В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Гииерулруеие материалы вклад, который имеет структуру, соответствующую определяющему уравнению (2.1) гл. Ч!!1 для гипоупругого материала. Методом индукции легко показать, что аналогичное замечание относится ко всем членам полинома для величины Тьр Следовательно, приведенное еыше определение упругого материала характеризует частный случай гииоупругого поведения. Этот результат принадлежит Ноллу'). 2. Гнперупругие материалы. Третье физически оправданное определение упругого поведения основано на использовании теоремы (4.1) гл. 1Ч об энергии и предполагает адиабатическое движение, т. е.
движение, при котором нн одна частица среды' не получает и не теряет энергию немеханическим путем. Для движения такого рода дивергенция потока тепла д» равна нулю, и, согласно теореме об энергии, материальная скорость изменения внутренней энергии равна мощности напряжений, отнесенной к единице массы е = — Т 1 ее ее" (2.1) Уравнение (2.2) справедливо для адиабатического движения любого материала. Предположим теперь, что в рассматриваемых здесь адиабатических движениях удельная внутренняя энергия е представляет собой аналитическую функцию составляющих тензора деформаций О Грина, отнесенных к однородному естественному состоянию.
Материалы, для которых выполняется это предположение, мы назовем гиперупругими. Покажем, что изотропный гиперупругий материал является упругим и, следовательно, гипоупругим. Для упрощения наших формул введем следующие предположения: любая функция составляющих симметричного ') Х о 11 Ж., А Кйьогь л(еей. апй Апа1уз1з, 4 (1955), 3. Переходя в равенстве (2.1) от переменных Эйлера к переменным Лагранжа.
обозначая через е (а, 1) выраженную' в новых переменных удельную внутреннюю энергию и используя формулу (4.10) гл. !Х. запишем равенство (2.1) в виде — 1 Пзе = — бь1П,(111. (2.2) Р 252 Гл. Х. Уиругие и гиаерулругие материалы — де г)ее= — г)еУ .
дйы Из равенств (2.2) и (2.4) следует уравнение (2.4) (= -=) 1 — де = лгу — =~ У)аУ„=О. дУгу ) (2.6) Это уравнение, в котором оба множителя симметричны, справедливо при любом выборе скорости деформации ггейгу. Отсюда получим соотношение — де ч р дУгу (2.6) где р — постоянная плотность в естественном состоянии. Уравнение (2.6) подсказывает идею введения упругого ло- темциала Е= ре.
(2. 7) с помощью которого тензор напряжений Кирхгофа можно записать в виде (2.8) дйы ' Так как естественное состояние У, = 0 свободно от напра. жений, то для этого состояния проивводиые дЕудУ, должны быть равны нулю. Упругий потенциал целесообразно иногда рассматривать не как функцию составляющих симметричного тензора деформаций У,у, а как функцию составляющих теизора б„хе, теивора (например, е(У)) может быть записана в симметричной форме относительно симметричных компонент (У, и 0у,); при дифференцировании такой функции по типичной составляющей (У,у) тензора симметричные компоненты будут формально рассматриваться как независимые переменные. . В силу этих предположений, справедливы равенства де де (2.3) дй„ дй„ д Гияерулругие материалы которых, согласно формуле (2.7) гл.
!Х, можно компоненты деформаций. Очевидны следующие с помощью определить равенства: дЕ дЕ д(УЕ дУЕ д(Ррх ) д (Ррхр) — 'Р)х +=(),ха) = Р~х . (2.9) 1 ( дЕ, дЕ 1 дЕ д(г, ' ') дй,! ! а' Из равенств (2.8), (2.9) и формулы (4.9) гл. !Х получаем соотношение дЕ Ра= д(Р,х,) ' (2.
10) Отсюда. вследствие симметрии тензора Т,, получим равенство дЕ дЕ Р г д(Ррх)) = Р ! д(Ррхг) ' Приведенные выше соотношения справедливы для любого гиперупругого материала. В дальнейшем мы ограничимся, однако, изучением изотролных гиперупругих материалов. Согласно теореме, приведенной в п. 4 гл. Ч1, упругий потенциал представляет собой функцию основных инвариантов тензора деформаций Грина. Как отмечалось в связи с равенствами (2.12) гл. 1Х и (3.11) гл.
1Х, зти основные инварианты можно выразить через основные инварианты какого- либо другого тензора деформаций. В частности, мы можем представить упругий потенциал как функцию Е составляющих деформаций УЕ Альманси или составляющих джар Тогда, согласно уравнениям (2.8) гл. 1Х и формуле (2.10), получим соотношение дЕ дЕ д (д)аа) дЕ д(Р ) л(д аа) д(Р,) д(д а ) д!а,дРав (2.13) Подставляя зто соотношение в формулу (4.8) гл. !Х, приходим к равенству т„= Р,х, р дЕ (2.11) р д (Ррх~) 264 Гл. Х.
Мпругиг и гиперупругие материалы Подставляя соотношение (2.13) в формулу (2.1!) и пользуясь формулой (2.2) гл. !Х, получаем равенство р дЕ ТŠ— — — = да. р д (джар) Отсюда, вследствие симметрии тепзора Тбь находим выражение дЕ дЕ д(д ! Р д(да) (2. 16) Подобно тому как была выведена формула (2.9) для переменных Эйлера, можно для переменных Лагранжа получить зависимость дЕ дЕ д (джар) дьгы (2. 16) Подставляя формулу (2.16) в соотношение (2.14) и используя равенства (1.6) гл. !Х я соответственно (3.6) гл.
1Х, окончательно получаем соотношение Т„== — (д„— 2и„,) = — 2= — С„. (2г17) р дЕ дЕ Р дУга ~ дС„ Иа формулы (1.20) гл. 1Х следует. что отношеняе р/р=б)9гР' можно вырааить через основные инварианты У,р Таким образом. согласно соотмошепию (2.17), для изотропкого гвперупругого матервала зйлеровы составляющие вапряжепий представляют собой функции составляющях деформаций Альмакси.
Путем надлежащего выбора упругого потенциала ЕЯ и соответственно Е(У) этим соотношениям между составляющими Т и 1) можно придать взаимно однозначный характер в некоторой окрестности естественного состояния. Определенный таким образом изотропный гиперупругий материал представлнет собой частный случай упругоао и, следовательно, гипоупругого материала.
Этот результат также привадлежят Ноллу '). В заключение преобразуем соотпошепие (2.17) к виду, удобному для приложений. Согласно равенствам (7.6) гл. 1, ') М о !1 )!г., А Кег!оп. Мес». апа Апа!уз!е, 4 (!965), 3. 2. Гиле>>рйругие материалы (7.8) гл. 1 н (7.10) гл. 1, основные инварианты симметричного тензора Ссс задаются следующими соотношениями: Г„) С 1 Г -(С С вЂ” С С ), 1 У( ) — (2СрдСд,С, — 3СрдСдрС„+ СррСддС„). (2. 18) Соответственно справедливы равенства ж„, — =8,, дСВ дз <а> — = Сц — Сзейсе дСЕ да <а> = СсрС с — У(с>С<7 — ж(я>Ь(Г (2.19) Правую часть последнего равенства можно преобравовать следующим образом. Умножив уравнение Гамильтона — Кали (7.18) гл.
1.. написанное для тензора С, на обратный тензор В, получим (в декартовых обозначениях) следующее соотношение: СсрС 7 — — о <с>С<С+ и <з>Ь(7+ ж< >В; (2.20) повтому последнее равенство (2.19) можно заменить таким: дд(,> дС( о (з)В<Г (2.21) Тогда, в силу равенств (2.19) и (2.21), получим дЕ дЕ дЕ дЕ дС вЂ” дн йса+ ~ — (Сы — С)айса) + дм в (а>В(а (2.22) сз с>'д(с) и) е (а) Подставляя значение дЕ/дС<а из (2.22) в равенство (2.17) и пользуясь равенствами (2.20) и (3.8) гл. 1Х, получаем формулу дЕ Тц= 2= ~~~(з) +'б'(а) 1 80+ р '(1 " дМ<а> ать С дЕ дЕ + ди С(7+й(з> ди Всу~.
(2.23) а (с> а (а) 256 Гл. Х. Упругие и гилерупругие материала Этот определяющий закон можно еще упростить, представив упругий потенциал Е как функцию основных инвариантов тензора В. По аналогии с формулой (3.11) гл. 1Х, находим равенства ~па а О) У()) = а Уои = ' У<з> = ' (2 24) з (а) у (а) з <а) а также следующие соотношения: дЕ 1 дЕ дЕ 1 дЕ ди<а> У<а> дУЕИ дМ<а> К<а> дУО> ' дЕ 1 Г дЕ дЕ дЕ дз(а в<а> ьУ()~ дУ, +У<а> дУ +У<а> дУ а 1 (2. 25) Пользуясь равенствами (2.24) и (2.25), уравнение (2.23) можно записать в следующем виде, предложенном Фннгером '): Г дЕ дЕ т<) = 2 = ~~У<я) — + У(з) 13е+ р 1. дУ<„ ду<а>) дЕ дЕ + У<з) — С<)+ — У<!1. (2.26) дУ<а> дУ<,> В естественном состоянии х< = ар поэтому, согласно формулам (3.1) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
