В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ш, 4.3. Пользуясь соотношением, рассматриваемым в задаче Ш, 4.2, определить материальную скорость изменения () чв, й'ч') . П1, 4.4. Написать выражение для ускорения. с которым изменяется скалярное произведение двух материальных линейных элементов в виде (дхадх„)" =2АВдх,дх1 и показать справедливость равенства АП вЂ” — $'; + дРаЧд + д)о„Уы, где о,— скорость, а УП вЂ” тензор скоростей деформации. Ш. 4.5. Пусть движение поверхности, ограничивающей сплошную среду с полем скоростей о,(х, 1). задано уравнением Р(х, 1)=0. Вывести дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция г".(х, С) в том случае, когда рассматриваемая поверхность сплошной среды является материальной поверхностью.
Ш. 4.6. Установить формулы для материальной скорости изменения векторного поля в сферических и цилиндрических координатах. Применить эти формулы к вектору'скорости и получить выражения для ускорения в указанных координатах. !П, 4.7.
Пусть Я в односвязная непрерывно искривленная материальная область . поверхности о единичной Зла нормалью ч. Показать, что материальная скорость изменения потока вихря ( ~ ж ° чЮ) через поверхность 8 равна половине потока ~ й го1аЫ8 ротора ускорения а через поверхность 8. 1Ч, 1.1. Вывести уравнение неразрывности (1.2) гл. !Ч в цилиндрических координатах р, В, ь (обозначить' плотность через (, чтобы отличить ее от радиуса р). 1Ч, 1.2. Использовать результат. полученный в задаче 1Ч, 1.1. следуюшим образом. Пусть имеем несжимаемую среду, движение которой стационарно и обладает осевой симметрией (п,=п,(р,(), п,=О, п,=п,(р,ь)].
Показать. что тогда пр и пс могут быть получены из функции тока Стокса ф(р. ь). согласно равенствам п,=р 'дф/дь, и,= = — р гдффр. Какому дифференциальному уравнению должна удовлетворять зта функция тока, если движение будет безвихревымр 1Ч, 1.3. Вывести дифференциальное уравнение для потенциала скорости р = р(р, ь) стационарного безвихревого осе- симметричногО движения несжимаемой среды. 1Ч, 1,4.
Пусть в сплошной среде с полем плотности р(х, г) определено тенворное поле и-го ранга Т„...(х, !). Дока- вать равенство (~рТы ... ~~ =~ р Т„';.. г1У. !Ч, 2.1. Пусть при плоском стационарном движении в плоскости движения ха=О в окрестности линии тока с введена координатная система а, р, описанная в задаче 1, 10.2. Вследствие стационарного характера движения. величину а„ в уравнениях движения (2.б) гл. 1Ч можно заменить величиной п~др».
Записать модифицированные таким образом уравнения движения в координатах а, р. 1Ч, 2.2. Удар — зто такой процесс, при котором за очень короткий промежуток времени т действуют очень большие массовые и поверхностные силы. Обозначим интегралы от массовой силы Р„ нли напряжения Тг,, распространенные на время продолжительности удара т. через Ра и Туа соответственно. Отмеченные звездочкой величины называются импульсом массовой силы н импульсом напряжения. При рассмотрении прос цессов удара обычно осуществляют предельный переходя-ьО, Ф сохраняя неизменными величины Р» и Тг„.
При этом идеализированном описании процесса удара скорость п) произвольной частная получает скачкообразное измененйе. равное о*. Пользуясь теоремой о количестве движения, вывести соотношение между величинами о', Р* и Т а. 1Ч. 2.3. Пусть при действии зависящего от времени плоского поля напряжений с компонентами йн, 1ю, Фж в сплошной среде возникает зависящее от времени плоское поле скоростей с компонентами он о .
Показать, что два уравнения движения и уравнение неразрывности имеют такую же структуру, как три уравнения равновесия для среды с трех мерным полем напряжений Ты = 1ц — ро~~~, Тгз — — — Рч4, Тю = — Р; оператор дз в уравнениях движения и непрерывности соответствует оператору дз в уравнениях равновесия. 1Ч, 4.1. Скорость изменения кинетической энергии еЯ' материальной точки можно записать в вийе Я' =лгтьа,с где и — масса, о,— скорость н л,— ускорение точки. Установить соответствующую формулу для материальной скорости ивменення кинетической энергии среды, заполняющей в данный момент объем У. 1Ч, 4.2. Удельная энтропия а определяется таким образом, что произведение абсолютной температуры 6 и мате риальнойскорости измененная' определяет скорость — р 'дада.
с которой подводится энергия к единице массы немехани ческим способом. Удельная свободная энергия определяется соотношением Ф = е — Йг. Показать. что теорему об энергии (4.7) гл. 1Ч можно ваписать в виде рФ'+рай'=ТагУ 1Ч, 5.1. Пусть определяющее уравнение (5.4) гл. 1Ч раза решено относительно скоростей деформаций и записано в виде Уы — К,,„„Т„„. Показать, что тогда справедливо соотношенив 1 СынКаьяа = 2 %ай)а+ З~яйвя) = КиагСаввв.
Задачи 1Ч, 5.2. При поперечной анизотропии относительно заданной оси тензор С,1ан входящий в определяющее уравнение (5.4) гл. 1Ч. имеет одинаковую матрицу во всех координатных системах, которые получаются одна из другой в результате поворота вокруг этой оси или отражения относительно плоскости, содержащей эту ось или к ней перпендикулярной. Выбрав ось анизотропии в качестве оси хз прямоугольной декартовой системы коорди шт, определить общий вид тензора Оак 1Ч, 5.3. При рассмотрении удара в идеальной жидкости (см. задачу 1Ч. 2.2) импульс напряжений, согласно формуле (5.!7) гл.
1Ч, записывается в виде Ты= — р"3Ч, где р'— импульс давления. Показать, что з несжимаемой идеальной жидкости вихрь не претерпевает скачкообразного изменения, если импульс массовой силы Р~ имеет потенциал. 1Ч, 5.4. Пусть в несжимаемой идеальной жидкости поле скоростей испытывает скачкообразное изменение о";(х), обусловленное ударным полем давлений с импульсом р*(х), без участия ударных массовых сил. Показать, что импульс давления р' должен удовлетворять уравнению дир*= О.
1Ч, 5.5. Удельная энтальпия й определяется как сумма удельной внутренней энергии е и отношения давления р к плотности р. Показать, что для идеальной жидкости теорема об энергии (4.7) гл. 1Ч принимает вид й' = р 'р' + йе', где 6 означает абсолютную температуру, а е — энтропию. определенную в вадаче 1Ч, 4.2. Ч, !.1. Применив операцию ротора к уравнению движения (1.3) гл. Ч и используя уравнение неразрывности (1.3) гл. 1Ч, показать, что в баротропной идеальной жидкости, находящейся под действием консервативных массовых сил, выполняется соотношение (р 'те!)'=-р 'ге,дрр Вывести из этого уравнения соотношение (1.11) гл. Ч. Ч, 1.2. Пусть ч(х, 1) — поле скоростей несжимаемой среды, а Ь(х, 1) — некоторое векторное свойство частиц втой среды.
Показать, что равенство дед(+ го!(Ь )(4)+ 1т Ь = О Задачи 289 представляет необходимое и достаточное условие того, чтобы векторные линии поля Ь(х, 1) были материальными линиями, элементы которых при движении изменяются пропорционально величине вектора Ь. Ч, !.3.
Исходя из уравнения (1.2) гл. Ч, показать аналогично тому, как указано в задаче Ч, 1.1, что в идеальной небаротропной жидкости, находящейся под действием консервативных массовых сил, выполняется соотношение ,(р-' ж)' = (р-' пг'и) ч — — р-' 3тай р-' Х 3таб р. 1 2 Ч, 1.4. Показать, что для небаротропной идеальной жидкости, находящейся под действием консервативных массовых сил, скорость изменения циркуляции вектора скорости вдоль замкнутой материальной кривои С определяется интегралом — ~ (дгабр ' )( цг44 р) чу, где интегрирование распространяется по поверхности 8, натянутой на контур А и целиком расположенной внутри жидкости, причем вектор нормали ч к этой поверхности таким же образом соответствует направлению обхода кривой С, как поступательное перемещение правого винта его вращению. Ч, 1.5.
Применив решение задачи И1, 4.3, показать, что для баротропной идеальной жидкости, на которую действуют консервативные массовые силы, выполняется соотношение У )=У ™15 Ч. 1.6. Рассмотреть в небаротропной идеальной жидкости векторное поле д, = г'', — ан где с", †'удельная массовая сила, а а, — ускорение. Показать, что вектор д, перпендикулярен своему ротору.
Ч, 2.1. Уравнения движения, полученные в задаче 1Ч, 2.1, написать для частного случая плоского установившегося те-. чения баротропной идеальной жидкости. Ч, 2.2. Доказать, что при установившемся плоском двиг женин баротропной жидкости под действием консервативных массовых сил полная энергия О и вихрь гя связаны уравнением д,(ю ' д,О) = 4тв. Ч, 3.1. Волновое уравнение (3.10) гл. Ч описывает одномерное распространение бесконечно малых возмущений в пот. Задачи коящемся баротропном газе при отсутствии массовых сил.
Исследовать одномерное распространение конечных возмущений, не прибегая к допущениям, сделанным при выводе волнового уравнения. Предполагая, что поле скоростей имеет вид ю, = о (х. г). от= оз О. а давление и плотность не зависят от хз и хз, вывестн уравнения )э),+(и+с)д,)(Ч+и) =О, (до+ (и — с) д,) К вЂ” о) = О, в которых с()=®". Ч(р)=~ — ""'Ф н Показать, что как У, так и о удовлетворяют волновому уравнению, если можно пренебречь величиной о по- сравнению с величиной с. Ч, 3.2. Пусть при одномерном движении вида. рассмотрен» ного в задаче Ч, 3.1. плоскость х, = О является стационарной плоскостью разрыва.
Предположим, что на каждой стороне этой плоскости давление, плотность и удельная внутренняя энергия имеют постоянные величины, не зависящие ни от координат, ни от времени. Используя штрихи и двойные штрихи для различения значений этих величин на обеих сторонах плоскости разрыва, показать, что законы сохранения массы, количества движения и энергии приводят к следующим,условиям на скачке": Р'+ Р'о" = р" + Р"е"', с — е = — (р + р ) ~-,- — — ). а к 1, чй1 1 2 'та т !' Ч, З.З.
Для плоского установившегося движения идеальной баротропной жидкости, на которую не действуют массовые Силы, вывести условие отсутствия вихрей н газодинамическое уравнение (3.19) гл. Ч в полярных координатах. Ч, 3.4. Лля течения, рассмотренного в задаче Ч, 3.3, выбрать в качестве ортогональных криволинейных координат потенциал скорости р и функцию тока ф(п,=др=р 'дзт. пй — — дар= — р 'дгф). В качестве вавнснмых переменных взять Задачи плотность р, модуль скорости о и угол 6 между вектором скорости и положительным- направлением оси хн Установить в этих переменных условие отсутствия вихрей и газодинамическое уравнение (3.1 9) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
