.6) и второго равенства (7.22), величину Л+ 2р на рз!пта)з!птр. Таким образом, получим следующее уравнение: (Ас+ Ас) з1п асов 2р — Аг в!и 6 з!и 26 = О. (7.26) Характеристики отраженных волн получаются из характеристик падающей волны следующим образом. Углы а' и 6 определяются ив соотношений (7.22), а длины волн йс и бг— Ряс.
26 224 Гл. УПГ 'Гилоуиругие материалы ив вторых равенств (7.18) и (7.22). Тогда уравнения (7.23) и (7.25) образуют неоднородную линейную систему для опре- деления амплитуд Ас и Аг. В ограниченном упругом континууме нзряду с рассмо- тренными до сих пор продольными и поперечными волнами могут появиться иоеерхнослгные волны. Чтобы показать зто, рассмотрим вновь полупространство х, ( О. поверх- ность которого свободна от усилий. Положим и, = А, ехр [ахг+ (р (хг — сг)[, (7.26) где А,— амплитудный вектор, третья составляющая которого равна нулю, а 1 — мнимая единица. Коэффициент а в фор- муле (7.26) должен быть вещественным и положительным; так что при х, = — со величины смещений стремятся к нулю. Согласно соотношению (7.26), получим равенства доги, = — сгйги,, д и =(айю +1~8гр)(айге+Ще)и,. (7.27) Пользуясь выражениями (7.8) и (7.6), уравнение движения (7.1) можно записать в следующем виде: сг()ги =сгг(аг рг) и +(сг — сгг)(аЪ, +Срйг)(аи +(риг) (7.28) После подстановки выражения (7.26) для величины и, и сокращения общего экспоненциального множителя вектор- ное уравнение (7.28), третья компонента которого тождест- венно равна нулю, позволяет получить для амплитуд А, и Аг следующие однородные линейные уравнения: [се аз+(сг — сг) рг1 А + Ю (се — сг) арА = О, ~ (7 29 1 (сгс — сгг) афАг+ [сггаг+(сг — сг) ~г1 Аг — — О.
! Чтобы система (7.29) имела нетривиальное решение, де- терминант, составленный из ее коэффициентов, должен равня- ться нулю. Это условие можно записать в виде Для величпны а получаем отсюда следующие значения: е' г'Л е г е' г'Л а' р 1 — — г~, .а=1~1 — —,~ . (7.81) с 7. Унругие волны Для того чтобы значение а было вещественным. достаточно выполнения неравенства с с. сг, так как, согласно формулам (7.5) н (7.6), сс ) сх. Подставляя выражение величины а' в первое уравнение (7.29), определим амплитуды с точностью до некоторого общего множителя.
С' в следующем виде: Ф А1= — 1а С, Ая=рС (7.32) Теперь мы должны учесть условие. что на поверхности л~ —— О компоненты усилий Тп, Тт и Т должны тождественно обращаться в нуль относительно величин хя и г. Из выражения (7.26) получим соотношение У =-зн. (ай~р+фйз )и + — ((йг +фйяе) ир. (7.34) Согласно формулам (3.6), (7.5) и (7.6), находим равенства Т (р= стаи +(сс — 2сг)фи Т, /р = с' (фи, + иия) Т„~р=о. ' Есии положить (7.35) и,=А,ехр(а х1+ф(хя — сг)]+ + А„" ехр]а"х, +ф (хя — су)] (7.36) то из условия равенства нулю поверхностных усилий н ра- венства (7.32) и (7.33) можно получить для величин С' и С" следующие однородные линейные уравнения: (7.37) 15 в. пел е С другой стороны, значению а" соответствуют амплитуды А1= — фС, Ая= — аС. (7.33) Гп Пг!.
Гипоупругие материалы В силу соотношения (7.31), детерминант, составленный из коэффициентов этих уравнений, обращается в нуль, если выполнено равенство 2 — — т = 16 1 — г и 1 з (7.38) Для краткости положим 'т — =а 2 сс ст — = Ь. з (7. 39) Тогда равенство (7.38) примет вид Ьз — 8Ьз+ 8 (3 — 2а) Ь вЂ” 16 (1 — а) = О. (7.40) Если, например, коэффициент Пуассона равен '/4, то из формулы (7.7) следует соотношение т (7.41) с~с 3 и равенство (7.40) сводится к виду (ЗЬт — 12Ь+ 8) (Ь вЂ” 4) = О. (7.42) (7.43) Ему соответствуют следующие значения величин: с = 0,9194 ст (7.44) а' = 0,8475 р, а" = 0,3933 р, С" = 1,4679 С'.
(7.45) Полагая С= — !рС' и рассматривая только вещественную часть величины и„получаем решение и, = С (0,8475е™ вЂ” 1,4679е 'е ) соз р (хз — с!),! ') (7.46) ит = — С (ее и — 0,5773е""~) з(п р (х, — сг), в котором а' и аи нужно определять по принятым значениям р, пользуясь формулами (7.45), а величина с задаетая равенством (7.44). Единственный корень этого кубического уравнения, который дает вещественные значения а, имеет вид 7. Укруаио волки Эти поверхностные волны называются по имени открывшего их ученого волнами Ролан '). Согласно равенству (7.44), скорость распространения волн Рвлея несколько меньше скорости поперечных волн. Так как величины а' н а пропорциональны величине р и, следовательно. обратно пропорциональны длине волны, то прн удалении от поверхности короткие волны ватухают быстрее, чем длинные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
