В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пусть недеформнрованный параллелепипед ограничен плоскостями а,=а, а,= — а, аз= +Ь, аз= хс, а деформированное тело — поверхностями р = р', р = р", О = .ВО', С=+Ч. Тогда из выражений (3.20) следуют соотношения 4аА=Р' — рггг, 2В=Р' +ре, (3.22) ЬС= 6', 4арс=(р' — ре ) 6'Ч. 262 Ге. Х. 'гиругие и гииеруиругие мигериигм Тогда ив второго и третьего уравнений равновесия (10.14) гл. 1 следует, что величина р не зависит от 6 и ь. Первое уравнение равновесия содержит выражение (Трр Тгг)!р, которое. согласно формуле (3.23). можно записать в виде — (трр — тгг) = «( —, — Сер)+ )> ф — ~-~-) . (3.24) Так как У!г> — — 1.
то иа формул (3.21) и (2.24) получим равенства Аг 1 <>> '+ Р +АгСг ' Р С'рг (3.26) Согласно формулам (3.6), (3.24) и (3.25). находим соотно- шение 1 де д.У>п де ддуи> де — (Т вЂ” Т,г) = — — — 2 — = —, (3.26) Р ге дАРи> дР дУ>т> дР = дР так что первое уравнение (10.14) гл. 1 принимает вид и (т — е) — 'О, (3.27) откуда получим формулу т„=Е+ р,, (3.28) где р — постоянная. Формулы (3.26) и (3.28) приводят к выражению т,= —," (Р(е+р)!. (3.29) Для того чтобы цилиндрические поверхности р = р' и р = ре были свободны от напряжений, должны. согласно формуле (3.28), выполняться равенства Е (Р') = Е (Р") = — Ре.
(3.30) Как показывает выражение (3.29), осевая сила, действующая в типичном поперечном сечении 0=сопи!, т. е. величина' ~ тыдр = !Р (Е+ рг)!,'.', (3.31) е 3. Неелгалаелме гилерулругие материалы 263 также обращается в нуль. Так как условия (3.30) должны выполняться независимо от вида функции Е(УО>. Я>сг>). необходимо, чтобы выполнялись равенства ,Ун> (р') =.Ур> (р»), .Уы> (р') = Уон (р"); (3.32) тогда из формулы (3.25) следует равенство А — Сргр» (3.33) (3.34) г' —— рТсс бр с ) ргТсс бр. (3.37) г е' Предоставляем читателю определение напряжений (3.28) (3,29), (3.36) и результирующих (3.35), (3.37) для какой-либо 18» Комбинируя равенство (З.ЗЗ) с первым и третьим равенствами системы (3.22).
получаем выражение Следовательно. деформация (3.20) определяется значениями р' и р", по которым с помощью выражения (3.34) и последнего уравнения (3.22) можно найти величины 8' и ('. Согласно формулам (3.29) и (3.30), изгибающий могггнлг в типичном сечении б=сопз1 определяется выражением Мг — 2(' ~ рТм л>р = — 2~Г ~ р(Е+ рг) л>р. (3.35) г' г* Наконец, выражение для напряжения Т„получим, найдя разность третьего н первого уравнений (3.23) и воспольвовазшись соотношением (3.28). Учитывая формулу (3.6), получаем соотношение 1 Аг> Г дЕ дЕ "Тсс = Е+ Ра+2 (~г — — — г) — — Сарг 1, (3.36) ~сг> / в котором постоянные А и С определяются при помощи первого н третьего уравнений (3.22) и равенства (3.34). На боковую поверхность ь= 1' между смежными нормальными сечениями. образующими угол йб, действует бесконечно малая нормальная сила бМс и бесконечно малый изгибающий момент йМ „определяемые в виде 264 Гл.
Х. Упругие и ги»еруиругие иигериигм частной фоРмы УпРУгого потенциала Е(4Р<», Я<з>), напРимеР для потенциала Муни в виде (3.8). К элементу поверхности, который в начальном состоянии имел площадь «о' и единичную нормаль тр в деформированном состоянии, согласно формуле (4.2) гл.
!Х, должно быть. приложено усилие Т>)«~= ' д о «о' (4'2) >1 > д(В>х)) Аналогично, к элементу объема, который в начальном состоянии имел объем «!У, согласно формуле (4.17) гл. !Х, должна быть приложена сила ,К,«>Г= — Г>,Т„«)7= — П>1,, „, )«Р. 'т'д (>:>>х)) ) (4.3) Обратную задачу. а именно нахождение равновесной конфигурации х, (а) для заданных поверхностных усилий Т)ч и удельных массовых сил У(Г можно обобщить, как это было сделано в п. 4 гл.
Ч!!!. если не врдавать всех компоненты поверхностного усилия Ть>> в типичной точке поверхности 8, а вместо этого задать соответствующие коорди- ') Изложение данного пункта по существу следует трактовке исследований Пирсона (Реагзов С. 6., Оиагг. Арр. Мата., 14 (1956), 133), принадлежащей Хиллу (Н (1> й., г'. Мега. Рдуз.
Боп«з, 5 (1957), 2>9); русский перевод: сб. Механика гй 3 (49), (1956), 53 — 65. 4. Единственность и устойчивость '). Рассмотрим гиперупругое тело, заполняющее в однородном ненапряженном состоянии регулярную область Р с поверхностью 8. Определим, какие массовые и поверхностные усилия действуют на это тело, если оно находится в равновесии в деформированном состоянии, заданном в виде х,(а). Если упругий потенциал Е рассматривается как функцн. производных Е>,хр то, согласно формуле (2.10), лагранжевс поле напряжений имеет внд дЕ ">) д(Р>х/) - (4.1) Е. Единственность и устойчивость — дьЕ ЬТ~ = — „„„„, П.(Ь') Соответствующее равенство справедливо и для величин ЬТь).
В обеих формулах производные упругого потенциала имеют одинаковые значения, так как они должны определяться для заданноя равновесной конфигурации х, (а). Так как изменения напряжении ЬТьь и ЬТь) соответствуют одному и тому же изменению ЬК) массовой силы, то, согласно формуле (4.3), получим уравнение И, (ЬТ*„— ЬТ"„) = О. (4.5) Для частицы поверхности, в которой, например, задана первая компонента ЬТс~я ивменения поверхностного усилия, а также компоненты Ьхя и Ьхз поверхностного смещения, справедливы равенства чс (ЬТсг — ЬТьг) = О, Ьхз — Ьхз = О Ьхз — ЬхГ О (4.6) (4.4) наты х) рассматриваемой точки в деформированном состоянию Краевые условия мы будем называть статическими или нинелсатичесними, в зависимости от того, какие величины задаются: компоненты поверхностных усилии нлн координаты точек поверхности. Доказательство единственности для аналогичной краевой задачи классической теории упругости было проведено в п.
4 гл. ЧШ,. однако для рассматриваемых здесь конечных деформации вряд ли можнз ожидать единственности в большом такого типа. Поэ;ому исследуем единственность а малом в связи со следующей краевой задачей: задана равновесная конфигурация х, (а) с соответствующими поверхностными усилиями Т~ и удельными массовыми силами К; требуется (О определить бесконечно малые перемещения Ьх,(а). вывванные заданными .бесконечно малыми изменениями ЬК) удельных массовых сил и заданными бесконечно малыми изменениями ЬТ~~ и Ьх) некоторых составляющих поверхностных и усилий и дополнительных поверхностных координат.
Пусть Ьхс и Ьхс определяют поля смещений, а (Те~ и ЬТь) — поля напряжений, соответствующие двум решениям этой краевой задачи. Из формулы (4.1) следует равенство 266 Гл. л'. Улругие и гилерулругие материалы откуп' получим уравнение ч, (Ь҄— ЬТ~ .) (Ьх* — Ьх 1') = О. Для рассматриваемой краевой задачи уравнение (4.7) справедливо в каждой точке поверхности Х Следовательно. также справедлива формула (4.7) /Ь (ЬТц — ЬТ7)))(Ьху — Ьх)) гБ = О.
(4.8) Преобразуя интеграл (4.8) при помощи теоремы Гаусса (9.3) гл. ! и используя формулу (4.5), получаем следующее уравнение: ~ (ЬТ;1 — ЬТ )Ог (Ьхà — Ьх~') ~ЮУ = О. (4.9) Уравнение (4.9) соответствует равенству (4.7) гл. ЧП1 при доказательстве единственности в классической теории упругости. Так, например, нз закона Гука следовало, что интеграл в равенстве (4.7) гл. Ч1!! может обратиться'в нуль только тогда, когда идентичны рассматриваемые равновесные конфигурации и соответствующие поля напряжений. Так как, согласно равенству (4.4), уравнение (4.9) можно записать в виде Ог(йх7 — Ьхг)Е)г(йхг — Ьх~ )г()г=О, д (Вухг) д (Вгхй (4.10) девяти переменных т)О была положительно определенной при проиавольных значениях производных В,хр Но тогда единственность в малом повлекла бы за собой единственность в большом, так как каждый бесконечно малый шаг процесса нагружения вызывал бы единственное изменение конфигурации.
Так как нельвя ожидать единственности в большом, то аналогичное заключение было бы возможным и в данном случае, если бы структура функции Е была бы такой, что квадратичная форма дгЕ (4.11 д (В~х1) д (Вгхд 1гг Ьг~ ( ) т. Единственность и устойчивость то требование положительной определенности квадратичной формы (4.11) является, по всей вероятности. чрезмерным.
С другой стороны, единственность в малом уже гарантирована, если выполнено. например, условие дтЕ дух)д())ьх) О'(Ьх1))ь(Ьхг)ИЪ') О (4.12) для всех полей перемещений Ьхр которые не определяют переноса и имеют нулевые значения всех компонент поверхностных смещений, входящих в кннематические граничные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
