В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Подставляя значение д)ог из формулы (3.22) в равенство (4.1) и сравнивая равенства (4.1) и (4.2), получаем соотношение Т, = г дра,Трр р Р (4.3) 4. Тенеорм напряжения Лагранжа а Кнрхгофа 245 Из этого соотношения видно, что лагранжев тензор напряжений, вообще говоря, несимметричен. Указанное обСтоятельство затрудняет его использование в определяющих уравнениях, которые должны представлять составляющие напряжений как функции составляющих симметричного тензора деформаций. Эту трудность можно обойти следующим образом. Прежде чем бесконечно малую силу йР,, действующую в мгновенном состоянии, относить к элементу поверхности в начальном состоянии, применим к ней то же преобразование, которое переводит мгновенную сторону йх, этого элемента поверхности в соответствующую начальную сторону йан По аналогии с формулой (1.4) выражение для преобразованной силы имеет вид йР =д а йРе.
(4.4) Модифицированный тензор напряжений 8е определится теперь выражением йР =8, йРр (4.5) Подстановка величины йР из формулы (4.1) в формулу (4.4) и сравнение выражений (4.4) и (4.5) прнвойят к равенству 8г) д а~деа~Т Р (4.6) ' 8~7 7~еде ах 7~еде а,. (4.7) ') К!гсьио11 О., 8Иеаег. Ааай. йг(ее. йргел, 9 (1852), 762. Незазнсямо от Кнрххофа преимущества этого тензора напряжений показали Трефтц (Тге(11х Е., Е. азиев.
Мага. алй Меси., 13 (1933), 160) н Каппус (К а р р к э К., там же, 19 (1939), 271, 344). Эта СООТНОШЕНИЕ ЯВНО ПОКаэмзаст СИММЕтРИЧНОСтЬ тЕНЗОРа 8бн который мы навовем игеизором налряасений Кирхгофа'), Симметричность этого тенвора делает его более подходящим для формулировки определяющих уравнений, нежели несимметричный тензор напряжений Т, . Подстановка формулы (4.3) в равенство (4.6) приводит к формуле Гд РХ. Конечные деформации Соотношении (2.2) дают возможность разрешить формулы (4.3), (4.6) и (4.7) относительно тензоров напряжений, входящих в правые части.
Решение имеет вид (4.8) 7,) — = Орх~Тр/ — — — Орх,Оех~Яре, Р Р Р Р ТЦ 8„О хр (4.9) Полная аналогия между равенством (4.6) и обратным ему соотношением (4.8) ясно показывает, что тенэор напряжений Кирхгофа играет ту же роль для переменных Лагранжа, что и тензор напряжений Эйлера для переменных Эйлера. Как покажут нижеследующие рассуждения, гриновские скорость деформации Оой,г н скорость деформирозання (г, связаны друг с другом таким же образом. Как уже упоминалось, в связи с равенством (4.8) гл. 1Ч, мощность напряжений на единицу объема равна Т,~Уц, следовательно, мощность напряжений на единицу массы равна Т, Ч, '1Р. При помощи формул (4.8) и (2.16) это выражение можно преобразовать следующим образом: ' Т,Р„=' 1 О,х,О,хР„Ц,= — '8„О,й„.
(4ЛВ) Считая, что начальная плотность Р не зависит от положения, из уравнения неразрывности (1.3) гл. 1Ч получаем равенства (до+ оеде) — = ~ — ) = — —,Р' = — депе. (4.11) Р (Р) Р' Р Для опрелеления величины Щ) применим к левой части равенства (4.6) оператор О, а к право» части этого равенства — соответствующий оператор до+паде.
Приняв во внимание формулу (1.22), получим соотношение Оо8,7 —— — (депедра,деаРТ вЂ” дрп деа,д аРТ Р вЂ” д а,деа7д и Т +дра,д а>Т' ). (4,12) Выбирая удобным образом немые индексы н используя симметрию тензора Тре, соотношение (4.12) можно записать окончательно в виде ОоБг7 — — — д„и,д и717"„ +д„оеТ вЂ” Тредво — Т едетг 1.
(4:13) Р Е. Тензоры налряисений Лагранжи и Кирхгофа 247 Заметим, что выражение, входящее в квадратные скобки этого равенства, представляет собой р,д-компоненты скорости изменения напряжений Трусделла (1.8) гл. ЧШ.. Как было показано в п. 1 гл. ЧШ, зта скорость изменения напряжений обращается в нуль, если окрестность рассматриваемой частицы мгновенно движется как твердое тело и напряженное состояние материала не изменяется. Согласно соотношению (4.13), при этих условиях обращается в нуль и тензор 03,, который мы назовем сиороствю изменения напряжений Кирхгофа. Равенства (4.13) и (4.6) показывают, что скорости изменения напряжениЯ Кирхгофа и Трус- делла связаны друг с другом таким же образом, как тензоры напряжений Кнрхгофа и Эйлера.
Для тензора напряжений Лагранжа (4.3) легко получается зависимость ОеТЫ= — дра !Тр!+ дзоиТ вЂ” Т гдго ), (4, 14) которая, .по существу. была получена Хиллом '). Как следует из определения (4.2) тензора напряжений Лагранжа, равенство нулю тензора 0 Т,~ показывает. что, несмотря на мгновенные вращение и деформацию типичного элемента поверхности, сила, действующая на этот элемент, остается постоянной. В заключение выведем уравнения движения, заменяющие уравнения (2.6) гл. 1Ч. если испольвуются тензор напряжений Лагранжа или тензор напряжений Кирхгофа н переменные Лагранжа. Рассмотрим частицы, которые в мгновенном состоянии заполняют область Ъ' с поверхностью 8. а в начальном.
состоянии — Ч и 8 соответственно, Далее, пусть йР и йР— соответствующие типичные элементы поверхностей Р и Р. Обозначим через т, и ч, единичные векторы вдоль внешних нормалей к поверхностным элементам йР и йР соответственно. ') Н !!! й., з'. Меся. алй Рзуз. Яо15йз, 5 (1957), 229, уравнение (19); русский перевод: сб.
Махалина, М 3 (49), (1958), 53 — 65. Гл УХ. Конечные деформации Согласно формуле (4.2), мгновенная результирующая ес» поверхностных сил, действующих на среду в У. задается соотношением Л~ — — 1т~~ч е(уе = У Р тг»еп7, (4.15) в котором при переходе к последнему равенству была применена теорема Гаусса. В соответствии с лагранжевой точкой зрения зададим удельную массовую силу, действующую на типичную частицу, как функцию К„(а, 1) начального положения этой частицы и времени. Тогда мгновенную результирующую массовых сил, действующих на среду в объеме 1г.
можно записать в виде ~ рК» ФК Применяя к сплошной среде в объеме У закон количества движения. получаем уравнение Я0оех» — рК» — О,Т,„)НР= О. (4.16) Так как уравнение (4.16) справедливо для произвольной частицы односвявной области. заполненной средой, то подннтегральное выражение должно равняться нулю. Таким образом, уравнение движения при использовании тензора напряжений Лагранжа имеет вид р Рюх„= рК„+ О,Тон (4.17) Подстановка тензора Тг» из формул (4.9) в равенство (4.17) приводит окончательно.к следующему выражению: рРеох»=рК„+О,(Ю, О х„). (4.18) которое представляет собой уравнение движения с тензором напряжений Кирхгофа. Глпва Х УПРУГИЕ И ГИПЕРУПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ .
1. Упругие материалы, Рассмотренное в гл. У1П гипоупругое повеление материала отвечает мииимальиому требованию. которое следует наложить на механическое поведение материала, чтобы ои в каком-то смысле- мог рассматриваться как упругий. В данной главе обсуждается другое определение упругого поведения и показывается, что для изотропных материалов такое поведение представляет собой частный случай гипоупругого поведения. Материал будет называться упругим, если он может' находиться в однородном свободном от напряжений-естественном состоянии и если в должным образом определенной конечной окрестности этого состояния существует взаимно одновиачиое соответствие между эйлеровым тенаором Т напряжений и тензором 6 деформаций Альмаиси.
Тело, состоящее из такого материала, принимает свою исходную форму. когда все напряжения обращаются в нуль. В дальнейшем ограничимся рассмотрением изотровных упругих ° материалов и будем предполагать, что тензор Т напряжений Эйлера можно записать в виде иолииома от тенвора П деформаций Альмаиси. Чтобы исследовать математическую структуру материальной производной Т,, рассмотрим типичный член этого полииома, например квадратичиый член Я,1 †У~р(Ур1, коэффициент при котором не вависит от состояния деформаций и потому в дальнейшем ие рассматривается.
Вследствие симметрии тензора О. справедливо равенство (1.1) Разрешим соотношение (1.24) гл. 1Х относительно величины У' и подставим ревультат в формулу (1.1). Вбльшая 250 Гд л. Упругие и еилерулругие материалы часть членов полученного уравнения будет линейно зависеть от компонент скоростей деформаций Ч. Заметим, что коэффициент при компоненте тензора Ч, входящий в типичный член такого рода, зависит от компонент тензора (). В формулах, приводимых ниже, все члены такого вида мы будем заменять многоточием, так как нас прежде всего интересуют другие члены.
Пользуясь такой сокращенной записью, получаем выражение ь), =((г', д о +сг д1 о,1)0 + +((7),д1еое1+ (Груд(ео71) Ц,+ ° (1 2) Учитывая симметрию тензора 1), выражение (1.2) можно записать в виде + и„и„у„.„+ ирли„ь1., + .... (1.з) Так как производная д(о ! антисимметрична, а коэффициент при ней симметричен относительно р и д, то первый член в правой части формулы (1.3) обращается в нуль.
В остальные выписанные справа члены можно теперь ввести тензор Я. Перенеся этн члены в левую часть равенства, получаем окончательно следующее соотношение: (1.4) Сравнение соотношения (1.4) с формулой (!.7) гл'. Н!В показывает, что левая часть соотношения (1.4) представляет собой вклад Щ; который вносит а скорость изменения напряжений Т~~~ член Яц, входящий в полипом для Т,Г Этот вклад представляет собой линейную форму от составляющих скоростей деформаций, что следует из смысла многоточия в.соотношении (1.4): Коэффициенты этой формы, которые первоначально являются функциями компонент деформаций, вследствие предположенного взаимно однозначного соответствия между тензорами напряжений и деформаций можно представить как функции компонент напряжений. Таким образом, в полиноме для величины Т, квадратичный глен фг вносит в скорости изменения напряжений Т!7' 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
