В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Так как этн компоненты обращаются в нуль для равности Ьх' — Ьх'", то равенства (4.!О) н (4.11) противоречили бы друг другу. если бы не выполнялось равенство 0,(Ьх* — Ьх") = О. В последнем случае разность обоих полей смещений должна определять перенос, что, как правило, несовместимо с кннематическнми граничными условиями. Важный частный случай рассматриваемой краевой вадачи возникает тогда, когда равны нулю заданные изменения массовых сил. поверхностных усилий в поверхностных координат. Если эта задача имеет решение, ° то, вследствие однородности соответствующих дифференциальных уравнений и граничных условий, оно определяется с точностью до постоянного множителя.
Тогда для тех же заданных массовых снл, поверхностных усилий и поверхностных смещений в окрестности рассматриваемой равновесной конфигурации существуют другие равновесные конфигурации. Состояние равновесия такого вида называется бвзриаличнылс. Состояние равновесия. для которого удовлетворяется критерий (4.12), не может быть безразличным. Покажем. что такое состояние равновесия устойчиво в следующем смысле: в ходе любого движения, которое начинается с бесконечно малыми скоростями из рассматриваемого состояния равновесия и пРи котором массовые силы постоянны.
а статические н кинематнческие граничные условия остаются неизменными, каждая частица остается в бесконечно малой окрестности своего начального положения. Рассмотрим поле бесконечно малых смещений из заданной Равновесной конфигурации хс(а), удовлетворяющей кинематическим граничным условиям. Так как это поле можно 2бй Ги Х. Улрвгие и гии»зулруги» материалы определить лишь с точностью до постоянного множнтеля Л, мы обозначим его через ЛЬх~(а). Бесконечно малую работу заданных поверхностных усилий на этих смещениях можно г »Ь запнсать в виде ~ ь,Т, Ьх 68, так как Т" =т,Тц для любой заданной составляющей поверхностного усилия, тогда как для любой не заданной составляю1цей поверхностного усилия дополнительные компоненты смещений Ьл равны нулю.
Таким образом, суммарная работа массовых сил и заданных поверхностных усилий выражается в виде ЫЯ=Л ~ рК Ьх НР+ Л ~ ~Т, Ьх1гВ= =Л ~ (рК1+0,Т;)Ьх юФ+ Л ~ Т, Ц (Ьх1) »Ф. (4.13) В формуле (4.13) при переходе ко второй строке была использована теорема Гаусса. Так как начальное состояние х, (а) является равновесным, то первое подннтегральное выражение во второй строке формулы (4.13) равно пулю. С точностью до членов высшего порядка малости изменение энергии тела, вызванное смещениями Ьхр равно иВ=Л ~ ~~ В,(Ь 1) У+ 3Р г д»Е + 2 у' д(1з,х)й(1з»лг) В,(Ьху)В»(Ьх~)ИР. (4.14) Из формул (4.1), (4.13) н (4.14) с точностью до членов высшего порядка малости следует соотношение, Пусть Оеар — бесконечно малай начальная кинетическая энергия.
Если при рассматриваемом движения тело займет конфигурацию х~+ ЛЬлп то, согласно закону сохранения энергии. его энергия в этой конфигурации выразится в внде И»УУ' = ~(»2Т» — ф$ — ИА).. Используя формулу (4.15) н условне, что величина Ы»$" не может быть отрнцательной, мы легко получим верхнюю границу для велнчнны Л, если разность И$ — ЛИ положительна. Кроме того, ярк Ива'з ь0 Эта граница стремится к нулю как корень квадратный ив Ф,ф'з.
4. Единственность и устойчивость Если критерий (4.12) выполняется для каждого совместного с кннематнческнми граничными условиями поля смещений, то на величину два'ь можно наложить такие ограничения. чтобы незавнснмо от выбора начальных скоростей прн соответствующем лвнженин расстояние между любой частицей н ее начальным положением нигде не превосходило заданной бесконечно малой длины.
Следовательно, длн рассматриваемой равновесной конфигурации критерий (4.12) гарантирует не только единственность в малом, но также и устойчивость. Для единственности в малом этот критерий является достаточным, но можно показать, что для существования устойчнвости он является не только достаточным, но н необходимым. Это доказательство выходит, однако, за рамки настоящей книги. Чтобы упростить использование критерия устойчнвостн.
желательно взять в качестве независимых переменных координаты х, состоянип устойчивость которого исследуется. Согласно формуле (2.9), получим равенство — 0 хгй,х,+ Ь г (4.16) д (Врх1) д (О,х() дйргдйт в ( с дУ Так как Ов (Ьхг) = Ввх,д, (Ьхг), то, используя равенство (4.18), можно переписать подинтегральное выражение в формуле (4.12) следующнм образом: дгЕ д(а,—.,)),р —,) О. ь")) а вч) = дгЕ Орх,йвх10,хьй,х,д, (Ьхг) д„(Ьх,) + дй„дй„ дЕ += О х,О,хьд,(Ьх)) дь (Ьхг).
(4.17) дй„ При данном выборе независимых переменных интегрирование следует распространить на объем У, так что в формуле (4.12) величину й)У следует заменить выражением (р1р) йК. Принимая во внимание формулы (4.8) гл. 1Х н (2.8), критерий устцйчнвости можно записать в следующем виде, принадлежащем Пирсону '): ~ (Тгьд,(Ьх1)дь(Ьх)+С,1тд,(Ьх1) д (Ьх)1(П/) О, (4.18) ') р е а г з о п С.
Еч Яиагг. Аррй Магйч 14 '(1%6), 133. 2ГО Гл. Л. Упругие и гиперуаругие материи*ы где р д'Е Сиг, —— = — ~ — =- В х,сг хГй,хгОехг. (4.19) Р дирддйгг Р д Согласно соотношению (2.б), вторую производную в формуле (4.19) можно также записать как производную от величины 5 по ипе Если упругое поведение рассматриваемого материала ограничивается бесконечно малыми деформациями, то для устойчивости упругих состояний равновесия критерий (4.18) можно упростить, взяв производные не в исследуемом состоянии равновесия, а в бесконечно близком естественном состоянии. Так как для бесконечно малых деформаций различие между переменными Лагранжа и переменнымн Эйлера несущественно. то из формулы (З.б) гл.
ЧИ1 следует соотношение — Рд = — "д =ЛЬ Ь„+Р(3 Ьдг+Ь Ь,). (4.20) Гг гя Используя формулу (3.9) гл. 1Х, равенство (4.19) можно записать в форме Смю — — =' [ЛВЫВ,ы+ Р (ВгаВП+ ВиВ1„) ], (4.21) Р где для естественного состояния можно положить р/р = 1 и Вг) — — йан Таким образом. критерий устойчивости (4.18) принймает вид ~ [Тг„дг(йх ) де (бх1)+)д,(йх ) д» (йха)+ + р [дг(Ьхе) дг(Ьха)+ д,(Ьхв) да (Ьх,) ] ] с(У > О. (4.22) Так как в неравенстве (4.22) подинтегральное выражение однородно относительно производных от бесконечно малых составляющих смещений, то их можно заменить соответствующими производными от компонент о, поля скоростей, совместимого с кинематцческими граничными условиямн.
Записав типичную производную дго) как сумму ее симметричной части дйо1=Уг1 и антисимметричной части д(р), получим, наконец, критерий устойчивости в виде ~[ТОдрвдгюв+ ЛУнУВ+ 2рУОУО] Ж~ > О. (4.23) 4. Еоинстоенность и устойчивость 271 пт = Р (хз) ттз — — О. оз = — хР'(хз), (4.24) где штрих означает дифференцирование по хз. Поле скоростей (4.24) отвечает обычным предположениям, что материальное поперечное сечение ха=сонэ! остается во время изгиба плоским и нормальным к материальной оси стеракня.
В выражениях (4.24) не учитываются эффекты поперечного сжатия или расширения осевых волокон бруса, которыми сопровождается изгиб. Согласно формуле (3.9) гл. ЧШ„эти допущения означают. что в формуле (4.24) постоянная Ламе ), равна нулю. Соответственно при вычислении интеграла в (4.23) мы положим Л=О. В формуле (4.24) функция р(хз) должна удовлетворять граничным условиям для хз — — О и хз — — ь', которые определяют )гарактер закрепления концов стержня. Если, например, концевые сечения могут свободно вращаться вокруг центральной оси, -параллельной оси х,. но не имеют поперечных смещений, то краевые условия примут вид р (О) = р ® = О. (4.25) Из соотношения (4.24) следует. что — р' дг'пь — О 9 О р' Π— хрн (4.26) т. е.
т = — хрн ' будет единственной отличной от нуля составляющей тенэора УО. Так .как, кроме того. все В качестве примера рассмотрим ,выпучивание тонкого призматического стержня под действиям однородных осевых сжимающих напряжений 8. Пусть до выпучивання ось стержня совпадает с осью хз. и пусть концевые сечения стержня, расположенные в плоскостях ха=О и хз — — ь', закреплены так, что стержень может выпучиваться только в плоскости хп х . Обозначим площадь поперечного сечения стержня через А, а момент инерции поперечного сечения относительно оси х черев 1. Пусть гибкость стержня ь' у'А/1 велика по сравнению с единицей.
Применим критерий устойчивости (4:23) к полю скоростей, эзданному соотношениями 272 Гл. Х. Уиругие и гиаеруаругие м'атериалы компоненты напряжений. эа исключением Тг = — Я, равны нулю, то при Х=О иэ неравенства (4.23) получаем следую- щий критерий устойчивости: с г с — 8 А~ Т' г(хг+7~ре зарха)+2р! ~ ре захе) О. (4.27) о о о Вследствие нашего предположения о порядке величины гибкости. вторым членом'в скобках неравенства (4.27) можно пренебречь. Таким обраэом, сжатый стержень устойчив, если выполнено урловие ) у' ах Ю(2р А 7-о (4.28) ~ т зухз о Так как прн выводе этого критерия мы положили 1'='О. то, согласно формуле (3.9) гл.
ЧШ. коэффициент 2р можно эаменить модулем упругости Е. Тогда критическая сила Р= ЗА определится выражением а'х Р=Е! ш1п (4.29) о где минимум нужно брать для всех дважды непрерывно дифференцируемых функций р(х ), которые удовлетворяют граничным условиям (4.25). Читатель, энакомый с методами вариационного ясчислення, легко убедится. что минимум, который принят для р я(ив ихз ! (4.30) равен яя(Т, что приводит к известной формуле Эйлера Р= зЕ7У, (4.31) 4. Единственность и устойчивость Если же ие пользоваться методами вариациоииого исчислеиия, то можно приближенно определить критическую иагруэку, взяв для дважды непрерывно диффереицируемоя фуикции ~у выражение, удовлетворяющее граничным условиям (4.2б) при любом выборе параметров, содержащихся в этом выражении.
Зти параметры определятся иэ условия минимума отношения, входящего в выражение (4.29). Так как этот метод произвольным обрааом ограничивает рассматриваемые функции р, то ои дает верхнюю границу для критического значения, которое, однако, будет близко к истинному аиачеиию (4.31) при удачном выборе выражения для р. ЗАДАЧИ 1, 2.1'). Пусть штрихованная система координат получена из нештрикованной в результате малого вращения вокруг оси хз. Обозначим угол поворота через г18 и предположим, что направление вращения соответствует направлению вра- щения, которое в результате поворота на 90' переводит по- ложительное направление оси х, в положительное направле- ние оси х .
Показать, что коэффициенты в формуле (2.7) гл. 1 имеют следующие значения: сц —— сзз — — сзз = 1, см — — — сю — — — с)6, сгз стз сз! = сзз О, 1, 2.2. Доказать равенство 303„= 3. 1, 2 3. Показать, что выражение "=3А.— 3Ал принимает следующие значений 1чь У. 1+А у=д, но .у= р, но 1 — 1 О если 1= р н если 1=9 и если 1=/ или р=д. 1, 3.1. Найти преобразование компонент вектора при бесконечно малом вращении, рассмотренном в задаче 1, 2.1. 1. 3.2. Компоненты векторов ~ и ч являются непрерывно дифференцируемыми функциями скалярного параметра а. Доказать равенство е' Ии и'и — 1и к) = — и+и 3$ ил иа ~) Номер 1, 2.1 означает, что зто первая задача, относящаяся я материалу н. 2, гл. 1.
2Т5 Задачи 1, З.З. Компоненты единичного вектора и являются непрерывно днфференцируемымн функциями параметра э. Показать, что вектор дп!Нз перпендикулярен вектору и. 1. 4.1. Исследовать влияние преобразования координат х' = — х, х' = х, х' = х на компоненты тензора Т. и !. 4.2. Как преобразуются компоненты тензора Т прн бесконечно малом вращении, рассмотренном в задаче !. 2.1? 1, 4.3. Тензор называется иэотроаным, если он имеет однн н те же составляющие в любой прямоугольной декартовой системе координат. Используя преобразовання, приведенные в задачах 1, 4.1 н 1, 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
