В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 40
Текст из файла (страница 40)
3 гл. Ч!!!. Это обстоятельство и оправдывает введение в равеистзо (1.6) миожителя '/к Рассмотрии теперь три материальных линейных элемента, исходящих из частицы Р, ио ие лежащих в одной плоскости. Пусть в мгновенном состоянии эти линейные элемеиты заданы бесконечно малыми векторами бхп йх, и Ьхр Согласно формуле (6.4) гл. 1, мгновенный объем параллелепипеда, опреде-' ляемого этими тремя векторами, равен 1.
Тенэор деформицйй Альминеи Согласно равенству (1.3), соответствующий объем в начальном состоянии выразится следующим образом: НУ=е,1ьд а,д ад,азс(х йх Ьх,, (1.15) Янобаан да преобразования (1.3) определяется в виде д,а, д,аз д,аз да = дта, дзаз дзаз дза1 дзаз дзаз (1.16) Легко убедиться в справедливости равенства з, „дра,деа д,а = даз (1.17) Используя соотношение (1.14). равенство (1.13) можно записать в виде Шl = да дУ. (1.13) Таким образом, коэффициент объема йУ1~У равен величине, обратной якобиаиу да.
Закон сохранения материи требует, чтобы не равному нулю мгновенному объему соответствовал не. равный нулю начальный объем. Следовательно, якобиан да не может равняться нулю. Согласно п. 7 гл. 1, симметричный тензор У,1 имеет по крайней мере одну систему главных осей. Если вти главные осн принять за координатные оси, то матрица тензора деформаций примет диагональную форму.
В силу равенства (1.13), это означает, что материальные линейные элементы, исходящие нз рассматриваемой частицы Р в главных направлениях У;1, были ортогональнымн и в начальном состоянии. Таким образом, для частицы Р существует тройка материальных направлений, которые ортогональны как в начальном, так и в мгновенном состояниях. Если отметить эти направления в начальном состоянии, то окрестность Р можно перевести из ее начального положения в мгновенное так: 1) перенос. переводящий частицу Р в новое положение; 2) вращение, в результате которого отмеченные направления должны совпасть с соответствующими главными направлениями тензора деформаций Альманси, и 3) одновременное удлинение по этим трем главным направлениям, посредством которого, например, коэффициент длины )ц для главного Ге. 1Х. Коиечиме деформации направления ф должен быть связан с соответствующим глав- ным вначением (гг тензора деформаций зависимостью Л, = (1 — 2и,)-'*.
(1.19) Вследствие стационарного характера главных значений симметричного тензора второго ранга (см. п. 7 гл. 1), при переходе от главного направления к смежному направлению коэффициент длины остается стационарным. Из формул (1 19) и соответствующих формул для других главных коэффициентов длин Лп и Л,п, а также из равенства ФУФУ = Л~ЛпЛщ получаем соотношение (-) = ФР те — „~) =(1 — 2и,)(1 — 2ип)(1 — 2иш)= = 1 21~0> = 4~<Ю 83~<ар, (1 20) где Упп У<з1 и У<з> — основные инварианты тензора деформаций Альманси. Если движение сплошной среды задано в виде (1.3), то соответствующее представление (1.1) этого движения можно получить следующим образом. В то время как положение х, движущейся частицы изменяется, ее обозначение а, остается неизменным. Следовательно, материальная скорость изменения а, равна нулю.
Тогда, согласно формуле (4.8) гл. 111, получим равенство (1.21) ордра, + дза, = О. Три компоненты этого векторного уравнения образуют систему трех неоднородных линейных уравнений относительно составляющих скорости ор(х, 1). Детерминант. составленный из коэффициентов этих уравнений. представляет собой якобиан да преобразования (1.3). Как было показано выше, этот детерминант не может обратиться в нуль, так что три уравнения (1.2!) всегда дают единственные выражения для составляющих скорости как функций координат и времени. Из уравнения (1.21) следует равенство (дра~)' = (до+паде) д а~ —— — - д» (да+езда) аг — д,р„деа, = — д оедеа. (1.22) 2.
Тенеор деформаций Грина Учитывая соотношения (1.б) н формулу (4.8) гл. П!, получим следующее выражение для материальной скорости изменения тензора деформаций Альмансн: 1 Урд = — — [(д а,)' д а,+ д а, (дда))'] = дров(2 8~~ У~~)+д~о~(2 8~~ У~р) = \ рд — Урьддоь — Удьдроь. Если в этом уравнении мы запишем векторный градиент поля. скоростей как сумму его симметрнчной н антиснмметричной частей н в црлученном уравнении используем симметричные н антнснмметрнчные свойства тензоров, то найдем соотношение Урд Урьд [ьод) Удьд (ьор) ]ярд Урь]Гьд Удь]гьр (1 24) Левая часть этого соотношения построена аналогично выражению (1.7) гл. Ч111 для скоростей изменения напряжений. Поэтому мы назовем ее скоростью деформаций Альманси н обозначим через У.ь.
Из зависимости У',„= ]Ä— У„]Ä— У„1 „. (1.25) эквивалентной соотношению (1.24), следует, что в начальном состоянии (У)ь — — О) скорость деформацнй Альмансн У~~а тождественно равна скорости деформаций У „. 2. Тенвор деформаций Грина. С математической точки зрения весьма привлекательна простота использования формул предыдущей главы, полученных в переменных Эйлера. Однако с физической точки зрения переменные Лагранжа кажутся особенно удобными для описания движения сплошной среды, начальное состояние которой представляет собой не произвольно выбранное состояние отсчета, а естественное состояние, например однородное ненапряженное состояние упругого тела.
Прн использовании переменных Лагранжа особенно просто научаются все кннематнческие вопросы. Однако, как мы увиднм в п. 4, за это пренму)цество прн научении кинематики приходится расплачиваться некоторым усложнением прн изучении статики. Так как в качестве независимых переменных теперь используются начальные координаты а) н время, то для обо- Гд 1Х. Конечные деформации (2.4) виачеиия частного дифференцирования по этим переменным нужно ввести новые символы. Частное диффереицироваиие по переменной а~ будем обозначать посредством оператора Ор а частное дифференцирование по времени — посредством оператора Оо. Действие этих операторов будет распростраияться только иа иепосредствеиио следующий за ними символ, если обратное ие будет указано посредством круглых или квадратных скобок.
Как и прежде, рассмотрим материальные линейные элементы РР' и РР, которые в начальном состояиии представлеиы векторами да, и йаа а в мгновенном состояиии — векторами дх, и йхр По аиалогии с формулами (4.4) запишем равенства дх, = О~х, дар йх~ —— Оех~ оае. '(2.1) Подстановка первого равенства (2.1) в первую из формул (1.4) и обратная подстаиовка приводят к соотношениям д а,й)х =о,р Орх,д)ар —— Ь,р (2.2) При фиксированном индексе / первая из этих зависимостей представляет неоднородную систему линейных уравнений для величин В)хп Р)хм О~хе. Так как детермииаит из коэффициеитов этих уравнений представляет собой ие равный нулю якобиаи да.
то величины В хр можно однозначно выразить черев величины д ар Дифференцирование первого уравнения (2.2) по д,а, приводит к соотношению д (В)хр) Умножая это соотношение иа В,хе и используя выражеиие (2.2), получаем равенство д (В)хе) -х (д — -)- = — 0~х,Веха. Аналогичным путем находим следующее равенство: д (дале) ,(, „) — — д,а,д,а,. (2.5) Из равенств (2.1) можно получить зависимость дх, Ьх, — да,Ьа, = (Цх,Оех, — В~о) да)йав.
(2.6) 2. Тензор деформаций Грина Эта вависимость подсказывает возможность ввести тензор деформаций Грима ') — 1 У7„— — — (О)х 7) х~ — 3 ). (2.7) Чтобы выяснить механический смысл составляющих этого теизора, поступим так же, как в п. 1. Вместо соотношения (1.7) имеем теперь равенство йз Ве = = соз 8 — соз 8 = 2У,рддр йе Ве в левой части. которого обозиачеиия имеют тот же смысл, что и в соотношении (1.7), а величины а, и ~,— единичные векторы с иаправлеииями Йа~ и Ваг соответственно. Некоторый материальный лииейиый элемент, имевший з начальном сослгоянии иапрзвлеиие вектора а,, будет иметь козффициеит длины Р1 = (1+ 2йц)'*. (2. 9) Первоначально прямой угол между материальными линейными элементами, которые в начальном состоянии имели направления а, и аз. соответственно уменьшится иа величину и = агсз(п = -пи 21гы ХпФ~> ' (2.
10) ') О геев О., Тганз. СатагЫйе Ргнгок Бос., 7 (1839 — 1842), 121. Соотношения (2.9) и (2.10) показывают. что ири бесноиечно малом деформироеании из начального сосшояния составляющая Уп представляет собой удлииеиие в иаправлеиии а,, а составляющая У,г — половину уменьшения угла между направлениями а, и аз.
Таким образом, теивор деформаций Грина совпадет с теизором деформаций, введенным в п. 3 гл. ЧШ. Таким же путем, как и в п. 1, можно показать, что коэффициеит объема ИУ/йУ задается якобиаиом 7)х с ти пичиым элементом 0,хр Это следует также из того факта, что проивведеиие якобйаиов преобразования (1.2) и обратного преобразования (1.3) должно равняться едииице. Гд ГХ, Конечные деформации. Якобиан Ох, так же как и якобиан да, не можт равняться нулю, так как зто нарушило бы закон сохранения массы. Главные оси и главные значения симметричного тензора У<> можно интерпретировать механически таким же образом, как зто было слелано для тензора У<Г Как было показано в п. 1, для типичной частицы существует по меньшей мере тройка мгновенных взаимно ортогонрльных материальных направлений, которые и в начальном состоянии были взаимно ортогональны. В то время как мгновенные направления определяют систему главных осей тензора У)р соответствующие начальные направления определяют систему главных осей тенэора У .
Таким образом, коэффициент длины Х( для первого главного направления можно записать или в виде (1.19), или. используя равенство (2.9), в виде Х( = (1 +,2У,) Ь. Соответствующие главные значения двух тензоров деформаций связаны друг с другом соотношениямй вида У,= У', - й, = У' . (2.11) 1+2й( ' 1 — 2У) Иэ соотношений (2.11) легко получить вависимость между основными инвариантами обоих тенэоров.
Например, можно найти зависимость — — >г<,> + 4>г<ч> + 12>г<ч> 1г„> = У<+ Ун+ Уп< =, . (2.12) >г(!) — ><(е) — )г(В) Если движение сплошной среды задано в виде (1.2), то другое представление (1.1) можно получить следующим образом. Частное дифференцирование по времени( выражения (1.2) приводит к равенству о< = ч)) (а. г) = глох<. (2.!3) Обе части равенства (2.13) представляют собой, разумеется, функции' лагранжевых переменных а и 1. Однако, так как выражение (1.2) представляет вааимно однозначное отображение начальной конфигурации на мгновенную, соотношение вида (1.2) в принципе приводит к эквивалентному соотношению вида (1.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
