В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 39
Текст из файла (страница 39)
') йау!е1яв (51ги11 А 'йГ), Ргос. Еоиаок Ма(а. Зос., 17 (1885), 4. Глава ГХ КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ' ) 1. Тенвор деформаций Альмансн. В большинстве определяющих уравнений. рассмотренных до сих пор, кинематнческие аспекты механического поведения были .представлены скоростью деформации; исключения составляли только определяющее уравнение идеальной жидкости (5.17) гл. ГЧ, которое не содержало никаких кинематических величин, и закон Гука (3.6) гл. Ч111, который, однако, был ограничен бесконечно малыми деформациями ив начального ненапряженного состояния.
Как было установлено в п. 3 гл. Ч1Ц. упругие деформации ряда технических материалов. например металлов, можно с достаточной для многих практических целей точностью рассматривать как бесконечно малые. Однако для таких материалов, как, например резина, подобное упрощенное рассмотрение упругих деформаций. как правило, недостаточно. Поэтому в настОящей главе мы займемся изучением конечных деформаций. В то время как скорость деформаций определяется по отношению к мгновенному состоянию движения, любое приемлемое определение деформаций основывается на сравнении мгновенной формы элемента сплошной среды с его формой в некотором состоянии отсчета, которое мы назовем ничильным состоянием.
Для определения скорости деформаций лучше всего описывать движение сплошной среды посредством зависящего от времени поля скоростей (1.1) о,=о,(х, 1). ') Изложение втой главы в основном следует неопубликованной рукописи автора, относящейся к 1944 г. Однако на обозначения существенно повлияла работа Тртсделлз [Тг кез де!! С., Вася. МесЛ иис! Аии!уз!е, 1 (1952), 125. 1. Тенеор деформаций Альмаиси 229 Здесь величина х означает координаты хп хг, хз относительно неподвижных прямоугольных осей, с — время, а и,— вектор скорости частицы, имеющей в момент г координату х.
для определения деформаций представляется, однако, предпочтительным описывать движение сплошной среды путем задання мгновенных координат' хс типичной частицы как функцнй времени г н ее координат а, в начальном состояннн (1.2) х,=х,(а, г). Здесь величина а означает начальные нооРдинашм ап а, а, которые относятся к тем же осям, что н мгновенные координаты х,, хг, хз. Символ а можно рассматривать как обозначение рассматриваемой частицы.
В равенствах (1.1) н (1.2) использована различная система независимых переменных, которые обычно называются пере-- меннымн Эйлера н Лагранжа соответственно. Это укоренившееся наименование будет сохраняться в дальнейшем, хотя оно н неоправдано исторически '). Различие между этими способами описания движения непрерывной среды легко пояснить на примере движения автомобильного транспорта по улице с односторонним движением.
Эйлерово описание соответствует наблюдениям полнсмена-регулировщика. сообщающего о скоростях, с которыми машины проезжают мимо его неподвижного поста наблюдения. Лагранжево описание. напротив, соответствует наблюдениям водителей, которые сообщают о своем двнженнн вдоль улицы. Если при таком одномерном рассмотрении уличного движения допускается обгон, то две машины одновременно могут иметь одну н ту же координату х в один н тот же момент времени г. Тогда функцня х (а,с) не будет взаимно однозначно отображать начальное расположение машин на мгНовенное расположение. Однако в сплошной среде такая ситуация возникнуть не может. так как различные частицы не могут занимать одно и то же положение в один и тот же момент времени.
Поэтому представленные соотношением (1.2) трн уравнения ') См. например, Тг п ее йе11 С., Д Вас)ось Месгь анй Алагуе1е, 1 (19б2)„125, прим. 5 на стр. 139. Гл. 1Х. Конечные деформации всегда можно единственным образом разрешить относительно начальных координат, что приводит к обратному описанию (1.3) а, = а,(х, 1) рассматриваемого движения. При таком описании используются те же независимые переменные, которые применялись в предшествующих главах. Поэтому вывод формул, основанных на этом описании движения, соответствует схеме рассуждений, использованной в прежних исследованиях, н будет рассмотрен в первую очередь. Предполагая, что движение среды задано в виде (1.3), рассмотрим типичную частицу Р и два исходящих из нее материальных линейных элемента РР' и РР".
Пусть в момент времени 1 векторы РР' и РР имеют компоненты Ых, и Вх1 соответственно. В начальном состоянии их компоненты вадаются в виде да,=д а,дх1, 6а,=д»а,йх . (1.4) Если начальное и мгновенное положения окрестности частицы Р соответствуют двум положениям твердого тела, то мы будем говорить. что эту окрестность можно перевести ив ее начальной конфигурации в мгновенную конфигурацию бвз деформации. В связи с этим заметим, что рассматриваются только начальная и мгновенная конфигурации, а не путь перехода ив одной конфигурации в другую в течение движения, представленного равенством (1.3). Если на всем протяжении такого перехода скорость деформации равна нулю, то мы будем говорить, что этот переход не включает деформирования.
В дальнейшем термин двформированив будет использован для обозначения исследования непрерывной последовательности конфигураций, ' а термин деформации — для сравнения начальной и мгновенной конфигураций без обращения к пути деформирования, приводящего от одной конфигурации к другой. Если окрестность частицы Р не претерпевает деформации, то материальный треугольник РР'Р имеет в мгновенном состоянии ту же форму, которую он имел в начальном состоянии. Тогда разность Фх 3х — г(ав Ъа, = (31» — д1а,д»аг) дх1 3х» (1.3) 1.
7ензор деформаций Альманеи 231 обращается в нуль при любом выборе частиц Р' и Ре в окрестности частицы Р. т. ю при отсутствии деформации симметричный теизор 1 У)з — — — (07а — д1а,дза,) (1.6) 2 обращается в нуль. Обратно, равенство нулю этого теизора. который мы иазовем тензором деформаций Альманси '), означает отсутствие деформаций.
На первый взгляд введение в опРеделение этого теизоРа множителЯ '1з кажетсЯ пРоизвольным; оио будет оправдано в дальнейшем. Для выяснения .механического смысла компоиеит теизора деформаций Альмаиси обозиачим мгиовеииые длины материальиых лииейиых элементов РР' и РРн через дз и 0з соответственно, мгновенный угол между мими через 0 и соответствующие значения в иаяальиом состоянии череа Из. 0з и 0. Введем, иакоиец, единичные векторы р, и з, мгиовеииых направлений РР' и РР". Тогда, пользуясь равенством (1.6), ' соотношение (1.5) можно записать следующим образом: дз Ьз соз 0 — — „— соз 0 = 2У,7резр (1.7) Фз Зз Если. в частности, частица Р" совпадает с Р'. то соотношение (1.7) принимает вид 1 — (~',) = 2ие1РеРр (1.8) Отношение мгновенной алимы Ыз рассматриваемого лииейиого элемента к его начальной длиие дз мы назовем коэффициентом длины и обозначим это отиошеиие через Согласно соотношению (1.8), получим равенство л< 1= (1 — 2(7,,р,д;)-'л.
(1'.9) Материальиые линейные элементы, которые в мгновенном состояиии параллельны координатным осям, имеют следующие коэффициеиты длин: ЛП1=(1 — 2(7п)-'*, )1з1=(1 — 2и„)-'а. 1 ' ~ (1АО) Л<з1 (1 2и >-'а ') А1шавз! $., е1ена.
41 ее! (БА), 20 (1) (1911), 705. Гл. IХ. Конечные деформации Рассмотрим материальные линейные элементы РР' и РР", которые в мгновенном состоянии ортогоиальиы друг к другу. Из равенства (1.7) следует соотношение ое Ье — — — соз В = 2 У<!р<чр де Ье (1.1 !) где величииы бз/бз и Ь/йз можно замвиить выражениями 1/Л<Ю и 1/Л<"!. Угол между рассматриваемыми линейными элементами равен 8 в начальном состоянии и к/2 в мгиовеииом состоянии. Поэтому в соотиошеиии (1.11) множитель — сов 8 можно записать как синус уменьшения угла — < — 0), Л2 которое мы обозиачим через ы<ем.
Таким образом, сооткошеиие (1.11) эквивалентно следующему: в<ем = агс з!п (2Л<'<Л<ЧУ< р<ч ). (1.1 2) Для материальных линейных элемеитов, направления которых в мгновенном состоянии совпадают с положительиыми направлеииями осей х< и хз, уменьшение угла определится равен- ством ы«Ю = агс з!и (2Л<цЛйв У<в). (1.13) и'е' = е<7е бх< йх7 Ьхе. (1. 14) Если составляющие теизора деформаций Альмаиси малы по сравнению с единицей, то первое выражение (1.10) можно аппроксимировать формулой Л<ц = 1+ Уц, а равенство (1.13) — равенством ы<'з! = 2Упо При бесконечно малом деЯорл<ированли из начального состояния составляющая Уц представляет собой удлинение в направлении оси хц а составляющая Ум в половину уменьшения угла между иаправлеииями х, и хз. Таким образом, теизор деформаций Альмаиси тождественно совпадает с теиаором деформаций, рассмотренным в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
