В. Прагер - Введение в механику сплошных сред (1119123), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Чтобы получить выражения упомянутого вида, рассмотрим основные инварианты тензоров. являющихся степенями тензора Ч. Соотношения (7.17) гл. 1 и (1.19) гл. И! бпределяют степеии и основные инварианты теизора. но каждое получеииое таким образом скалярное вы- 4. Нензкгтоноеское поведение зсидкости 161 ражение можно записать как полинам относительно основных инвариантов тензора Ч. Поясним это на примере второго основного инварианта тензора (1 = Чз, равного квадрату симметричного тензора Ч. Согласно формуле (1.19) гл. 111, этот инвариант определяется выражением % „= — [Яр4) — (Яр Ю[ = — [Яр Чв — (Яр Ч )з[, (4.2) 1 1 2 2 где Яр означает след [см.
формулу (7.20) гл. Ц. В силу формулы (7.19) гл. 1 величину Ч" из формулы (4.2) можно записать как линейную комбинацию .тензоров 6, Ч и Чз с козффициентами, представляющими собой полиномы относительно основных инвариантов тенаора Ч. С другой стороны, согласно формулам (7.6) и (7.8) гл. 1, справедливы равенства ЯРЧ=У'»>, ЯРЧ = 7зщ+2У'о>, (4.3) Поэтому уравнение (4.2) можно написать следующим образом: М>г> = (У ш + У оз) (Ущ + 27щ) + (7 щ7>з>+ 7 и>) У>п+ + ЗT>нУ'<з> — (Tг>п+ 2У'>и)з (4.4) Аналогичным образом основные инварианты любой степени тензора Ч можно выразить через величины 7»>, 7 >г> и У'а>.
Вообще можно показать, что всякая однозначная фуннция компонент симметричного тензора Ч, потирая при 'переходе н другой координатной системе ведет себя нан сналяр, является функцией основных йнвариантов У'»>, Tа> и 7 <з>.
Однако доказательство этой теоремы выхолит за рамки настоящей книги. Приведенные выше рассуждения справедливы для скалярной функции компонент любого симметричного тензора Ч. Но вследствие несжимаемостн жидкости рассматриваемый здесь тензор скоростей деформаций является девиатором, т. е. Tщ = О. Поэтому обсуждаемая нелинейная зависимость между девиатором напряжений Т' н тензором скоростей деформаций Ч имеет вид Т' = 2р (У'>з>.
У'>з>) Ч. 11 в. пзвгвз 162 Гл. Уй Вязкие ясидкосги Если использовать определяющее уравнение (4.6), то уравнение движения (2.2) должно быть заменено уравнением 1 1 'дои»+и д1п» = — — д»р+ дт(рдгп»), (4.6) г е где р — известная функция иивариаитов Те,и и е пь которые, в свою очередь, зависят от определяемого поля скоростей. Применим уравнение (4.6) к устаиовившемуся прямолинейному движению жидкости в цилиндрической трубе произвольного поперечного сечения.
Положим и, = и» = О. пз = 2р (х„хт), (4.7) где множитель 2 должен компенсировать множитель '(м появляющийся при образовании компонент Уг». Для течения. заданного равенствами (4.7), уравнение неразрывности (2.1) сразу удовлетворяется. Компонеиты скорости деформаций. отличные от нуля, имеют вид У»»=У»»=дну, ~Ъ=Ую=дау, (4.8) а остальные компоненты У(» обращаются в нуль. Согласно формуле (1.19) гл. П1, справедливы равенства У'ш = О. У'и> = дур др. У'(з> = О, (4.9) где подчеркнутые индексы принимают аначения 1 и 2.
Таким образом, в этом примере коэффициеит »»язкости р представляет собой функцию (пгаб р)а. Из первых двух уравнений движения (4.6) видно, что давление ие зависит от координат х, и хм Третье уравнение упрощается и принимает вид 0 = — дар+ 2д, (рд»р). (4.10) Так как величина »» зависит только от координат х, и хм а давление ие зависит от этих переменных. то каждый из двух членов уравненйя (4.10) постоянен. Таким образом, из уравнения (4.10) следует, что градиент давления — дзр имеет одно и то же значение для всей жидкости.
Как и в п. 2, этот градиент будем обозначать через с. Вместо линейного уравнения (2.15) мы должны теперь решать нелинейное уравнение д, (р.др) = — с(2 (4.11) с граничным условием э= 0 иа контуре поперечного сечения трубы. 4. Ненвютоновское наведение жидкости 163 В уравнении (4.11) коэффициент вязкости Р представляет собой известную функцию от д7рдур. В случае общего вида такой функции сформулированную краевую задачу приходится решать численно, например при помощи метода релаксации. Йля почти ньютоновских жидкостей, вязкость которых слабо зависит от скоростей деформаций. можно применить метод послеловзтельных приближений, при котором вязкость Р для рассматриваемого приближения определяется полем скоростей предшествующего шага, а первое приближение соответствует ньютоновской жидкости. Квазилинейиое определяющее уравнение (4.5) обладает следующим свойством, аналогичным свойству линейного определяющего уравнения (5.15) гл.
1Ч для ньютоновской жидкости: если какая-либо компонента тензора Ч равна нулю, то.равна нулю и соответствующая компонента тензора Т'. Благодаря этому свойству для только что рассмотренного течения давление в трубе не зависит от координат х, и хз, как и в случае ньютоновской жидкости. В случае изот раиной несжимаемой неньютоновской жидкости можно получить определяющее уравнение общего вида. предполагая, что тензор Т' представляет собод полипом относительно тензора Ч.
козффнциенты которого зависят от величин 7 гл и 7 ~з>. Чтобы такое выражение для тензора Т' было девиатором, упомянутый полипом, вообще говоря, должен содержать соответствующее кратное единичного тенвора 3. Так как, с другой стороны, все степени Ч' при и 3 можно записать как линейные комбинации тензоров 3, Ч н Чз, то„окончательно получим соотношение Т =/(7 нв 7 (з))Ч+К(7 66 7»<з>)~Чт — 3 7 <я>3~ (412) Вследствие несжимаемости жидкости, тензор Ч представляет собой девяатор, а.
согласно соотношению (7.21) гл. 1, справедливому для девиаторов, след тензора, представленного выражением в квадратных скобках, обращается в нуль. Следовательно, правая часть соотношения (4.12) представляет собой девиатор. Соображение, приведшее к уравнению (4.12), высказали независимо друг от друга Рейвер ') и Прагер з). ') йе1пее М., Атег. Д Митя» 67 (1945), 350. ') Ргайег Ф., е'. Арр1. Рабус., 16 (1945), 837. 11» Гд Л. Вязкие жидкости Применим определяющее уравнение (4.12) к стационарному прямолинейному течению (4.7).
Выражение в квадратных скобках в уравнении (4.12) обозначим через %. Легко получить следующие соотношения: 1 2 "'и = 3 (3Р)г — 3 Жр)' ~'гг=дРдгу ®'гз=О 97 — (д~,~)г (д, )г 1 2 1, 1 В'ю=о Ю' =З(дг)г+З(дг)г (4. 13) ') Рау яг! па Л. Н., Рамос. Май. (6), 9 (1905), 393.
г) Е г Гс К зев Д 1., Ямала Арра Мага., 14 (1956), 318. Большицство компонент тензора Ч равны нулю, однако, согласно уравнению (4.12), ни одна из компонент тензора Т' в нуль не обращается. Это появление дополнительных компонент напряжений в нелинейном уравнении (4.12) по сравнению с квазилинейным уравнением (4.5) отражает эффект, обычно называемый аффектом Пойитинга '), поскольку названный автор впервые исследовал аналогичные явления в упругих телах. Для рассматриваемого стационарного прямолинейного течения уравнение движения (2.2) принимает теперь вид О = — даР+ 2д (У$' «+ 1Г%'1г).
(4.14) Вследствие эффекта Пойнтинга, первые две компоненты уравнения движения не приводятся больше к соотношениям д,р = О и дар= О. Напротив, уравнение (4.14) дает теперь три дифференциальных уравнения для двух неизвестных функций р и 9. Как показал Эриксен ), эти дифференциальные уравнения в общем случае несовместны друг с другом, т. е. при отсутствии массовых сил в неньютоновской жидкости не может, вообще говоря, существовать стационарное прямолинейное движение вида (4.7). Существенными исключениями из этого правлла являются прямолинейное течение между бесконечными параллельными пластинами и прямолинейное течение в круговой цилиндрической трубе. Чтобы получить совместные уравнения движения, нужно, вообще говоря, наряду с неизвестными р и у.
ввести еще третью неизвестную функцию, например функцию тока 4. Неньютоновеное поведение хидкооти 1бб (~(хп ха) вторичного течения в плоскости поперечного сечения трубы. Тогла уравнения (4.7) нужно заменить такими уравнениями: о, = дтф, ое — — — д,ф. оз = 21ь (4.15) Грин н Ривлин ') исследовали это вторичное течение для трубы эллиптического поперечного сечения и почти ньютоновской жидкости. Они показали, что это течение соответствует четырем вихрям в квадрантах эллипса, имеющим чередующиеся направления вращения.
'1 О геев й, Е., й1т11в й. 5., ()нага Арра МаИ., 14 (1956), 299. Глава кП ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ И ИДЕАЛЬНО- ПЛАСТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ 1, Определяющее уравнение. Если на некоторый элемент поверхности. проходящий через частицу Р среды. действует не равное нулю касательное напряжение, то девиатор напряжений для частиц Р отличен от нуля. Это означает, что в ньютоновской жидкости касательные напряжения могут возникнуть только там, где скорости деформаций не равны нулю. Рассмотрим. например, установившееся ламинарное течение ньютоновской жидкости в цилиндрической трубе кругового сечения. Согласно теореме о количестве движения (2.7) гл. 1Ч, наличие градиента давления в направлении потока связано с возникновением касательного напряжения у внутренней поверхности трубы, поэтому сколь угодно малое давление должно приводить к возникновению течения.
Это подтверждается уравнением Пуавейля (2.16) гл. Ч1, согласно которому скорость пропорциональна градиенту давления. Рассматриваемый в втой главе вязко-пластический материал в известной мере сходен с вязкой жидкостью, однако он и в состоянии покоя может испытывать напряженное состояние с не равным нулю девиатором. Опишем вначале механическое поведение этого материала при простом сдвиге, когда равны нулю все составляющие тенэоров напряжений и скоростей деформаций, кроме Тц — Т„ и Рж = Ум. Пока абсолютная величина касательного напряжения Т,э меньше некоторой постоянной К, называемой пределом текучести, материал ведет себя как твердое тело, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
