В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Из соображений о единственности, приведенных в п. 4, следует, что наша краевая задача теории упругости не допускает поля перемещений вида. отличного от соотношений (5.!). После того как будет решена задача Неймана для функции депланации ~р, напряжения и деформации в закрученном стерт жне легко находятся из соотношений (5.2) и (5.3). р В предшествующем рассмотрении вадачи о кручении основными неизвестными были компоненты сме- «х, щения. В дальнейшем за основные «х неизвестные примем компоненты на- У пряжений, причем будем предполагать, что отличны от нуля только напряжения Т,з = Тз, и Т„= Тю.
При атом допущении краевое усло- Рнс. 25 вне о равенстве нулю Т, на концах стержня будет уже выполнено. Так как массовые силы отсутствуют, то первые два уравнения равновесия (2.7) гл. П удовлетворяются тождественно, а третье принимает вид д,Т, +дяТтл — — О. (5. 6) Как указал Прандтль'), это уравнение подсказывает возможность введения функции напряжений ф(хр хт), с помошью которой не равные нулю составляющие напряжений определяются следующим образом: (5.7) ') Р ганг!1! („. Рлуегнгйгесае хемесаг!уд 4 (1903), 758, Т~з=дтф Тю= д ф Таким образом.
уравнение равновесия (5.6) удовлетворяется независимо от выбора функции напряжений. Пусть кривая с, ивображенная на рис. 25, представляет собой контур, поперечного сечения стержня. Выберем на этом контуре положительное направление обхода таким образом, чтобы оно соответствовало направлению вращения правосто- Гл $ЧП.
Гилоуиругие материалы роннего винта. движущегося в положительном направлении хз. Обозначим длину произвольно направленного элемента с через с(а, а его проекции на координатные оси через Ых, и г(хт. Рассмотрим элемент цилиндрической поверхности стержня, следом которого в плоскости поперечного сечения валяется. этот линейный элемент.
Вектор ч, ортогональный к этому элементу поверхности, имеет компоненты «, = Их,/йв, «а = — а~х,7г(л, « = О. (5.8) Поверхностные усилия Т<'> = Т, «должны обращаться в нуль. Так как все составляющие напряжений. исключая те, которые входят в формулы (5.7). равны нулю, это условие приводит к соотношению «,Т1г+«тТиг= О. В силу равенств (5.7) и (5.8), получим уравнение д,фНх,+дтфг(х =О. (5.9) Как показывает это уравнение, скорость изменения величины ф в направлении касательной к кривой с равна нулю. Поэтому на контуре односвязного поперечного сечения функция напряжений постоянна.
Так как поле напряжений определяет функцию напряжений лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной, то без ущерба для общности можно положить (5.10) на контуре поперечного сечения. Остается убедиться в том, что функцию напряжений, удовлетворяющую этому краевому условию, можно выбрать так, чтобы выполнялось основное уравнение (4.18). Так как отличны от нуля только напряжения Тж — — Т, и Т, = Тш, то Т„ = О. Вследствие отсутствия массовых сил, из уравнения (4.17) следует, что напряжения Тж и Ттз должны быть гармоническими функциями координат х, и хт. Тогда на основании равенств (5.7) получим соотношения дг77ф=О, дтГ7ф=О или д17ф = сопзй (5.1 1) При втором способе исследования задачи о кручении до сих пор мы рассматривали только граничные условия, относящиеся к напряжениям.
Обратимся теперь к граничным )слоаиям для смещений, Так как предполагается, что отличны Б. Кручение цилиндрические стержней от нуля 1голько напряжения Т1з и Таз, то нв формулы (3.7) следует, что компоненты смещения Уц, Узз, Уз, и Уж тождественно равны нулю. С учетом формулы (3.5) отсюда следуют равенства д,и, = дзит = д,из = д,из+ дзи, = О. (5.12) Из равенств (5.12) и граничных условий для составляющих смещений и, и иа на концах стержня ха=О и хз — — 1 получаем, что поле смещений имеет вид соотношений (5.1).
Подставляя выражения для напряжений (5.3) в формулу (5.11). получим для постоянной в правой части этого уравнения вначение — 2р6. Таким образом, для односвязного поперечного сечения стержня функция напряжений должна удовлетворять дифференциальному уравнению дур = — 21ь0, а на контуре поперечного сечения должно выполняться условие (5.10).
Как известно, эта краевая задача имеет единственное решение. В заключение определим результирующую )7, поверхностных напряжений, действующих на концевое поперечное сечение ха=1. Для этого мы можем выразить напряжения нли через функцию депланации (см. (5.3)). или через функцию напряжений (см. (5.7)). Мы выберем последнюю возможность. Так как Ты=О, то из формул (5.7) следует соотношение %~ = ) ззыд7фдА (5.14) где черев НА обозначен элемент площади поперечного сече ния, а через елО введенный в п.
6 гл. 1 з-тензор. Преобразуя соотношение (5.14) по теореме Гаусса и принимая во внимание граничное условие (5.10). получаем равенство )с,= О. (5.15) Таким образом, напряжения на концевом сечении хамЂ вЂ” 1 или образуют систему сил. находящихся в равновесии, или эквивалентны паре сил.
Так как в этом сечении действуют не равные нулю составляющие поверхностных напряжений, то отличной от нуля может быть только третья составляющая вектора момента М~ названной пары сил. Как и в формуле (5.14). сила, действующая на типичный элемен7 дА поперечногй ц в пуатчу 210 Ге. У111 Гиаоуиругие материалы ! сечения, задается выраженнем ез,1д1фйА; согласйо формуле (6.15) гл. 1 н третьему равенству (6.5) гл. 1. получим соотношение А(з= ~ змихлзз11д1фИА= = ~ (йз16ю — бюбе1) хад1ф ИА = = — / х1 д1ф дА = — ~ (д1 (х1ф) — 2ф] дА.
(5.16) Преобразуя соотношенне (5.16) по теореме Гаусса н прини- мая во внимание граничное условие (5.10), определяем кру- тящий момент Лаз=2 ) фИА. (5. 17) В качестве примера рассмотрим стержень эллиптического поперечного сечения. Пусть уравнение цилиндрической поверхности имеет внд х, хз — + — — 1 = О. а' Ь* Попробуем представить функцию напряжений следующим образом: ф=с(1 — — „, — —,); (5.19) Согласно формуле (5.17). крутящий момент определйется выражением Мз=2 з ~ [~ ИА — —, ~ хам — —, ~ х~ФА~.
(5.21) где трн интеграла представляют соответственно площадь поперечногд речения ц ее моменты инерции относнтельно осей хз в этом случае удовлетворяется граничное условие (5.10).. Подстановка формулы (5.19) в уравнение (5.13) приводит . к выражению с= (5.20) б. Экстремальные лриняилы яд'Ь'да з — дь1 Ьь (5.22) Следовательно, жесткость ка кручекие с)=М /9 определится равенством яа'Ььд (5.23) а'+Ьь ' Согласно выражению (5.7), не равные нулю составляющие напряжения имеют вид 2дьиа 71з дь+Ьь х2' Из соотношений (о.24) и (5.3) в заключение следует, что с точностью до несущественной адднтивиой постоянной функция деплаиации р(хна определяется выражением аь — Ьь ~р= — ь+Ьь Ох,хм 6.
Экстремальные принципы. В настоящем пункте мы вернемся к рассмотренной в п. 4 общей краевой задаче и установим экстремальные принципы для ее разрешения. Как и в п. 4, удельные массовые силы задаются во всем объеме У рассматриваемого тела; иа поверхности 8 задаются некоторые составляющие поверхностных напряжений Т)"' и дополнительные компоненты смещений,и,. Граничные условия будут называться статическими илн кинематическими в зависимости от того, относятся ли они к компонентам поверхностных усилий или к поверхностным смещениям. Так как устанавливаемые экстремальные принципы проще всего выражаются через энергию, то мы начнем с вывода выражений для работы, совершаемой при деформировании упругого тела.
Эквивалентом втой работы служит накапливаемая в упругом теле упругая энергия аь Если элемент объема йУ. на который действуют напряжения Т, . деформируется со скоростью У,, то. согласно формуле (4.7), выражение Тф,~~И представляет мгновенную мощность составляющих напряжений. и хп Подставляя в равенство (5.21) известные выражения этих величин, находим соотношение 212 Гл.
У)11. Гипоипригие материалы дй=~Тг1дУ,1дУ. (6. 1) Выразив в соотношении (6.1) напряжения Т1 через деформации У, по закону Гука (3.6), получим следующую формулу: и В=' ~дУ~ (ЛУ„„3„+2рУг1)дУ„=. о г1 = ~" —,(лииУ„+ 2РУ,1У„) гПг. С другой стороны, пользуясь соотношением (3.7), можно выразить в формуле (6.1) приращения деформаций ИУг1 через приращения напряжений ИТг и получить следующее выражение: г в= ~ аУ ~ — Тг1'(атг1 — „+, йТеайг1) = 1 Л о г1 1 Л вЂ” ҄҄— — Тит, ~дП (6.3) В дальнейшем правую часть формулы (6.2) мы будем обозначать через Йо, а правую часть формулы (6.3) — через бг. Для удобства эти выражения мы будем называть энергией дейгорлгиций и енереией напряжений соответственно.
По своему механическому смыслу величины Юо и Юг представляют собой положительно определенные функций своих аргументов, т. е. каждая нз этих функций принимает положительное значение, если хотя бы один из ее аргументов отличен от нуля, и обращается в нуль только тогда, когда все аргументы равны нулю. Независимо от механического смысла, положительную определенность этих функций можно установить на основе неравенств (3.14) и определений (6.2) и (6.3) соответственно. Предоставляем провести доказательство читателю, отсылая его для втой цели к обсуждению соотношения (4.12). Для рассматриваемых здесь бесконечно малых деформаций выполняется соотношение Уг1 — — дУ,фй, где ИУ,1 овна- чает дополнительную деформацию за время Ж.
Работа, совершаемая во всем теле за этот промежуток времени, определяется выражением 6. Экстремальные лриляивы Пусть Уц и У)~ — два отличных друг от друга поля деформаний. Вследствие положительной определенности функции мгг, энергия деформаций, вычисленная для разностм Уц — У, . должна удовлетворять условию би(Уц — Уц) = = / 2 Ь'(Уй Уц)(У~~ Уу)+ +2р(Уц — Уц)(УУ вЂ” Уц)) сЛ/ > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
